Trờng THPTĐa Phúc Đề thi thử đại học năm 2011Môn: Toán, Khối: A Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề.. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại t
Trang 1Trờng THPT
Đa Phúc Đề thi thử đại học năm 2011Môn: Toán, Khối: A
Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề.
I Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số y x mx (m 3)x
2
1 3
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ; cực tiểu tại xCT sao cho xCĐ; xCT là độ dài hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
2
5
Câu 2 (2 điểm)
4 2 ( cos 3 2 ) 2 sin 1 ( 3 cos 3 cos
4 Giải bất phơng trình: 2x2 +8x+6+ x2 −1≤2x+2
x x
x x
I =∫2 + −
03 4sin cos2
cos sin
π
Câu 4 (1 điểm) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của đỉnh A’ trên mp (ABC)trùng với tâm O của ∆ABC Gọi (α) là mặt phẳng chứa BC và
vuông góc với AA’; (α) cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
8
3
2
Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 =12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
6 3
6 3
6
+
+ +
+ +
=
a
c c
b b
a A
II Phần riêng (3 điểm)
Học sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 phần (Phần A hoặc B)
A Câu 6a) (2 điểm)
1 Trên Oxy cho Elip 2 1
2 2
2
= +
b
y a
x
(a>b>0) biết
2
1
2 2
=
−
a
b a
hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại
A, A’, cắt Oy tại B, B’ Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABA’B’ có diện tích bằng 4π
2 Trên Oxyz cho mp(α): x− y+z−5=0, đờng thẳng (d):
2 2
2 1
z y
x = − = Viết phơng trình đờng thẳng () đi qua A(3,-1,1); nằm trong (α) và hợp với (d) một góc 450
Câu 7a) (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức
2010 2011 2011 2008
2010 2011 2006
3 2011 2008
2 2011 2010
1
2
1 3 2
1 2 2
1
C
B Câu 6b) (2 điểm)
1 Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0 Gọi I là giao điểm của d1 và d2; A là
điểm thuộc d1, A có hoành độ dơng khác 1 (0 < xA ≠ 1) Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua
A, cắt d2 tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA
2 Trên Oxyz cho 2 đờng thẳng: d1:
1 1
2 1
z y
−
−
1
5 1
3 2
2
−
+
=
−
=
x
Lập phơng trình
)
(α
mp : chứa d1 và tạo với d2 một góc 600
Câu 7b) (1 điểm) Giải phơng trình: log2 4 log2 4 1 0
2 x+ x x− x− =
Hết
Trang 2-Đáp án Thang điểm –
1) Với m = 1 ta có h/s: y x x 2x
2
1 3
1 Tập xác định: D = R
2 Sự biến thiên:
a) Đạo hàm: y’ = x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2
⇒
* h/s đồng biến trên các khoảng (−∞;−1);(2;+∞)
h/s nghịch biến trên khoảng (-1; 2)
* h/s đạt cực đại tại x = -1; yCĐ=
6 7
h/s đạt cực tiểu tại x = 2; yCT=
3
10
−
b) Giới hạn:
= − − =−∞
−∞
→
−∞
2
1 3
1 ( lim
x x x
y x x
= − − =+∞
+∞
→ +∞
2
1 3
1 ( lim
x x x
y x x
c) Bảng biến thiên:
3 Vẽ đồ thị:
12
13 2
1 0
1 2
y x
x y
Đồ thị có điểm uốn )
12
13
; 2
1
U
2
3 3
3
2 2
0 0
−
=
⇒
=
−
=
⇒
−
=
=
⇒
=
y x
y x
y x
0,25
0,25
0,25
0,25
x-12y’+ 0-0+y
Trang 32) Tìm m 1 điểm
Ta có y'= x2 −mx+m2 −3; pt y'=0⇔ x2 −mx+m2 −3=0 (*)
.Hàm số có CĐ; CT ⇔ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔
2 2
0 4 0
12 3
0 ) 3 (
2 − − > ⇔− + > ⇔ − < ⇔− < <
=
.xCĐ; xCT là 2 nghiệm của (*) và là độ dài 2 cạnh của 1 tam giác vuông ⇒ xCĐ
0
0 3 0
0
>
>
−
⇒
>
+
=
>
=
m
m x
x S
x x P
CT CD
CT
(2) xCĐ; xCT là độ dài 2 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
2
7 2
7 2
5 ) 3 ( 2
2
5 2
) (
2
5 2
5
2 2
2
2 2
2
±
=
⇔
=
⇔
=
−
−
⇔
=
− +
⇔
= +
⇔
m m
m m
x x x
x x
Kết hợp với điều kiện (1) và (2) đợc
2
7
=
m
0.25
0.25
0.25
0.25
4 2 ( cos 3 2 ) 2 sin 1 ( 3 cos 3 cos
) ( 3 18
2 )
6 3 sin(
0
0 cos )
6 3 sin(
2
0 ) 6 2 sin(
) 6 4 sin(
0 ) 2 sin 2
3 2 cos 2
1 ( ) 4 sin 2
3 4 2
1 (
0 ) 2 sin 3 2 (cos ) 4 sin 3 4 (
4 sin 3 3 2 sin 3 3 2 4
)) 2 4 ( 1 ( 3 2 sin 3 3 2 4
*
Z k k x
k x
x cox
x x
x x
x x
x x
cox
x x
x x
cox
x x
x cox x cox
x cox x
x cox x cox
∉
+
−
=
+
=
⇔
+
=
⇔
= +
⇔
= + +
+
⇔
=
− +
+
⇔
=
− +
+
⇔
−
= +
+ +
⇔
+ +
= +
+ +
⇔
π π
π
π π
π
π π
π
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Giải bpt: 2x2 +8x+6+ x2 −1≤2x+2 (*) 1 điểm
.ĐK:
≥
−
=
−
≤
⇔
≥
−
≤
−
≥
−
≤
⇔
≥ +
−
=
−
≥ + +
= + +
= + +
1 1 3
1 1 1 3 0
) 1 )(
1 ( 1
0 ) 6 2 )(
1 ( ) 3 )(
1 ( 2 6 8 2
2 2
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x
Với x = -1: VT(*) = 0; VP(*) = 0 ⇒ x = -1 là 1 nghiệm của bpt(*)
0.25
0.25
] -3
] -1 [ [ 1
Trang 4Với x ≥ 1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ 2x + 2 = 2( x+1)2
x – 1 ≥ 0
2x + 3 > 0
Khi đó:
1 1
1 7
25 1
0 25 18 7
1 2 )
6 4 2 ( 4
1 6
4 2 2
4 4 ) 1 )(
6 2 ( 2 5 3
1 2 1 6
2
) 1 ( 2 1 1 6
2 1 (*)
2
2 2
2
2
=
⇔
≥
≤
≤
−
⇔
≥
≤
− +
⇔
+
−
≤
− +
⇔
−
≤
− +
⇔
+
≤
− + +
+
⇔
+
≤
− + +
⇔
+
≤
− + + + +
⇔
x x
x x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
Với x ≤ -3 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ -x – 1 > 0 ⇒ -x – 1 = ( −x−1)2
x – 1 < 0 ⇒ -x – 1 > 0
2x + 6 ≤ 0 ⇒ -2x – 6 ≥ 0
Khi đó:
1 2
1 6
2
) 1 (
2 ) 1 ( 2 ) 1 ).(
1 ( ) 6 2 )(
1 (
−
−
−
≤ +
− +
−
−
⇔
−
−
−
=
−
−
−
≤ +
−
−
− +
−
−
−
−
⇔
x x
x
x x
x x
x x
(vô nghiệm, vì VT ≥0 còn VP < 0)
KL: bpt có tập nghiệm S = { 1}±
0.25
0.25
x x
x x
I =∫2 + −
0 3 4 sin cos 2
cos sin
π
1 điểm
+ +
=
− +
= 2
0
2 0
2 0
2
cos sin sin
2 sin 4 2
cos sin 2
cos sin
4 3
cos sin
dx x
x x dx
x x
x x dx
x x
x x I
Đặt t = sinx⇒ dt = cosxdx
Khi :
4
1 4 ln 4
1 2 ln 2 1 2
1 2 ln 2 1
1
1 1
ln 2
1 )
1 (
1 1
1 2
1 )
1 (
1 ) 1 ( 2
1 ) 1 ( 2
1 0
1 0 1
0
1 0
1 0
2 2
2
−
=
−
=
=
+ + +
=
+
− +
= +
− +
= +
=
t t
dt t
t t
tdt I
0.25
0.25
0.25
0.25
1 2
0 0
=
⇒
=
=
⇒
=
t x
t x
π
Trang 5* Giả sử (α) ⊥ AA’ tại giao điểm K
⇒ BCK là thiết diện (α) cắt lăng trụ, theo giả thiết ta có:
8
3
2
a
S∆BCK =
* Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥ BC
Mà AM là hình chiếu của KM ⇒ KM ⊥ BC (định lý 3 đờng vuông góc)
⇒ K ˆ M A=ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (α)
ABC có diện tích
4
3
2
a
S = (diện tích tam giác đều)
KBC có diện tích
8
3
2
KBC là hình chiếu vuông góc của ABC trên mặt phẳng (α) Góc của (α)và (ABC) và là ϕ
0 2
2
60 2
1 4 3 8
3 '
a
a s s
Dễ thấy K MˆA=O Aˆ'A=600
Xét OA’A vuông tại O có:
3 3
3 3
3 60
cot 2
3 3
2 ' ˆ cot
A A O OA O
Theo giả thiết ⇒ A’O là đờng cao của lăng trụ
12
3 3
4
3 '
3 2
' ' '
a a a O A S h B
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5 Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 =12 1 điểm
Ta có:
C
A B
K C’
A’
B’
A’
K
A
O
Trang 6
) 2 2
2 ( 2
2
2 1
; 2
2 1
:
2
2 2
1 1
) 1 )(
1 ( 1
2
6 2
6 2
6
2 3
2 3
2
2 2
2 3
+
+ +
+ +
≥
⇒
+
≤ +
+
≤ +
⇒
+
= +
− + +
≤ +
− +
= +
a
c c
b b
a A
c c
b b
t
a a
a a a
a a a
Ta có:
2 2
2 6
2 2
2 6
2 2 3 3 2
2 9 6 2
2 6
8 3
32 9
) 2 ( 16 2
8 3
32 9
) 2 ( 16 2
8 2 3 )
2 (
) 2 (
2 3 3
32 9
) 2 ( 16 2
c
a a
c
b
c c
b
a a b
b a b
b a
≥ +
+ +
+
≥ +
+ +
+
=
= +
+
≥ +
+ +
+
Cộng vế với vế 3 bđt trên đợc bđt:
32 2 2
2
) (
8 32 ) 6 (
9
16 2 2
2
2
6 2
6 2
6
2 2 2 2
2 2 2
6 2
6 2
6
≥ +
+ +
+ +
⇔
+ +
≥ + + + + +
+
+ +
+ +
a
c c
b b
a
c b a c
b a a
c c
b b
a
⇒ A = 64 với mọi a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 12 Với a = b = c = 2 thoả điều kiện giả thiết thì A = 64 Vậy minA = 64 đạt đợc khi a = b = c = 2
0.25
0.25
0.25
0.25
gt: Diện tích hình tròn nội tiếp
hình thoi ABA’B’ bằng 4π
⇒ bán kính đờng tròn r = 2
O là tâm hình tròn, kẻ OK ⊥ AB’ ⇒ r = OK = 2
.Xét tam giác vuông OAB’ ta có: 2 2 2 12 12
4
1 1
1 1
b a OB
OA
Từ gt:
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
1
b a b a a
b a a
a
b a
=
⇔
−
=
⇔
−
=
⇔
=
−
a2 và b2 đợc tìm từ hệ (1); (2)
=
=
⇔
= +
=
6
12 4
1 1
2
2 2
2 2
2 2
b
a b
a
b a
Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là: 1
6 12
2 2
= + y
x
0.25
0.25
0.25
0.25
*Theo giả thiết ⇒ mặt phẳng (α) có VTPT n=(1,−1,1)
(do a2 + b2 + c2 = 12)
(2)
B’
B
O K
Trang 7đờng thẳng d có VTCP u=(1,2,2)
*Giả sử v=(a,b,c) (a 2 + b 2 + c 2 > 0) là VTCP của đởng thẳng phải lập
ph-ơng trình:
- Từ giả thiết: ⊂ (α) ⇒ u.v=0⇔a−b+c=0⇔b=a+c(*)
- Từ giả thiết: hợp với d một góc 450 ( )
2
2 45 cos ,
⇒ uv
2
2
2 2 1
2 2
2 2 2 2 2
+ + +
+
+ +
⇔
c b a
c b a
do b = a+c, và từ (*) có:
( )
−
=
=
⇔
= +
⇔
= +
⇔
+ +
= +
+
⇔
+ +
= +
+
⇔
+ +
= +
⇔
= + + +
+ + +
⇔
15 7
0 0
15 7
0 30 14
18 18 18
32 48
18
) 2 2 2 ( 9 ) 16 24 9
( 2
2 2 2 3 4 3 2 2
1 )
( 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
c a
c ac
c ac
c
c ac a
c ac a
c ac a
c ac a
c ac a
c a c
c a a
c c a a
* với c = 0 ⇒ a = b lấy a = 1 ⇒ b = 1 ⇒ v=(1;1;0);A(3;−1;1)
) ( 1 1
3 : )
1
R t z
t y
t x
∈
=
+
−
=
+
=
∆
⇒
15
8 15
−
= chọn c = 15 ⇒ a = -7; b = 8
) ( 15 1
8 1
7 3 : )
2 2
2
R t t z
t y
t x
∈
+
=
+
−
=
−
=
∆
⇒
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 7a Nhị thức Newtơn 1 điểm
• Xét:
2011 2011 2011 2011
2011
1 2010
1 2011 2011
0 2011
2011 2011
0 2011 2011
2
1
2
1 2
1
) 2
1 ( )
2
1 ( ) (
x x
x
x x
x f
C C
C C
C
k k k
i i i
i
+ + +
+ +
=
= +
=
−
−
=
∑
• Lấy đạo hàm của f(x) 2 vế ta đợc:
(*)
2011
2
1
1 2
1 )
2
1 (
2011
1 2011 2011 2010
1 2011
k k
+ + +
+
=
−
Cho x = 2 vào 2 vế của (*) ta đợc 2010 )2010
2
5 (
2011 )
2 2
1 (
=
T
0.25
0.5 0.25
Câu
Trang 8• I = d1 ∩ d2 ⇒ tạo độ của I là n0 của hệ
=
=
⇒
=
− +
=
−
−
1
1 0
3 2
0 1 2
y
x y
x
y x
Vậy I(1; 1)
• Từ gt d1 có VTPT n1 =(2;−1);d2 có VTPT n2 =(2;1);
• Gọi ϕ là góc của d1 và d2
5
6 5
4 3 2 1
5
4 sin 5
3 5
1 4 cos
2
IA IA
IA
⇒
=
⇒
=
−
=
⇒
∆
ϕ ϕ
• Từ gt: S∆IAB =6⇒IA2 =5⇒IB2 =45
) 1 2 , ( ∀A∈d1 ⇒ A a a− với a > 0, a ≠ 1
=
=
⇔
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
=
2
0 5
) 1 ( 5 5 ) 2 2 ( ) 1 (
2
a
a a
a a
IA
a = 2 ⇒ A(2;3)
*.∀B∈d21⇒B(a,3−2b)
−
⇒
−
=
−
⇒
=
⇔
=
−
⇔
=
−
=
− +
−
=
⇒
) 7
; 2 ( 2
) 5
; 4 ( 4 9
) 1 ( 45
) 1 ( 5 ) 2 2 ( ) 1 (
2 2
2 2
2 2
B b
B b
b IB
b b
b IB
3 5
3 2
4
−
−
−
=
−
x
3 7
3 2
2
2
=
− +
⇔
−
−
=
−
−
−
y x y
x
0.25
0.25
0.25
0.25
Từ gt ⇒ d1 đi qua M1(0,2,0) có VTCF u1 =(1,−1,1)
d2 đi qua M2(2,3,-5) có VTCF u2 =(2,1,−1)
Giả sử n=(a,b,c) (aa + b2 + c2 > 0) là VTPT của mp (α)
+) từ yc (α) ⊃ d1 ⇒ n.u =0⇔a−b+c=0⇔b=a+c(*)
+) gọi ϕ là góc giữa (α) và d2 2 2 2
6
2 sin
c b a
c b a
+ +
− +
=
2 2
2 2
2 2 2
0 2
2 2 0
6 3
2
2
3 2
2 2 6
2 2
3 60
sin
6
2 60
c ac a a c
ac a a
c b a
c b a c
b a
c b a
+ +
=
⇔ + +
=
⇔
= + +
− +
⇔
=
= + +
− +
⇒
=
ϕ
−
=
=
⇔
= +
⇔ + +
=
⇔
c a
c c
ac c
ac a
0.25
0.25
loại
A
B IB=3TA
Trang 9c = 0 →(*) a=b Chọn a = 1 ⇒ b = 1 ⇒ n(1,1,0)
⇒ (α): 1(x-0) + 1(y – 2) + 0(z – 0) = 0 ⇔ x + y – z = 0 a = -c →(*) b=0 Chọn a = 1 ⇒ c = -1 ⇒ n(1,0,−1)
⇒ (α): 1(x-0) + 0(y – 2) - 1(z – 0) = 0 ⇔ x – z = 0
0.25
0.25
Câu
7b Giải phơng trình lôgarit: log2 4 log2 4 1 0
ĐK: x> 0
Đặt t = log2x ta có pt t2 + 4xt – 4x – 1 = 0 (*)
(coi là pt bậc 2 ẩn t: có ' 2 2
) 1 2 ( 1 4
=
Nên (*)
+
= + +
−
=
−
−
= +
−
−
=
⇔
1 ) 1 2 ( 2
1 4 ) 1 2 ( 2
x x t
x x
x t
Với t = +1 ⇒ log2x = +1 ⇔ x = 2
Với t = -4x – 1
Đặt f(x) = log2x ⇒ f(x) là hàm số đồng biến
g(x) = -4x – 1 ⇒ g(x) là hàm số nghịch biến
4
1 log ) 4
1
f
2 1 4
1 4 ) 4
1
g
Vởy x =
4
1
là nghiệm duy nhất
.KL: pt có tập nghiệm
= 4
1
; 2
S
0.25
0.25
0.25
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh giải theo cách khác đáp án trên, giải đúng, logíc,
lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa của mỗi ý.
