Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán trắc nghiệm tính diện tíchhình nón và thể tích khối nón

Đề tài được thực hiện như trên có thể xem là một tài liệu hướng dẫn học tậpđầy đủ, chi tiết nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế, khó khăn khiđứng trước bài toán trắc nghiệm tính d

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: - Hội đồng sáng kiến Trường THPT Phú Riềng

- Hội đồng sáng kiến Ngành Giáo dục và Đào tạo Bình Phước

- Hội đồng sáng kiến tỉnh Bình Phước

Chúng tôi ghi tên dưới đây:

Số

TT Họ và tên

Ngày, tháng, năm sinh

Nơi công tác

Chức danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến

1 Bùi Thị Ngọc Anh 01/12/1979

TrườngTHPTPhúRiềng

Tổtrưởng

Cử nhânĐại học

Sư phạmToán

50%

2 Lê Thị Mai Ly 10/09/1981

TrườngTHPTPhúRiềng

Giáoviên

Cử nhânĐại học

Sư phạmToán

50%

Là các tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến:

“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán trắc nghiệm tính diện tích

* Mô tả bản chất của sáng kiến

Bài toán tính diện tích hình nón và thể tích khối nón thường xuất hiệntrong các đề kiểm tra định kỳ môn Toán lớp 12 của học sinh Trung học phổthông và đề thi THPT Quốc gia Mặt khác, theo định hướng mới của Bộ Giáodục Đào tạo, hình thức kiểm tra đánh giá môn Toán được chuyển từ hình thức tựluận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Điều này dẫn đến một nhu cầu tấtyếu trong thực tế đối với học sinh: làm sao để giải quyết tốt các bài toán trắcnghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón Qua thực tế giảngdạy, trao đổi với đồng nghiệp và học sinh, chúng tôi thấy rằng, nhiềuhọc sinh tỏ ra lúng túng và không biết giải khi gặp các bài toánbài toán trắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón, vì nhiềunguyên nhân:

Về mặt khách quan, trong sách giáo khoa chỉ đưa ra các khái niệm về mặtnón, hình nón, khối nón; công thức tính diện tích hình nón và thể tích khối nón;

một vài bài tập trắc nghiệm tương đối ít, chưa đầy đủ Bên cạnh đó, tài liệu tham

khảo viết về bài toán này tương đối ít, nội dung trong các tài liệu này chưa cótính hệ thống, chưa phân dạng toán, sắp xếp bài tập chưa hợp lí, chưa cập nhậtkịp thời các nội dung có tính thực tiễn và phù hợp tư duy học sinh, chưa hướngdẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giảthiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giảibài toán

Về mặt chủ quan, không ít học sinh chưa nắm vững cơ sở lý thuyết của bàitoán tính diện tích hình nón và thể tích khối nón, hoặc mặc dù học sinh nắmđược cơ sở lý thuyết nhưng chưa được tiếp cận đầy đủ với các dạng toán, dẫnđến không vận dụng được vào các trường hợp cụ thể Bên cạnh đó, qua trao đổivới đồng nghiệp cũng như học sinh, chúng tôi nhận thấy, một số giáo viên xemnhẹ việc rèn luyện cho học sinh vấn đề hệ thống các lý thuyết cơ bản, cácphương pháp làm các dạng bài tập cơ bản, đơn giản, thường đặt nặng việc giải

các ví dụ, bài tập chuyên sâu, nâng cao Do đó, các em thường bị “khớp”, gặpnhiều khó khăn, lúng túng hoặc mắc sai lầm khi định hướng giải toán

Đề tài được thực hiện với mục đích khắc phục những nhược điểm của thựctrạng nêu trên

Là giáo viên giảng dạy với niềm đam mê bộ môn Toán học, với tất cả nỗlực, lòng nhiệt huyết và sự cố gắng của bản thân, chúng tôi đã đầu tư nghiên cứu

để hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán trắc nghiệm tính diện tích hìnhnón và thể tích khối nón theo các bước:

(1) Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan

(2) Nêu phương pháp chung giải bài toán trắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón

(3) Áp dụng vào bài tập: hệ thống bài tập được phân theo từng dạng toán Trong từng dạng toán, chúng tôi nhắc lại cơ sở lý thuyết liên quan, sau đó làcác ví dụ theo hình thức trắc nghiệm, đầy đủ, chọn lọc, cập nhật thực tiễn theođịnh hướng mới của Bộ Giáo dục - Đào tạo, đặc biệt là cập nhật các ví dụ tríchtrong các đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi THPT Quốc gia môn Toánnăm 2017

Ở mỗi dạng toán, các ví dụ được sắp xếp một cách hợp lý từ dễ đến khótheo bốn mức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao, phù hợp với

sự phát triển tư duy của người học, tạo sự hứng thú tự tin cho các em

Trong mỗi ví dụ giải mẫu đều có nhận xét, phân tích, chú ý kèm theo giúphọc sinh suy nghĩ, nắm bắt được mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kếtluận của bài toán, giúp các em phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, xác địnhđược những kiến thức, kỹ năng trọng tâm, từ đó tìm ra lời giải và đáp án bài toánmột cách chính xác, nhanh chóng, hiệu quả

Sau đó là các bài tập đề nghị với các bài tập tương tự, nâng cao để học sinhrèn luyện năng lực tương tự hoá, tổng quát hoá, nắm vững kỹ năng giải bài toántrắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón, rèn luyện khả năng tựhọc, tìm tòi, sáng tạo

Đề tài được thực hiện như trên có thể xem là một tài liệu hướng dẫn học tậpđầy đủ, chi tiết nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế, khó khăn khiđứng trước bài toán trắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón,giúp các em chủ động, tự tin, giải quyết hiệu quả bài toán này trong các đề kiểmtra định kỳ môn Toán lớp 12 của học sinh Trung học phổ thông và đề thi THPTQuốc gia.

Phần thực hiện trên đây được coi là những đóng góp mới của đề tài

Các bước thực hiện sáng kiến cụ thể như sau:

Bước 1: Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan.

1 Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d và Δ

cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β , 00 < β < 900

Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng

d sinh ra một mặt tròn xoay gọi là mặt nón tròn xoay

đỉnh O Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là

mặt nón

+ Đường thẳng Δ gọi là trục

+ Đường thẳng d gọi là đường sinh

+ Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2 Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

a) Cho tam giác OIM vuông tại I Khi quay tam

giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp

khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn

xoay, gọi tắt là hình nón

+ Hình tròn tâm I sinh ra bởi các điểm thuộc cạnh

IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của

hình nón

+ Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.

+ Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón.

+ Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

+ Độ dài đoạn IM gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón.

+ Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

b) Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó Người ta gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón + Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của

khối nón

+ Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối

nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón.

+ Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

3 Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp

là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnhcủa hình nón Khi đó ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xungquanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón

Cho hình nón có bán kính r của đường tròn đáy và độ dài đường sinh l

+ Diện tích xung quanh của hình nón: S xq =πrl

+ Diện tích mặt đáy của hình nón: Sđ =πr2.

+ Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = Sđ + Sxq

Chú ý:

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng làdiện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hìnhnón đó

Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồitrải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài

đường sinh của hình nón và một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáycủa hình nón Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh củahình nón.

4 Thể tích của khối nón tròn xoay

a) Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay

Cho khối nón có bán kính r của đường tròn đáy và độ dài đường cao h Thể

• Diện tích xung quanh của hình nón: S xq =πrl

• Diện tích mặt đáy của hình nón: Sđ =πr2

• Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = Sđ + Sxq

• Thể tích khối nón: 2

13

V = πr h.

Bước 3: Một số dạng toán thường gặp.

DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH

KHỐI NÓN CHO TRƯỚC

V = πr h= π

Đáp án: B.

Nhận xét:

Ví dụ này là một ví dụ cơ bản, thuộc mức 1- Nhận biết.

Học sinh nhận xét được khối nón đã cho có bán kính đáy và độ dài đường

cao Áp dụng công thức tính thể tích của khối nón: 1 2

3

V = πr h - phần Kiến thức

cơ bản, học sinh nhanh chóng giải quyết được yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy 3 và thể tích bằng 12π ,Tính diện tích xung quanh của hình nón

A S xq =16π B S xq =24π C S xq =15π D S xq =18π

Giải:

Giả sử khối nón có bán kính đường tròn đáy r, đường

sinh l và đường cao h Ta có:

Ở ví dụ này, học sinh cần nhận xét được, đề bài đã cho bán kính đáy của hình nón, do đó, để tính được diện tích xung quanh hình nón theo công thức xq

S =πrl , phải tính được đường sinh hình nón Dựa vào hình vẽ, giáo viên cần

hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững được công thức thể hiện mối liên

hệ giữa bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao hình nón: l2 =h2+r2

Từ đó học sinh định hướng được cần phải tính độ dài đường cao dựa vào dữ kiện thể tích và bán kính đáy Khi ấy các em nhanh chóng giải quyết được yêu cầu đặt ra của bài toán.

Ví dụ 3: Cho hình nón tròn xoay có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 600.Diện tích toàn phần của hình nón là

Giả sử hình nón có đường cao h=SO, bán kính đường

tròn đáy r=OA, đường sinh l=SA.

Ở ví dụ này, học sinh định hướng cần tính bán kính đáy của hình nón Dựa vào hình vẽ, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOA, học sinh tìm được mối liên hệ giữa các giả thiết đã cho (độ dài đường sinh, góc ở đỉnh) với yếu tố cần tính (bán kính đáy); từ đó giải quyết được yêu cầu đặt ra của bài toán.

Như vậy, qua các ví dụ 2,3, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát hiện được, theo định nghĩa, hình nón được tạo thành khi cho tam giác vuông

quay quanh cạnh góc vuông; do đó việc giải quyết tốt các bài toán hình nón

thực chất quy về việc giải quyết tốt các bài toán trong tam giác vuông Điều

này đòi hỏi các em cần thường xuyên rèn luyện, củng cố kiến thức trong hình học phẳng, cụ thể ở đây là những kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ 4: Cho hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng 200π , gócgiữa đường sinh và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng 600 Tính thể tíchcủa khối nón ứng với hình nón đã cho

Giả sử hình nón có đường cao h=SO, bán kính

đường tròn đáy r=OA, đường sinh l=SA

Góc giữa đường sinh và mặt phẳng chứa đường tròn

Nhận xét:

Ví dụ này là một ví dụ nâng cao hơn so với các ví dụ trên, thuộc mức Vận dụng thấp.

3-Với ví dụ này, trước hết đòi hỏi học sinh phải chuyển đổi được từ ngôn

ngữ hình học không gian (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ) sang ngôn ngữ hình học phẳng (góc giữa hai đường thẳng cắt nhau SA, OA trong tam giác vuông SOA) Dựa vào dữ kiện góc này, học sinh nhận thấy có mối liên hệ

giữa 3 yếu tố: chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh hình nón Kết hợp với giả thiết đã cho về diện tích xung quanh hình nón, học sinh cần nhận xét được, chọn 1 trong 2 yếu tố (đường sinh, bán kính đáy) là ẩn, các em sẽ tìm được ẩn

đó Như vậy học sinh tìm được các yếu tố còn lại và giải quyết thành công yêu cầu đặt ra của bài toán.

Ví dụ 5: Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và

· 30 ,0 · 600

SAO= SAB= Tính diện tích xung quanh hình nón

A

23

Nhận xét:

Ví dụ này cũng là một ví dụ thuộc mức 3- Vận dụng thấp.

Trong ví dụ này, từ giả thiết, dựa vào các kiến thức về đường tròn trong

hình học phẳng và các kiến thức về quan hệ vuông góc trong hình học không gian, học sinh phải nhận xét được các tam giác SOA, SAI, AOI là các tam giác

vuông Kết hợp với dữ kiện góc mà đề bài đã cho, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát hiện được, có thể tìm thấy mối liên hệ giữa các cạnh tam giác vuông OIA qua SA Khi đó, vận dụng dữ kiện khoảng cách OI của đề bài, các em tìm được bán kính đáy OA, vì vậy tìm được độ dài đường sinh của hình nón, giải quyết thành công yêu cầu bài toán.

Ví dụ 6: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3

với chiều cao là h và bán kính đáy là r Để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:

Ví dụ này là một ví dụ thuộc mức 4- Vận dụng cao.

Ở ví dụ này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận xét được, để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh của cốc giấy hình nón nhỏ nhất.

Như vậy bài toán đã cho quy về bài toán tìm r để diện tích xung quanh hình nón đạt giá trị nhỏ nhất

Để giải quyết được bài toán này giáo viên cần phát vấn, hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp, thể hiện qua các bước sau:

- Chuyển đổi bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh

hình nón thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số theo biến r ( học

sinh cần chú ý do đã có thể tích hình nón nên hoàn toàn có thể biểu diễn được chiều cao và độ dài đường sinh hình nón qua r ) Đây là một bài toán quen thuộc trong Đại số- Giải tích.

- Nhắc lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số

đã học trong Đại số- Giải tích, áp dụng làm bài.

- So sánh các cách làm với nhau và lựa chọn cách làm tối ưu, ngắn gọn nhất Trong ví dụ này học sinh nhận xét được, để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số, ngoài phương pháp dùng bất đẳng thức Cauchy như trên, học sinh có thể sử dụng nhiều phương pháp khác ( phương pháp hàm số ) Tuy nhiên phương pháp giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy như đã trình bày là cách giải tối ưu và ngắn gọn nhất.

Giáo viên cũng cần chú ý học sinh: một trong những thách thức của các

em khi làm bài trắc nghiệm là yếu tố thời gian Ví dụ trong đề thi THPTQG năm

2017, với số lượng câu hỏi là 50, thời gian làm bài 90 phút, như vậy trung bình

một câu các em chỉ có 1 phút 48 giây để hoàn thành Do đó giáo viên cần

hướng dẫn học sinh phải rèn luyện tư duy suy luận nhanh, chọn phương án hợp lý làm bài kết hợp sử dụng công cụ hỗ trợ máy tính cầm tay để giải quyết được mỗi câu hỏi trong thời gian ngắn nhất.

Ngoài ra khi giải quyết các ví dụ mẫu, giáo viên cũng có thể hướng dẫn các em một số mẹo để chọn nhanh đáp án Chẳng hạn trong ví dụ trên học sinh

cần chú ý yêu cầu đề bài đồng nghĩa với tìm r để giá trị hàm số là nhỏ nhất, do

đó học sinh chỉ cần tìm được điều kiện của r để dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra (không nhất thiết phải tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số theo như lời giải hoàn chỉnh ở trên), từ đó chọn nhanh được đáp án.

Câu 2: (Đề thi thử nghiệm kì thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho khối nón

(N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π Tính thể tích V của khối nón (N).

Câu 7: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12π(cm3) và

chiều cao là 4cm Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng

chiều cao không thay đổi thì diện tích miếng giấy bạc cần thêm là:

A (12 13 15+ )π( )cm2 . B.12π 13 cm( )2

C 12 13 ( )2

15 cm

π D (12 13 15− )π( )cm2

Đáp án: 1B, 2A, 3C, 4C, 5A, 6A, 7D.

DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN TẠO

BỞI PHÉP QUAY TAM GIÁC Dạng 2.1 Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông

Quay tam giác SOA vuông tại O quanh cạnh góc

vuông SO Khi đó ta được hình nón có:

+ Đỉnh S

+ Đường cao SO

+ Đường sinh SA.

+ Bán kính đường tròn đáy: OA.

+ Góc ở đỉnh ·2OSA

Dạng 2.2 Quay tam giác bất kì quanh một cạnh bất kì

Quay tam giác SAC quanh cạnh SC ta được hình

tròn xoay được xác định như sau:

+ Gọi AO là đường cao của tam giác SAC

+ Chia tam giác SAC thành hai phần là tam giác

SAO và tam giác CAO

+ Quay tam giác SAC quanh cạnh SC ta được ta

được hai hình nón chung đáy và trục như hình bên

(hai hình nón được tạo thành bởi tam giác SAO quay

quanh SO và tam giác CAO quay quanh CO) - quy về

Dạng 2.1.

Ví dụ 1: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, IM =a OM, =2a

Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI, thì đường gấp khúc OMI

tạo thành hình nón có diện tích xung quanh S bằng xq

Ví dụ này thuộc mức 1- Nhận biết, thuộc Dạng 2.1 Khối nón được sinh

ra khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông.

Đối với các ví dụ dạng này, giáo viên cần chú ý học sinh nhận biết, xác định đúng trục, đỉnh, đường cao, đường sinh, bán kính đáy của hình nón, khối nón dựa vào định nghĩa hình nón, khối nón - phần Kiến thức cơ bản.

Trong ví dụ trên, học sinh nhận xét được hình nón đã cho có trục OI, đỉnh

O, đường cao OI, đường sinh OM, bán kính đường tròn đáy IM Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, học sinh nhanh chóng giải quyết được yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Trong không gian cho tam giác

ABC vuông tại A, AB a= và ·ACB= °30 Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC

A

33

3

a

V = π . B V = 3πa3 C

339

Ví dụ này thuộc mức 2- Thông hiểu, thuộc Dạng 2.1 Khối nón được sinh

ra khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông

Tương tự ví dụ 1, học sinh phải xác định đúng được hình nón cần tính thể tích có trục CA, đỉnh C, đường cao AC, đường sinh CB, bán kính đường tròn đáy AB Từ đó, với dữ kiện đề bài, áp dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông đã được rèn luyện ở Dạng 1, học sinh giải quyết thành công yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc với đáy, SC a= 6 Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SCA tạo thành một hình nón tròn xoay Thể tích của khối nón

Ví dụ này cũng là một ví dụ thuộc mức 2- Thông hiểu.

Với những ví dụ kiểu này, giáo viên cần chú ý các em: mặc dù đề bài cho

là hình chóp, nhưng phân tích kỹ đề bài học sinh phải định hướng được bài toán này thuộc Dạng 2.1 Khối nón được sinh ra khi quay tam giác vuông quanh

một cạnh góc vuông

Cụ thể trong bài toán trên, theo dữ kiện đề bài, dựa vào các kiến thức về

quan hệ vuông góc trong hình học không gian, học sinh cần nhận xét được

tam giác SAC là tam giác vuông tại A Do đó, khi tam giác SAC quay quanh

cạnh SA thì đường gấp khúc SCA tạo thành hình nón có trục SA, đỉnh S, đường cao SA, đường sinh SC, bán kính đường tròn đáy AC Theo yêu cầu đề bài, học sinh xác định được các yếu tố cần tính dựa vào những yếu tố đã cho, từ đó giải quyết thành công bài toán.

Ví dụ 4: Trong không gian cho tam giác ABC cân tại A, AB a= 10, BC =2a

Gọi H là trung điểm của BC Tính thể tích V của khối nón nhận được khi

quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

Ví dụ này là một ví dụ thuộc mức 2- Thông hiểu.

Với dữ kiện đề bài và tính chất của tam giác cân, học sinh định hướng được hình nón sinh ra do tam giác vuông ABH quay quanh cạnh góc vuông AH, đưa bài toán về Dạng 2 1 Các em xác định được AH là trục, đỉnh A, đường cao AH, đường sinh AB, bán kính đường tròn đáy BH; áp dụng các kỹ năng đã được rèn luyện ở những ví dụ trước, học sinh giải quyết được yêu cầu đặt ra của bài toán.

Ví dụ 5: Trong không gian cho tam giác ABC có AB=6 ,a AC =8 ,a BC=10a

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC tạo thành hình tròn xoay có diện

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC tạo thành hình tròn xoay gồm hai hình nón do hai tam giác vuông AHB quay quanh cạnh góc vuông HB và tam giác vuông AHC quay quanh cạnh góc vuông HC.

+ Hình nón tạo bởi tam giác AHB có đường sinh AB =6a, bán kính đáy

.Vậy, diện tích toàn phần của hình nón tạo thành là:

23365

Ví dụ này là ví dụ thuộc mức 3- Vận dụng thấp , thuộc Dạng 2.2 Hình

nón được sinh ra khi quay tam giác bất kì quanh một cạnh bất kì.

Để giải quyết được bài toán này, theo cơ sở lý thuyết của Dạng 2.3, giáo viên cần phát vấn, hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp, thể hiện qua các bước sau:

- Từ dữ kiện đề bài, học sinh phải xác định được khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC gồm hai khối nón sinh ra khi hai tam giác vuông AHB quay quanh cạnh góc vuông HB và tam giác vuông AHC quay quanh cạnh góc vuông HC - đưa bài toán về Dạng 2 1.

- Dựa vào các kỹ năng đã được rèn luyện thành thạo ở dạng Dạng 2 1,

học sinh tính được thể tích hai khối nón trên, giải quyết được yêu cầu đặt ra của bài toán.

Trong các bước tính toán như thế này, giáo viên cần chú ý học sinh khai thác tối đa máy tính cầm tay để hỗ trợ, giảm bớt thời gian làm bài Chẳng hạn

trong ví dụ này, sử dụng máy tính cầm tay để tính diện tích toàn phần sẽ giúp học sinh tìm được kết quả một cách nhanh chóng, chính xác, từ đó chọn nhanh được đáp án.

Ví dụ 6: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên

nửa đường tròn đó, đặt α = ·CAB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên

AB Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác

ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.

AH = AC α = R α

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay

tam giác ACH quanh trục AB là:

Ví dụ này thuộc mức 4- Vận dụng cao

Dựa vào dữ kiện đề bài, học sinh nhận dạng được bài toán thuộc Dạng 2.1.

Hình nón được sinh ra khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông.

Dựa trên cơ sở lý thuyết và các tri thức phương pháp đã biết, học sinh tự tin, chủ động giải quyết ví dụ này bằng cách thực hiện các bước sau:

- Biểu diễn thể tích khối tròn xoay qua R ( yếu tố cố định, đóng vai trò là một hằng số ) và góc α ( yếu tố cần tìm, đóng vai trò là biến) Học sinh cần chú

ý ở đây: để biểu thị được chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh hình nón qua R và góc α , ngoài việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông,

còn cần chú ý khai thác dữ kiện góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

- Chuyển đổi bài toán tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay

thành bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.

- Nhắc lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, chọn lọc phương pháp tối ưu và áp dụng cho bài toán.

- Học sinh nhận xét được: để tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác trên một cách ngắn gọn nhất, nên tiếp tục chuyển đổi bài toán về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số theo biến t - một bài toán quen thuộc trong Đại số Giải tích.

- Thực hiện các bước tương tự như Ví dụ 6 - Dạng 1, học sinh cũng giải quyết được bài toán này, nhanh chóng tìm ra đáp án

Câu 3: (Sách giáo khoa Hình học 12) Gọi S là diện tích xung quanh của hình

nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quanh trục AA’ Diện tích S là:

A πb2 B πb2 6 C πb2 3 D πb2 2

Câu 4: (Sách giáo khoa Hình học 12) Cho hình tam giác đều ABC cạnh a quay

quanh đường cao AH tạo nên một hình nón Diện tích xung quanh của hình nón

đó là:

A πa2 B 2 aπ 2 C 1 2

2πa D 3 2

4πa

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, biết AB = a và · BAC =1200 Tính thể tích

khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.

Câu 7: Trong không gian cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3, trọng tâm G,

đường cao AH Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay tứ giác BMGH quanh trục AH.

Câu 8: Bạn An có một đoạn dây kẽm AB dài 40 cm Trên đoạn AB, An chọn một

vị trí C rồi gấp khúc đoạn kẽm tại vị trí C đó sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông tại B An cho đường gấp khúc ACB xoay quanh trục AB để được một hình nón tròn xoay Xác định độ dài đoạn BC để khối nón tròn xoay có thể

tích lớn nhất

A BC = 16 cm B BC = 15 cm C BC = 17 cm D BC = 14 cm.

Chú ý:

+ Chu vi của hình tròn bán kính r: C =2πr

+ Cung có số đo α rad của đường tròn bán kính R có độ dài: l =α.R

+ Diện tích hình quạt tròn bán kính R, số đo cung α rad là: 2

A 24π ( )cm2 B 6π ( )cm2 C 48π ( )cm2 D 12π ( )cm2

Giải:

Diện tích xung quanh hình nón là: S xq =π .2 6 12= π ( )cm2

Đáp án: D.

Nhận xét:

Ví dụ này thuộc mức 1- Nhận biết.

Áp dụng công thức chu vi hình tròn bán kính r: C=2πr kết hợp dựa vào hình vẽ, học sinh nhận biết được, với chu vi là 2 2 .π ( )cm thì bán kính hình nón

là r =2cm

Lại có độ dài đường sinh hình nón theo hình vẽ: l =6cm , học sinh áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón, nhanh chóng giải quyết được yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải

phẳng ra thành một hình quạt có bán kính bằng 9cm, số đo cung bằng 2

3

π.Tính diện tích xung quanh hình nón đó

A 24π ( )cm2 B 9π ( )cm2 C 27π ( )cm2 D 12π ( )cm2

Giải:

Giả sử hình nón có đường sinh l, bán kính đường tròn đáy r Ta có: l =9

Độ dài cung tròn hình quạt: 9 2 6

Với ví dụ này, dựa trên dữ kiện đề bài, cơ sở lý thuyết, tri thức phương pháp đã được giáo viên hình thành, học sinh nhận xét, để giải quyết yêu cầu bài toán cần thực hiện các bước sau:

- Xác định bán kính hình quạt = độ dài đường sinh hình nón l.

- Từ số đo cung tròn hình quạt cho trước, áp dụng công thức cung có số đo

α rad của đường tròn bán kính R có độ dài Rα , tìm được độ dài cung tròn

Ví dụ này thuộc mức 3- Vận dụng thấp, là ví dụ nâng cao hơn so với ví dụ trên.

Học sinh cần phát hiện được, nếu các Ví dụ 1, Ví dụ 2 là bài toán cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt

phẳng được một hình quạt; thì ví dụ này là bài toán ngược lại, ghép hai bán

kính một hình quạt tạo thành một hình nón.

Do đó, sử dụng cơ sở lý thuyết của Dạng 3, dựa trên dữ kiện đề bài, tri thức phương pháp đã được giáo viên hướng dẫn hình thành, học sinh thực hiện các bước sau để giải quyết yêu cầu bài toán:

- Xác định độ dài đường sinh hình nón l = bán kính hình quạt.

- Xác định chu vi đường tròn đáy của hình nón = độ dài cung tròn của hình quạt, từ đó tính được bán kính đường tròn đáy r của hình nón.

- Đưa bài toán cần giải quyết trở về Dạng 1.

Với dạng toán này, giáo viên cần chú ý hướng dẫn học sinh nhận xét được bước quan trọng nhất là bước 2: Tính toán chính xác chu vi đường tròn đáy của hình nón ( độ dài cung tròn của hình quạt ).

Ví dụ 4: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thướcbán kính R=5 và chu vi của hình quạt là P=8π +10, người ta gò tấm kimloại thành những chiếc phễu theo hai cách:

1 Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

2 Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xungquanh của hai cái phễu

A 1

2

217

V

V = B 1

2

2 217

V

2

26

V

V = D 1

2

62

Theo cách thứ hai: Tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là 8π

⇔ Chu vi của một đường tròn đáy là 4π ⇒4π =2 rπ ⇒ =r 2 Khi đó:

Dựa trên các kiến thức, kĩ năng đã được rèn luyện, học sinh chia bài toán cần giải quyết thành hai bài toán nhỏ: bài toán 1- tính V1 ,V2 tương tự như Ví

độ dài cung tròn hình quạt.

Qua các ví dụ này, học sinh thấy được, việc giải quyết các bài toán hình nón thuộc Dạng 3 thực chất quy về việc giải quyết các bài toán liên quan đến

hình tròn trong hình học phẳng Do đó, các em cần thường xuyên ôn luyện,

củng cố kiến thức hình học phẳng, vận dụng linh hoạt, hợp lý các công thức nhằm giải quyết tốt các tình huống đặt ra của mỗi bài toán hình học phẳng, từ

đó giải quyết hiệu quả những bài toán thuộc Dạng 3 nói riêng, bài toán liên quan đến hình nón nói chung.

Ví dụ 5: Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh bằng 3dm Gọi K

là trung điểm BC Người ta dùng compa có tâm là S và bán kính SK vạch một cung tròn MN (M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB và AC) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó Lấy phần hình quạt gò sao cho cạnh SM và SN trùng nhau thành một cái phễu hình nón không đáy với đỉnh là S Tính thể tích V của cái phễu.

V = π dm D 3 3

32

V = π dm

Giải:

Tam giác SBC đều cạnh bằng 3 3 3 3 3

l SN= =

¼

332

Ví dụ này cũng là một bài toán thực tế, thuộc mức 4- Vận dụng cao.

Qua trao đổi với học sinh, chúng tôi nhận thấy, nếu học sinh không được tiếp cận phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán Dạng 3 này, khi gặp ví

dụ trên, các em thể hiện nhiều hạn chế, khó khăn, dễ mắc sai lầm, kể cả học sinh khá giỏi Hơn nữa, các em cho biết, với áp lực thời gian khi áp dụng hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, gặp các bài toán thực tế tương đối rắc rối như thế, các em sẽ bỏ qua để dành thời gian làm các câu khác dễ hơn

Tuy nhiên, với kiến thức lý thuyết và tri thức phương pháp được giáo viên

hướng dẫn hình thành ở trên, học sinh chỉ cần nhận dạng được, tam giác SBC đều nên có thể dễ dàng tính được SK (đóng vai trò là bán kính đường tròn đáy hình nón), kết hợp với công thức tính độ dài cung tròn, các em giải quyết yêu cầu bài toán đặt ra một cách hết sức ngắn gọn như trên Lúc này, học sinh thể hiện rõ sự tự tin, hứng thú, sẵn sàng giải quyết những bài toán dạng này trong quá trình làm bài thi trắc nghiệm.

Ví dụ 6: Bình có một tấm bìa hình tròn tâm O bán kính R Bình muốn biến

hình tròn đó thành một cái phễu hình nón Khi đó Bình phải cắt bỏ hình quạt

tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ

không đáng kể) Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để

Độ dài cung tròn hình quạt dùng làm phễu: l »AB =Rx.

Giả sử hình nón có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh l.

Ví dụ này cũng là một bài toán thực tế, thuộc mức 4- Vận dụng cao.

Áp dụng kiến thức lý thuyết và tri thức phương pháp đã được rèn luyện qua các ví dụ trên, học sinh nhanh chóng chuyển đổi được bài toán tìm thể tích lớn nhất của phễu sang bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số theo biến x.

Ngoài cách sử dụng phương pháp Đại số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

ở trên, các em có thể sử dụng các phương pháp khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên cần hướng dẫn các em so sánh, phân tích phương pháp làm nào phù hợp với sở trường của mình, từ đó chọn cho mình một cách giải nhanh chóng, chính xác và hiệu quả.

Bài tập đề nghị:

Câu 1: Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng

ra thành một hình quạt có bán kính bằng 10cm, độ dài cung bằng 8 cmπ Tínhdiện tích xung quanh hình nón đó

A 40π ( )cm2 B 30π ( )cm2 C 160π ( )cm2 D 80π ( )cm2

Câu 2: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn

hình tròn với bán kính 60cm thành ba miền hình quạt bằng nhau Sau đó người

thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón Hỏi thể tíchcủa mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

ghép hai bán kính OA và OB lại với nhau sao cho thành một hình nón (như hình

vẽ) có diện tích xung quanh là :

Câu 4: An có một tờ giấy hình tròn tâm O, bán kính là 12cm Trên đường tròn,

An lấy một cung AB có số đo là 2

3

π

, sau đó cắt hình tròn dọc theo hai đoạn OA

và OB An dán mép OA và OB lại với nhau để được hai hình nón đỉnh O Tính tỉ

số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn (xem phần dán giấy khôngđáng kể)

A

28o. B 294o. C 13o. D 66o.

Đáp án: 1A, 2B, 3C, 4C, 5D.

DẠNG 4: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN

LIÊN QUAN ĐẾN THIẾT DIỆN Dạng 4.1 Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua trục

Mặt phẳng (P) đi qua trục SO cắt hình nón theo

một thiết diện là tam giác SAB cân tại S với:

+ AB là đường kính đáy.

+ SA và SB là đường sinh của hình nón

+ SO là đường cao của hình nón.

Dạng 4.2 Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt

phẳng đi qua đỉnh và không đi qua trục

Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S nhưng không đi qua

trục SO cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác

SAB cân tại S.

Gọi M là trung điểm của AB, kẻ

OH ⊥SM H SM∈ Khi đó:

+ ·SMO là góc giữa (P) và mặt phẳng chứa đáy

hình nón

+ Tam giác OAB cân tại O có OM vừa là đường cao, vừa là đường trung

tuyến Do đó, vận dụng tính chất hình học (hệ thức lượng trong tam giác vuông,

tỉ số lượng giác ) ta có thể tính được bán kính đáy của hình nón

+ SO là đường cao của hình nón.

Dạng 4.3 Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt

cạnh góc vuông bằng a Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác

SAB vuông cân tại S, O là trung điểm của AB.

Ví dụ này thuộc mức 2- Thông hiểu.

Với dữ kiện đề bài, học sinh định hướng được bài toán này thuộc Dạng 4.1.

Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua trục.

Áp dụng cơ sở lý thuyết và tri thức phương pháp đã được giáo viên hướng dẫn hình thành, các em xác định được AB là đường kính đáy, SA và SB là đường sinh của hình nón, SO là đường cao của hình nón Khai thác giả thiết tam giác SAB vuông cân, học sinh tính toán được các yếu tố này và nhanh chóng giải quyết thành công yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho hình nón (N) có đường sinh

tạo với mặt đáy một góc bằng 60° Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) theo

thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Tính thể tích

V của khối nón giới hạn bởi (N).

A V = 9 3π B V =9π C V =3 3π D V = 3π

Giải:

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB cân tại S Gọi O là trung

điểm của AB

Vì ·SBO=600 nên tam giác SAB đều Suy ra tâm

đường tròn nội tiếp tam giác SAB trùng với trọng

tâm tam giác SAB.

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.

Với dữ kiện đề bài, học sinh định hướng được bài toán này cũng thuộc

Dạng 4.1 Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua trục.

Trong ví dụ này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh chú ý đề bài chỉ cho dữ kiện bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB Do đó, để giải quyết bài toán,

các em phát hiện được phải khai thác tối đa các dữ kiện khác của đề bài để

phục vụ cho việc giải toán, cụ thể ở đây là phục vụ cho việc nhận dạng tính

chất tam giác SAB Học sinh nhận xét được, từ giả thiết đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60° kết hợp với kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian suy ra · SBO=600 nên tam giác SAB đều Bên cạnh đó,

từ kiến thức hình học phẳng về tâm, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, kết hợp với nhận xét tam giác SAB đều mới được rút ra, học sinh tìm được các yếu

tố cần tính (chiều cao, độ dài đường sinh hình nón), từ đó nhanh chóng giải quyết được yêu cầu bài toán.

Qua các ví dụ này, học sinh cần thấy được, mấu chốt để giải quyết Dạng

4.1 chính là khai thác được các đặc điểm, tính chất của thiết diện Điều này đòi