[r]
Trang 1TTBDVH KHAI TRÍ
ĐỀ SỐ 18
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2x 3 y
x 2
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
2 Giải phương trình: x2 – 4x - 3 = x 5
3 Giải phương trình : log x 3 5
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
1
2 1
dx
Câu IV (1 điểm)
Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất
Câu V ( 1 điểm ) Cho số phức
1 1
i z i
Tính giá trị của z2011
Câu VI( 2 điểm )
1 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm
trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :
x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :
(d)
và (d’)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng
Câu VII ( 1 điểm )
Tính tổng : S C C 50 57C C15 47C C52 37C C53 72C C45 17C C55 07
Trang 2
-Hết -ỏp ỏn s 18
I
2.0đ
1
1.25đ
Hàm số y =
2x 3
x 2
có :
- TXĐ: D = R\ {2}
- Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn : x
lim y 2
Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng y = 2 làm TCN , x 2 x 2
lim y ; lim y
Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng x = 2 làm TCĐ
+) Bảng biến thiên:
Ta có : y’ = 2
1
x 2
< 0 x D
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2
và hàm số không có cực trị
- Đồ thị
+ Giao điểm với trục tung : (0 ;
3
2) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0)
- ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng
0,25
0,25
0,25
0,5
2
0,75đ
Lấy điểm
1
M m;2
m 2
Ta cú :
1
y ' m
m 2
Tiếp tuyến (d) tại M cú phương trỡnh :
2
m 2
m 2
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là :
2
A 2; 2
m 2
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta cú :
2 2
2
1
m 2
Dấu “=” xảy ra khi m = 2 Vậy điểm M cần tỡm cú tọa độ là : (2; 2)
0,25đ
0,25đ
y’
y
-
2
-2
2
8 6 4 2
-2 -4
Trang 30,25đ II
2,0đ
1
1,0đ
Phương trỡnh đó cho tương đương với : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0
2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x
0
cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x
Xột
Xột : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 Đặt t = sinx + cosx với t 2; 2 Khi đú phương trỡnh trở thành:
2
2
t 1
2
Suy ra :
4
k
0,25
0,25
0,5
2
1,0đ
x2 - 4x + 3 = x 5 (1) TXĐ : D = 5;)
1 x 2 2 7 x 5
đặt y - 2 = x 5 , y 2 y 2 2 x 5
Ta có hệ :
2
2
2
x
2
x y 3 0
y 2
0,25
0,25
0,5
1đ ĐK : x > 0
PT đó cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1) Đặt t = log2x, suy ra x = 2t
5
2 log 2 3 t 2 3 5
(2)
Xột hàm số : f(t) =
3
0,25
0,25
0,25
Trang 4f'(t) =
ln 0, 4 3 ln 0, 2 0, t
Suy ra f(t) nghịch biến trên R Lại có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghiệm duy nhất t = 1 hay log2x = 1 hay x =2 Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 2
0,25
III
1.0® 1®
Ta có :
1
2 1
dx
2x
1
1
1
2 1
1 x
2x
Đặt t 1 x 2 t2 1 x2 2tdt 2xdx
Đổi cận :
Vậy I2=
2 2
t dt
0
2 t 1
Nên I = 1
0,5
0,5
IV
2® 1.0®
Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC)
Ta có : SCA; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Vậy
V S SA AC.BC.SA a sin cos a sin 1 sin
Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1)
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 f ' x 0 x 1
3
Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN
hay
x 0;1
Max f x f
Vậy MaxVSABC =
3
a
9 3 , đạt được khi
sin =
1
3 hay
1 arcsin
3
( với 0 < 2
)
0,25
0,5
V 1.0®
Ta có:
2
1 (1 )(1 ) 2
( ) 1
i i
0.75
C S
Trang 5
1005
1005
( 1)
i
i i
VI
2®
1
1®
Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) Góc của nó tạo với BC bằng góc của
AB tạo với BC nên :
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
5
5 2a 5b 29 a b
9a2 + 100ab – 96b2 = 0
8
9
Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác
Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1®
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
x 9 t
y 6 8t
z 5 15t
+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1
Ta có :
MM ' 2; 1;3
1 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 1
MM ' u, u ' 2; 1;3 ; ; 8 0
Do đó (d) và (d’) chéo nhau (Đpcm) Khi đó :
d d , d '
11
u, u '
0,25
0,25
0,25
0,25
VII 1đ
Chọn khai triển :
x 1 C C x C x C x
x 1 C C x C x C x C C x C x C x
Hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)5.(x + 1)7 là :
C C50 57C C15 47C C52 37C C35 72C C45 17 C C55 07
Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và hệ số của x5 trong khai triển của (x + 1)12 là : C125
Từ đó ta có : C C05 57C C15 47C C25 37 C C35 27C C45 17C C55 07 = C125 = 792
.0,25
0,25 0,25
0,25