Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt các trục toạ độ Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích của tam giác OAB nhỏ nhất và M thuộc đoạn AB.. Viết phương trình mặt phẳng α [r]
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
TỔ TOÁN -TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN; Khối: A, B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra: …/03/2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số yx3 2x2 (m 1)xm (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,
x2, x3 thỏa mãn điều kiện x13x23x33 11
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình:
(1 sinx cos 2 ).cos( ) 1
x
2 Giải phương trình: x x(4 21) ( x 3) 5 2 x 0 x R
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
4
2 0
tan ( 1)
1 tan
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các cạnh bên bằng a , đáy A'B'C' là tam giác đều
cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm H của cạnh A'B' Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC Tính thể tích khối tứ diện EHB'C' và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A').
Câu V (1,0 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
x y y z z x
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Biết phương trình các đường thẳng chứa đường cao
BH, phân giác trong AD lần lượt là 3x + 4y + 10 = 0, x – y + 1 = 0; điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB
và MC = 2 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ trục 0xyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình
( )P x: - 2y+ - =z 1 0 và ( )Q : 2x+ - + =y z 3 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM = 1
Câu VIIa (1 điểm) Tính mô đun của số phức z thoả mãn:
8
( 2 ) (1 2 )
256
i
z i i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(1; 3) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt các trục toạ độ Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích của tam giác OAB nhỏ nhất và M thuộc đoạn AB
2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 2z – 3 = 0, mặt phẳng (P): x –
y + z + 1 = 0 và hai điểm A(–1; 1; 0), B(2; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB,
vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C ) có bán kính bằng 3
Câu VII.b (1,0điểm) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện :
2
1
z i
i
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
TỔ TOÁN -TIN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra: 26/03/2013
I.1 - Học sinh khảo sát đầy đủ các bước- Vẽ đồ thị đảm bảo đối xứng qua điểm uốn 0.750.25
I.2
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là:
x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0 2
1
0, (1)
x
Để đồ thị hs(1) cát trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt(1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác
1
1
4 0
0
m
m
(*)
0.25
Giả sử x1 = 1, khi đó x2, x3 là hai nghiệm của phương trình(1), khi đó:
Theo đề ra: x13x32x3311 1 (x2x3)[(x2x3)2 3x x2 3] 11
3m 9 m 3
Kết hợp với đk (*) ta có
1
3
II.1
ĐK:
sinx 0
,
4
x k
k Z
0.25
(1 sinx cos 2 ).cos( ) 1 (1 sinx cos 2 )(sinx cos ).sinx
0.25
2
cos 2 sinx 0
sinx 1 2sin sinx 1 0 1, thoa dk(*)
sinx
2 2
2
2 , 6
7 2 6
x
x
0.5
II.2 Giải phương trình x x(4 2 1) ( x 3) 5 2 x 0
Điều kiện: x
5
2
PT đã cho tương đương với 2 (4x x21) 2(3 x) 5 2 x
0.25
2 (4x x21) [(5 2 ) 1] 5 2 x x (*)
Đặt u = 2x, v = 5 2x (v 0)
Phương trình (*) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 + 1) (**)
0.25
Xét hàm số f(t) = t(t2 + 1) f/(t) = 3t2 + 1 > 0, t
(trong bài, từ đk và pt (**) suy ra u, v [0; 5] – HS không cần nêu)
0.25
Trang 3Do đó f(t) đồng biến trên , nên (**) f(u) = f(v) u = v
Từ đó, Pt đã cho tương đương 2x = 5 2x
0
1 21
4
1 21 4
x
x
1 21 4
x
(thỏa đk) KL
0.25
III
0.25
4 2
x
2
1 tan
x
0.25
3
1
8 4
1
192 8 4
I
0.25
IV
BE//( A'B'C') nên d(E, (A'B'C')= B'H
Tam giác B'HC' vuông tại H nên
2
a
V EHB C B H S HB C
0.25
' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
B ACC A
B ACC A ABC A B C B A B C ACC A
S
' '
3
2 2
3
4
ACC A
a
a a
V
Ta có
2
xy
Mà xy + yz + zx
2
(x+2y)(2x+y)
2 9
xy
0.25
Nên P
x y z
Vậy GTLN của P là
1
VIa.1 + Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD.
Đt MM’ qua M(0; 2) và vuông góc AD nên có
phương trình: x + y – 2 = 0
0.25
M' K
H A
M(0;2)
Trang 4Tọa độ giao điểm K của MM’ và AD là K(
1
2;
3
2).
Suy ra tọa độ M’(1; 1)
Vì AD là phân giác trong góc A, M AB nên M’ AC Do đó đường thẳng AC qua M’(1; 1)
và vuông góc BH nên tìm được pt AC: 4x – 3y – 1 = 0
Ta có A = AC AD A(4; 5)
Đt AB qua A và M nên lập được phương trình AB: 3x – 4y +8 = 0
Ta có B = AB BH nên tìm được B(–3; –
1
4 )
0.25
Ta có MC = 2 nên C thuộc đường tròn (C ) tâm M(0; 2), bán kính 2 Ngoài ra, C AC
nên tọa độ C là nghiệm hệ
2 ( 2)2 2 (pt (C))
x y
2
4 4
33
1 hoac
25
y
x
Suy ra có 2 điểm C thỏa điều kiện trên: C(1; 1), C’(31/25; 33/25)
0.25
Theo cách xác định C như trên, thì B và C có thể nằm về 2 phía đối với AD, nên có thể xảy
ra trường hợp AD là phân giác ngoài góc BAC
+ Kiểm tra cặp B và C với AD: (–3+
1
4 +1)(1–1+1) < 0, suy ra B và C nằm về 2 phía đối với
AD Tương tự, B và C’ nằm về 2 phía đối AD
KL: 2 bộ 3 điểm: A(4; 5), B(–3;–
1
4 ), C(1; 1) và A, B, C’(31/25;33/25)
0.25
VIa.2
Vì M mp Oxy và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y; 0) Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mp(Q)
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm
Ta có (S) tiếp xúc với mp(Q) tại M nên IM (Q)
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến nr(2;1; 1- ).
Ta có IM (Q)
1 2 5
ì = + ïï
ïï
ï =-ïïî
uur r
¡ I (P) 1 + 2t – 2(–5 + t) – t – 1 = 0 t = 10 I(21; 5; – 10)
0.25
Vậy phương trình mặt cầu (S): (x – 21)2 + (y – 5)2 + (z + 10)2 = 600 0.25
VIIa
Ta có
2 4 ((1 ) ) (1 2 2 )(1 2 )
256
i
=
1 81
16 16
81
2 16
Vậy
7073 256
VIb.1
Lập luận M1;3có toạ độ dương thuộc góc phần tư thứ nhất và điểm M thuộc đoạn AB nên
điểm A, B thuộc tia Ox, Oy, suy ra A a ;0 , B0;b với a0,b 0 0.25 Viết phương trình đường thẳng d theo đoạn chắn: 1
x y
ab .
Lập luận điểm Md
1 3
1
a b .
0.25
Trang 5Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng - trung bình nhân cho hai số dương
1 3 ,
a b ta có:
1=
0.25
ab = 12
2
6 2
a b
a b
Do đó, phương trình đường thẳng d: 2 6 1 6 2 12 0
x y
0.25
VIb.2
Pt (S) viết dưới dạng (x – 2)2 + (y + 1)2 + (x + 1)2 = 9
Ta có AB
= (3; 1; 1), một VTPT của mp(P) là n
= (1; – 1; 1)
Do đó [ AB
, n
] = (2; – 2; – 4) ≠ 0
Gọi u
là một VTPT của mp(α) Ta có ( ) //
( ) ( )
u
cùng phương với [ AB
, n
]
Chọn u
=
1
2[ AB , n] u
= (1; – 1; –2)
0.25
Mp(α) có một VTPT u
nên có phương trình dạng x – y – 2z + D = 0
Gọi d là khoảng cách từ I đến mp(α) Mp(α) cắt (S) theo một đường tròn (C ) có bán kính r =
3 nên d = R2 r2 9 3 6
Ta có d = 6
2 ( 1) 2( 1)
6 6
D
|5 + D| = 6
1 11
D D
0.25
Với D = 1 thì (α): x – y – 2z + 1 = 0 không qua A(–1; 1; 0) (vì – 1 – 1 – 2.0 + 1 ≠ 0) nên
(α) // AB Tương tự, mp(α): x – y – 2z – 11 = 0 cũng song song với AB
Vậy có hai mặt phẳng (α) thỏa yêu cầu bài toán có phương trình:
x – y – 2z + 1 = 0 và x – y – 2z – 11 = 0
0.25
VIIb
Đặt z a bi a b , , theo bài ra ta có: 2(a2b2) ( a(b1) ).(1 )i i a2b28a 0.25
8 ( 1) 1) 0
1 0
a b
Giải hệ được
2 2 2 2
2 à 2
4 2 4 2
v
2 2 4 2 2 2 4 2
,
0.5