BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam

Trường THPT Lê Quý Đôn

BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH

Tổ : Toán - Tin

Trường THPT Lê Quý Đôn

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tíchkhối đa diện Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích và họctoán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu Qua thực

tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán

I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC

Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu

a) xác định đường cao

b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy

Để xác định đường cao ta lưu ý

•Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy

•Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý

•Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.

•Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

Sau đây là các bài tập

BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt bên SAB,SBC,SCA

cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp

Bài giải

Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy

Ta có p=

2

CA BC

OA=R=

s

c b a

4

.

SH = + ⇒SH=

2 2

2

2

SB SA

SB SA

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông gócvới mpABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

SI=IH.tan600= a

5

3

Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ∠ASB= 600,∠CSB=900, ∠CSA=1200

CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a,∠ACB=600

Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ

Bài giải

Nên AB⊥ mp(ACC1A) do đó ∠AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.

Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= 2 2

mặt khác A1A= A1B=A1C ⇒A1ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao

Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=

Bài 10

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= 3 và AD= 7 Các mặt bên ABB1A1 và

A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1

N H M

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD

Từ H hạ HM⊥AD tại M và HN⊥AB tại N

Theo gt ⇒ ∠A1MH=600 và ∠A1NH=450

Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= 0

60 sin

x

=

3

2x

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)

Nên HN=AM mà AM= 2

3 − x2

Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450

SB SA

SA V

Do vậy

1 1 1 1

1 1

sin

3 1

sin 3 1

1

SC SB

SB E A

AH BSC SC

SB E A

BSC SC

SB AH V

V

C B SA

Nên

SC

SC SB

SB SA

SA V

B1

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,

Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,

Ta có

12

2

3

1 1

a

V SAB C = (theo bài 6)

Mà .

1 1

1 1

C SAB

SC

SC SB

SB SA

SA

2

2

3

a

Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.

K

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC

Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a 3

Mà VLT=A1H.SABC=

4

3 4

3 3

3

2 a a

Bài giải

DDF

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv)

Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp

Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1

Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET 31

1

1 1

1 = =

IA

IB AA

1 = 1 =

JA

JD AA KD

72 3

2

2

2

1 3

1

3

1

1 1

3 2

3 2

1 3

1 2

1 3

1

1

abc c

b a JA

AI AA

V AA J JI = = =

V1= V AA J JI-2.V HIEB1=

72

25 72 2 8

III) BÀI TOÁN ÔN TẬP

I

E

F

J

Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một bàitoán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp

Bài 1

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a

a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C

b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE

2

3 3

1

3

1 1

a a a S

Nên

12

3 4

3 3

1

a V

V BCA B = LT = =

b) cách 1 Tính trực tiếp

gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC∩d và F=BC ∩d

MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE

13 12 6

3 ,

2

2 2

2 KG a a a KQ

QG

a GK

a

CK = = ⇒ = + = + =

6

3 2

3 3

1

2

1 3

2 3

a QK CK S

S CQG = CQK = = =

Mặt khác

54

3 5 12

13 ).

2

3 (

2

1 13

13 2 3

1 ).

, ( 3 1

13

13 2 12

13 6

3 2

2 ) , ( ) , ( 2 1

3

2

1 1 1

1

a a

a a

a S

QG C d V

a a

a QG

S QG C d QG C d QG S

B FEA B

FEA C

CQG CQG

= +

2

3 2

1 3

1 3

2 3

2 2

2 2

3 2

1 1

1

a a a V

CB

CF CK

CG V

V CFEA B = CGQB = CKQB B = =

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3,SA=2a và SA⊥ ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a

SA BC AB

SA

BA SA AH

AS AB

+

=

⇒ +

=

Trong tam giác vuông HAI có

5

6 5

4 2

2 2 2

a AH

14 7

3 2 5

6 5

2 ( 2 6 1

)

.(

6

1 2

1 3

1 2

1 3 1

3

a a

a a

a a

V

KI AK HI AH SI KI AK SI HI AH SI V

V

V

SAHIK

SIKA SIHA

SAHIK

= +

=

⇒

+

= +

= +

1

5

4 2

1

2

1

.

2

2 2

a a a

a V

SB

SA V

SC SB

SI SH

V SAHI = SABC = SABC = =

Tương tự

35

3

Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)

Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ

mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm

Tứ diện BCDE có VBCDE=

D F

Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

SM V

SB

SM V

SB

SM V

SC

SK SA

SA SB

SM

V

V

SABCD SBAC

SMAK SBAC

12

1

4

1

2

1

3

1

.

2

.

2

2

2 2

.

SC

SN SB

SM SC

SB

SN

SM

SC SO

SN SG SB SO

SM SG S

S S

S S

S S

SC

SN SB

SGM SBO

SGN SMG

=

+

=

=

Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên 1

SM SB

( 3

1

−

=

⇔ +

=

t

t SC

SN SC

SN t SC

SN t

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=

1

+

= +

t

t t SC

SN SB

1 1 )

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a Trên đường thẳngqua C và vuông góc với

mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E tính thể tích khối tứ diện CDEF

Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với

đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết

a) MpSBA vuông góc với mpSCA

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC

Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a Góc giữa đường thẳng BB1và mpABC bằng

600 Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a

Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của tam giác

ABC đến mpA1BC bằng

6

a

.hãy tính thể tích khối trụ đó

Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và

BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600 hãy tính thể tích khối trụ

Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,BC=2a Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc α hãy

tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi

M là điểm đối xứng với C qua D N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,

Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P)qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D Tam giác SAD là tam giác

đều cạnh 2a, cạnh BC =3a Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau Hãy tính thể tích khối chóp

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.AD

Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông là

SB=8a,SD=15a hãy tính thể tích khối chóp

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC vuông góc

Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho

BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi

a) mpα qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC

b) mpβ qua MP và song song với AI

c) mp γ qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC

Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= 3, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min

Baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy

sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN

a) Tính AM.CN theo a

b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min

Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc

chung Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN

a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó

b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN CMRV V MH NH

HOBN

HẾT