Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
1
x
y
x
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
có diện tích bằng , với I là giao điểm của hai tiệm cận.
Câu 2 (1,0 điểm)
a) sin 2 x 2cos2 x 3sin x cos x Giải phương trình:
b) log (42 x1 4).log (42 x 1) 3
Giải phương trình:
1
1
ln d
e
I x x x
x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân Câu 4 (1,0 điểm)
a) z z 2 i z 5 i w 1 iz z 2Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tính mô đun của số phức
b) Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ Tính xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4
2;5;1
A ( ) : 6 P x 3 y 2 z 24 0 784
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm và mặt phẳng Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.
SD a 300 a Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng Tính theo thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
2;3
B AB BC x y 1 0 M 2; 1 Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC Biết và , đường thẳng AC có phương trình , điểm nằm trên đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD.
3
x y y x y
x y
x x x y
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
, ,
a b c ab bc ca 3.Câu 9 (1,0 điểm) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:
.
1 a b c ( ) 1 b c a ( ) 1 c a b ( ) abc
Hết
-Học sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
1
(2,0đ)
a) (1,0 điểm)
\ 1
D
Tập xác định
2
1
1
x
Sự biến thiên: - Chiều biến thiên:
;1 1;
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng và
0,25
y 1 - Giới hạn và tiệm cận: tiệm cận ngang:
x 1 tiệm cận đứng:
0,25
- Bảng biến thiên:
x 1
y'
-y 1
1
0,25
b) (1,0 điểm)
:
d y x m Gọi
1
x
x m
x Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:
1
x 1 (Vì không phải là nghiệm của phương trình)
(1)
0,25
mTa có nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt 0,25
Trang 3A, B với mọi
1; 1 , 2; 2
A x x m B x x m x x1, 2Khi đó, , với là hai nghiệm của phương trình (1).
1;1 ,
2
m
I d I AB
Ta có:
2 2 2 2
AB x x x x x x x x m
và
0,25
1
IAB
m m
S AB d I AB
Ta có: Theo giả thiết, ta có:
2
IAB
m m
S m
0,25
2
(1,0đ)
2
2sin x 3sin x 2 2sin cos x x cos x 0a) Phương trình đã cho tương đương
2sinx 1 sin x cosx 2 0
0,25
sin x cos x 2 0 : Phương trình vô nghiệm
2 6
7 2 6
x k
x k
7
x k x k k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
0,25
1
log (4x 4).log (4x 1) 3 2 log (4x 1) log (4x 1) 3
2
log (4x 1)
t 2 3 1
3
t
t t
t
Đặt , phương trình trở thành:
2
2
t
: Phương trình vô nghiệm
0
x Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
0,25
3
(1,0đ)
I x x x x x x x x
Ta có:
0,25
1
ln d
e
x x x
ln
u x dv xdx
1
du dx x
2
2
x
v
Tính Đặt và Suy ra và
2
1
e
x x x x x
Do đó,
0,25
1
1
ln d
e
x x x
t ln x dt 1 dx
x
1
x t 0 x e t 1 Tính Đặt Khi thì , khi thì
1
e
t
x x
x
Ta có:
0,25
Trang 42 3
4
e
I
Vậy,
0,25
4
(1,0đ) z a bi a b ,
a b a
a b b
a) Đặt Từ giả thiết ta có:
1 2
z iDo đó
0,25
2
2
w iz z i i i i w 3
5
b) Số phần tử của không gian mẫu là:
Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5
tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4
0,25
3 1 1
10 .5 5 3000
Gọi A là biến cố cần tính xác suất Ta có:
3000 125
15504 646
n A
P A
n
Vậy, xác suất cần tính là:
0,25
5
1 2
x t
d y t
z t
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) Suy ra:
( )
H d P Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên
H t t t H d Vì nên
0,25
( )
H P 6 2 6 t3 5 3 t 2 1 2 t24 0 t1
Mặt khác, nên ta có:
4; 2;3
0,25
I Gọi , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
784 4 R2 784 R 14Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng , suy ra
( )
IH P I d Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên
I t t t t 1Do đó tọa độ điểm I có dạng , với
0,25
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
14 ( ,( )) 14
14
d I P
t t
AI
t
t t t
8;8; 1
Do đó,
2 2 2
( ) : S x 8 y 8 z 1 196
Vậy, mặt cầu
0,25
6
(1,0đ)
SH ABCD Gọi H là trung điểm của AB Suy ra
SCH và
SHC SHD SC SD a
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có:
0 0
SH SC SCH SC a
HC SC SCH SC a
0,25
Trang 5SH a AB 2 aVì tam giác SAB đều mà nên Suy ra
3
.
a
V S SH
Vậy,
0,25
2
BA HAd B SAC , 2d H SAC ,
Vì nên Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI Ta có:
ACHI ACSH ACSHI ACHK HK SI và nên Mà, ta lại có:
Do đó:
0,25
3
HI AH AH BC a
HI
BC AC AC Vì hai tam giác SIA và SBC đồng dạng nên
.
HS HI HK
HS HI
66 11
a
Suy ra,
11
a
d B SAC d H SAC HK
Vậy ,
0,25
7
tiếp trong một đường tròn Mà nên AC là đường phân giác của góc
'
B Gọi là điểm đối xứng của B qua AC
'
B ADKhi đó Gọi H là hình chiếu của B trên AC Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
3; 2
H
' 4;1
B
Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’ Do đó
0,25
'
MB
Đường thẳng AD đi qua M và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
x y A AC AD Vì nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Do đó,
'
Ta có ABCB’ là hình bình hành nên Do đó,
0,25
d x y Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra
I d ADGọi , suy ra I là trung điểm của AD Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
38 11
;
5 5
D
43 11
;
10 10
I
x y
x y
0,25
CD
9 x 13 y 97 0 Vậy, đường thẳng CD đi qua C và nhận làm vectơ chỉ phương nên
có phương trình (Học sinh có thể giải theo cách khác)
0,25
8
(1,0đ)
3
x y y x y
x x x y
0,25
Trang 6 3
(1) x x 2 y 3 y 4 y x x 2 y 1 y 1 2
3 2
f t t t 2;
Xét hàm số trên
2
f t t t f t 2;
Ta có: Suy ra hàm số đồng biến trên 1
x y Do đó:
0,25
1
y x x3 3 2 x 2 1Thay và phương trình (2) ta được:
2 2
x
x
0,25
x x y
(*)
2 2
x
Do đó phương trình (*) vô nghiệm
x y ; 2;3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
0,25
9
(1,0đ)
2 3
3 ab bc ca 3 ( abc ) abc 1Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 0,25
2
a b c abc a b c a ab bc ca a
a b c a
1 b c a ( ) 3 b 1 c a b ( ) 3 c Tương tự ta có:
0,25
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
(1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
0,25
abc ab bc ca a b c a b c Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0,25