Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.. a Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAC.[r]
Trang 1é Ề THI t h ử ĐẠI HỌC l ần ii
NĂM h ọ c : 2010-2011 Mụn thi : TOÁN
làm bài:180 ph út Th ờ i g ia n ( không kể thời gian giao đề)
PH ẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x3
+ 3x2 + mx + 1 cú đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
2 Xỏc định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phõn biệt C(0;1), D, E
sao cho cỏc tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuụng gúc với nhau
Cõu II: (2 điểm)
1 Giải hệ phương trỡnh: 2 0
x y xy
2 Tìm x ( 0 ; ) thoả mãn phương trình: cotx – 1 = x x
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2
Cõu III: (2 điểm)
1 Trờn cạnh AD của hỡnh vuụng ABCD cú độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x a) Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a
a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
b) Kẻ M H vuông góc vớ i AC tạ i H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SM CH lớ n nhất
2. Tớnh tớch phõn: I = 4 2
0 (x sin 2 ) cos 2x xdx
Cõu IV: (1 điểm) : Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.
Chứng minh rằng : a b2 b c2 c a2 2
PHẦN RIấNG (3 điểm) ( Chú ý! :Thí sinh chỉ được chọn bài làm ở một phần )
A Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu Va :1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giá c ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3
2 và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
2.Trong không gian vớ i hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4)
và đường thẳng : 1 2
x y z
Tìm toạ độ điểm M trên sao cho: 2 2
28
MA MB
Cõu VIa : Giải bất phương trình:
3 2
4 )
3 2 ( )
3 2
x x x x
B Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu Vb:1 Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2
+ y2 – 6x + 5 = 0 Tỡm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà gúc giữa hai tiếp tuyến đú bằng 600
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d vớ i
d : x 1 y 1 z
.Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d Cõu VIb: Giải hệ phương trỡnh
2 2
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
(Cá n bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2
Hướng dẫn chấm môn toán
Câu ý Nội Dung Đ iểm
y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1 m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3) + TXẹ: D = R
+ Giới hạn: lim , lim
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x
Baỷng bieỏn thieõn:
0,25
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 x = –1 tõm đối xứng U(-1;0)
* ẹoà thũ (C3):
Qua A(-2;-1) ; U(-1;0); A’ (0;1)
0,25
Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (Cm) vaứ ủửụứng thaỳng y = 1 laứ:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0
2
0,25
* (Cm) caột ủửụứng thaỳng y = 1 taùi C(0;1), D, E phaõn bieọt:
Phửụng trỡnh (2) coự 2 nghieọm xD, xE 0
2
4 m
9
Trang 3kE=y’(xE)= 2
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1
(3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-ét)
4m2 – 9m + 1 = 0
8
8
m
m
So s¸ nhĐk (*): m = 19 65
8
0,25
1 § k:
1 1 2
x
y
(1)
2 0( )
x y voly
0,5
x = 4y Thay vµo (2) cã
1 ( )
2
x
0,25
V©y hƯ cã hai nghiƯm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25
®K:
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2 sin
x
x x
x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
0,25
Trang 4 cos x sin x sin x ( 1 sin 2 x ) (cos x sin x )(sin x cos x sin2x 1 ) 0
0,25
(cos x sin x )(sin 2 x cos 2 x 3 ) 0
(cos )( 2sin(2 ) 3) 0
4
4
x sinx
x voly
0,25
cos x sin x 0 tanx = 1 ( )
Do
4 0
;
0
x
0,25
SA ABCD
SAC ABCD
SA SAC
Lai cã
2
o
x
0,25
Ta cã
0
MHC
SMCH MCH
O,5
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
2
2
SMCH
a
a
a
x a
0,25
Trang 5IV 1 1
.Ta có :VT =
2
3 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a A
0,25
1
2
a b b c c a
0,25
I =
1 2
( x sin 2 ) x cos xdx 2 xcos xdx 2 sin 2 xcos xdx 2 I I
0,25
Tính I1
đặt
4 1
0
1 sin 2 4 sin 2 1
0 2
1 2 4 1
0
cos x
0,25
Tính I2
4
2 0
4 sin 2 (sin2 ) sin 2
0
0,25
Vậy I= 1 1 1
Trang 6Từ đó tacó VT 3 1 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3
0,25
Ta có: AB = 2, trung điểm M ( 5; 5
2 2),
pt (AB): x – y – 5 = 0
0,25
SABC= 1
2d(C, AB).AB = 3
2 d(C, AB)= 3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
0,25
d(G, AB)= (3 8) 5
2
= 1
2 t = 1 hoặc t = 2
G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
0,25
Mà CM3GMC = (-2; -10) hoặc C = (1; -1)
0,25
1
2
z t
0,5
28 12 48 48 0 2
Từ đó suy ra: M (-1 ;0 ;4) 0,25
2 2
2 3 2 ( 0 )
2
t x x BPTTT : 1 4
t t
t2 4 1 0 t 2 3 t 2 3 (tm)
0,25
Khi đó : 2 3 2 3 2 2 3
2
1 2
1 2
0,25
x2 2 x 1 0 1 2 x 1 2 0,25
Trang 7(C) cú tõm I(3;0) và bỏn kớnh R = 2; M Oy M(0;m) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
0
60 (1)
120 (2)
AMB AMB
(1) AMI = 300
0
sin 30
IA MI
MI = 2R m2 9 4 m 7
sin 60
IA MI
9 3
m Vụ nghiệm
Vậy cú hai điểm M1(0; 7) và M2(0;- 7)
0,5
0,5
Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn d, ta cú MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuụng gúc với d
d cú phương trỡnh tham số là:
x 1 2t
Vỡ H d nờn tọa độ H (1 + 2t ; 1 + t ; t).Suy ra :MH
= (2t 1 ; 2 + t ; t)
0,25
Vỡ MH d và d cú một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; 1), nờn : 2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = 2
3 Vỡ thế, MH
= 1; 4; 2
MH
u MH
0,25
Suy ra, phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z
Theo trên có ( ;7 1; 2)
H mà H là trung điểm của MM’ nên toạ độ
M ’(8; 5 ; 4)
3 3 3
0,25
ĐK: x>0 , y>0
log3xy = 1 xy = 3y= 3
x
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2
+ 2y2 = 9
0,25
VIb
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3; 3) hoặc ( 6; 6
2 )
0,25
Trang 8M
D
S
H