Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 12

Tìm gia tri l n nhât va gia tri nho nhât cua cac ham sô sau:.

2' '

 sinx'cosx sinu'u'.cosu

 (cos )'x  sinx (cos )'x  u'.sinu

x

sin

x x

sin 3x 3 sinx4 sin x (3sin – 4sın)

3cos 3x 4 cos x3 cosx (4cô – 3 cô)

Công th c c ông cung Công th c bi ên đôi tông thanh tıch

2

2sin

11cos

12tan

1

t t t t t t

M ôt sô công th c khac M ôt sô công th c khac

42

cotxtanx 2 cot 2x

 Kiêm tra xem cosx  co phai la nghiêm hay không ? Nêu co thı nhân nghiêm nay 0

 Khi cosx 0, chia hai vê ph ng trınh  2 cho cos x2 , ta đ c:

3 Ph n tın đ i x n dan : asinx cosxbsin cosx x  c 0  3

 Thay vao ph ng trınh  3 , ta đ c ph ng trınh bâc hai theo t t x

4 Ph n tın đ i x n dang: a sinx cosx bsin cosx x  c 0  4

a b x

a b x

Nêu ph ng trınh  1 có hai nghiêm phân biêt x x1, 2 thı:

 Tông hai nghiêm: S x1 x2 b

 Ph ng trınh co hai nghiêm phân biêt 0

 Ph ng trınh co hai nghiêm trai dâu  a c  0

 Ph ng trınh co hai nghiêm phân biêt cung dâu 0

 Ph ng trınh co hai nghiêm âm phân biêt

000

P S

P S

 Ph ng trınh  2 co 2 nghiêm phân biêt  3 co nghiêm kep x  ho c  3 co hai nghiêm

phân biêt trong đo co 1 nghiêm x  

P S

d ng

0 0 0

ac S

B A

 ê A va B n m vê cung phıa so v i đ ng th ng    axA  byA c   axB  byB   c  0

 A và B cùng n m trong đ ng tròn hay cùng n m ngoài đ ng tròn

1 Ph ng pháp gi i

+ B c 1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s Th ng g p các tr ng h p sau:

- ( )

: ( ) 0 ( )

+ B c 3: S p x p các đi m đó theo th t t ng d n và l p b ng bi n thiên đ xét d u y' f x'( )

+ B c 4: D a vào b ng bi n thiên, k t lu n các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s

- f x'( )y' 0 Hàm s đ ng bi n (t ng) trên kho ng……và……

- f x'( )y' 0 Hàm s ngh ch bi n (gi m) trên kho ng…và……

2 M t s l u ý khi giai toan

+ L u ý 1: i v i hàm phân th c h u ty thì d u “=” không x y ra

+ L u ý 2:

• C ba hàm s trên không th luôn đ n đi u trên .

c) i v i hàm mà có y'  f x'( ) 0 có nhi u nghi m, ta xét d u theo nguyên t c: (ph ng phap chung)

• Thay 1 đi m lân c n xo g n xn bên ô ph i c a b ng xét d u vào f x'( ) [Thay s xo sao cho d tìm '( )

x y

x y

x y

Bài 4 Tìm cac khoang đ n điêu cua cac ham sô sau:

a/ y   x sin , x x      0;    b/ y  2 sin x  cos 2 , x x      0;   

c/ y  sin2x  cos , 0; x        d/ y  sin3x  cos 2 x  sin x  2

a/ Ham sô y  x3   x cos x  4 đ ng bi n trên 

b/ Ham sô y 2 sinx tanx 3x đ ng bi n trên n a kho ng 0; 

• ê ham sô y  f x m  ,  nghich biên trên    ;   

+ khi ta đ t mg x  thì d a vào b ng bi n thiên ta s l y giá tr m  s l n nh t trong b ng bi n thiên

+ khi ta đ t mg x  thì d a vào b ng bi n thiên ta s l y giá tr m  s nh nh t trong b ng bi n thiên

III M t s l u ý khi gi i toán

• L u ý 1: Cân s dung thanh thao đinh lı Viet va so sanh nghiêm cua ph ng trınh bâc hai v i sô β

• L u ý 2: Ta có th dùng d ng toán lo i 3 đ gi i bài toán tìm tham s mc a m t b t ph ng trình ho c tìm

đi u ki n đ ph ng trình có nghi m, vô nghi m ho c 1, 2, …n nghi m, …

y  x  x  m  x  m nghich biên trên khoang   1;1 

c/ y  x3  3 x2  mx  4 đông biên trên khoang  0;  

y = + + + + + − đông biên trên n a khoang   1; 

Bài 5 Tìm giá tr th c mđ hàm s :

a/ y  x3  3 x2  mx  m giam trên đo n có đ dài b ng 1

b/ y    x3 x2    2 m x   1 t ng trên đoan co đô dai b ng 2

• B c 1: Chuy n b t đ ng th c v d ngf x ( )  0  hay    , ,  Xét hàm s y  f x( ) trên t p xác đ nh

do đ bài ch đ nh ho c mi m xác đ nh c a bài toán ma ta phai tım

• B c 2: Xét d u y' f x'( ) Suy ra hàm s đ ng bi n (hay ngh ch bi n)

• B c 3: D a vào đ nh ngh a đ ng bi n (hay ngh ch bi n) đ k t lu n T c là:

+ Hàm s y  f x( ) đ ng bi n trên K  x x1, 2 K và x1 x2  f x( )1 f x( )2

B ai toan 1. Tım m đê ph ng trınh f x; m 0 co nghiêm trên D ?

• B c 1 ôc lâp (tach) m ra khoi biên sô x va đ a vê dang f x A m 

• B c 2 Lâp bang biên thiên cua ham sô f x  trên D

• B c 3 D a vao bang biên thiên xac đinh gia tri cua tham sô m đê đ ng th ng yA m  n m ngang c t

đô thi ham sô y f x 

• B c 4 Kêt luân nh ng gia tri cân tım cua m đê ph ng trınh f x A m  co nghiêm trên D

B ai toan 2. Tım m đê bât ph ng trınh f x; m 0 ho c f x; m 0 co nghiêm trên D ?

• B c 1 ôc lâp (tach) m ra khoi biên sô x va đ a vê dang f x A m  ho c f x A m 

• B c 2 Lâp bang biên thiên cua ham sô f x  trên D

• B c 3 D a vao bang biên thiên xac đinh gia tri cua tham sô m đê bât ph ng trınh co nghiêm:

+ V i bât ph ng trınh f x    A m   đo la nh ng m sao cho tôn tai phân đô thi n m trên đ ng

th ng yA m ,  t c la A m    max f xD      

Dkhi max f x  + V i bât ph ng trınh f x A m  đo la nh ng m sao cho tôn tai phân đô thi n m d i đ ng

th ng y  A m ,   t c la A m    min f xD      

Dkhi min f x 

B ai toan 3. Tım tham sô m đê bât ph ng trınh f x A m  ho c f x A m  nghiêm đung   x D ?

+ Bât ph ng trınh f x A m  nghiêm đung   x D  min f xD    A m  

+ Bât ph ng trınh f x A m  nghiêm đung  x D max f xD  A m 

b/ m x2    2 x m co đung 3 nghiêm th c phân biêt

c/ x2 4 x   5 x2  4 x  m co nghiêm th c trong đoan   2; 3  

m m

1 Khái ni m c c tr c a hàm s : Gi s ham sôy  f x( )xác đ nh trên t pD D    vàx o D

+ xo là đi m c c đ i c a hàm s y  f x( ) n u    a b ,  D và xo    a b , sao cho f x ( )  f x  o ,

a nh lý 1: Gi s hàm s y  f x( ) liên t c trên kho ng   a b ;  xovà có đ o hàm  a b ,  \   xo

+ N u f x'( ) đ i d u t âm sang d ng khi x đi qua xo thì y f x( )đ t c c ti u t i xo

+ N u f x'( ) đ i d u t d ng sang âm khi x đi qua xo thì y f x( )đ t c c đ i t i xo

D NG 1 TÌM C C TR C A HÀM S

1 Ph ng pháp gi i

 Qui t c 1: Dùng đ nh lý 1

• B c 1: Tìm mi n xác đ nh Tính y' f x'( )

• B c 2: Tìm cac điêm x i i 1,2, ,n tai đo y' f x'( )0 ho c y' f x'( )không xac đinh

• B c 3: Xet dâu f x'( ), t đo suy ra điêm c c tri d a vao đinh ly 1

2 M t s l u ý khi giai toan

 Co 2 qui t c tım c c tri d a vao đinh lı 1 (qui t c 1) va đinh lı 2 (qui t c 2):

• Nêu viêc xet dâu cua đao ham bâc nhât dê dang, thı nên dung qui t c 1

• Nêu viêc xet dâu ây kho kh n (vı du nh trong bai toan ma ham sô đa cho co dang l ng giac, ho c bai

toan co ch a tham sô), thı nên dung qui t c 2

 N u y' không đ i d u khi đi qua nghi m (nghiêm kep) thì hàm s không có c c tr

 i v i hàm b c 3 thì y' 0 có 2 nghi m phân bi t là đi u ki n c n và đ đ hàm có c c tr

 Không cân xet ham sô y  f x( ) co hay không co đao ham tai điêm x  xo nh ng không thê bo qua điêu

kiên “ham sô liên tuc tai điêm xo ”

 Ham sô đat c c tri tai '( ) 0

''( ) 0

o o

o

y x x

áp s : a/ Ham sô không co c c tri b/ Ham sô không co c c tri

c/ yCÐ  y   1  0; yCT  y     5 12 d/ Ham sô không co c c tri

Bài 3 Tìm c c tri cua cac ham sô:

a/ y    x3 3 x2 b/ y x 4x2 c/ y  2 x  x2  3

d/ y  2 x   1 2 x2  8 e/ y  x x   2  f/ y   x  3  x

áp s :

Bài toán 2: Cho hàm s y  f x m( , ) Tìm tham s mđ hàm s đ t c c đ it i đi m x x0

Ph ng pháp gi i

+ Tìm t p xác đ nh + Tính y' f x m y'( , ); '' f''( , )x m

+ ê ham sô đat c c đ i tai x x0 thì:  

+ ê ham sô đat c c ti u tai x x0 thì:  

Bài 1 Tìm tham sô đê ham sô:

a/ y  x3  3 mx2  3  m2 1  x  m đat c c đai tai x  2

b/ y    m2  5 m x  3  6 mx2  6 x  6 đat c c tiêu tai x  1

c/ y  x3  2 x2  mx  1 đat c c tiêu tai x  1

d/ y  mx3  3 x2  12 x  2 đat c c đai tai điêm x  2

b/ y    x3 mx2 4 đê ham sô nhân điêm M  2; 0  lam điêm c c đai

c/ y  2  m2  3 sin  x  2 sin 2 m x  3 m  1 đat c c tiêu tai

y  x   m x  m  x  co c c tri khi x 0 Khi đo ham sô đat c c đai hay c c tiêu

Tınh gia tri c c tri t ng ng

y x mx m x  đat c c tri tai x  1 Khi đo, no la điêm c c đai hay c c tiêu, tınh gia

tri c c tri con lai (nêu co)

Bài 5 Tìm gia tri cua tham sô a b ; đê ham sô :

a/ 1 4   2

24

y  x  a b x  a b đat gia tri c c đai b ng 2 tai x  1

b/ y    x4  a  3 b x  2  3 a  b đat gia tri c c tiêu b ng 1 tai x 0

2 2

21

Bài 6 Tìm gia tri cua tham sô a b c ; ; đê ham sô :

a/ y  x3  ax2  bx  c đat c c tri b ng 0 tai điêm x   2 va đô thi ham sô đi qua điêm A   0,1

b/ y  x3  ax2  bx  c đat c c tiêu tai điêm A  1, 3   va đô thi ham sô c t truc tung tai điêm co tung đô

b ng 2

c/ y  ax4  bx2  c đ đ th đi qua g c t a đ O và đ t c c tr b ng  9 t i x  3

Bài 7 Tìm gia tri cua tham sô a b c d ; ; ; đê ham sô :

a/ y  ax3  bx2  cx  d đat c c tiêu tai điêm x 0,f 0 0 va đat c c đai tai x  1, co gia tri c c đai b ng 1

Ham sô y  f x( ) co n c c tri ⇔ y’ = 0 co n nghiêm phân biêt

M ôt sô l u y khi giai toan

• L u y 1: Hoành đ c c tr th ng là nghi m c a ph ng trình b c 2 Do đó, ta c n ph i n m v ng ki n

th c v ph ng trình b c 2 nh : nh lý Viet, so sánh nghi m ph ng trình b c 2 v i 1 s β b t k , các đi u ki n

có nghi m c a ph ng trình, … đông th i, no liên quan đên môt sô tınh chât cua hınh hoc ph ng

• L u y 2: Ham sô bâc ba y  ax3  bx2  cx  d va ham h u tı y ax2 bx c

Khi đó: Hàm ch có c c ti u khi a  0 (nghıa la co c c tiêu ma không co c c đai)

Ham sô ch có c c đ i khi a  0 (nghıa la co c c đai ma không co c c tiêu)

Lo i 1 Tìm giá tr tham s m đ hàm s n c c tr , ho c không có c c tr

0 0

0 0

y  x mx  x m luôn co c c đai va c c tiêu v i moi gia tri m

b/ y  2 x3 3 2  m  1  x2  6 m m   1  x  1 luôn đat c c tri tai x x1, 2 v i moi gia tri mva biêu th c

0 0 0

Khi đó: Hàm s ch có c c ti u khi a  0 (nghıa la co c c tiêu ma không co c c đai)

Ham sô ch có c c đ i khi a  0 (nghıa la co c c đai ma không co c c tiêu)

Chú ý: H am bâc 4 trung ph ng:

• Luôn có ít nh t 1 c c tr

• N u có 3 c c tr thì 3 c c tr này luôn t o thành 1 tam giác cân t i đ nh thu c tr c oy

Bài 1 Tìm giá tr tham s m đ hàm s có c c tr

• Ta co:

2

2 2

0 2

 

 

1

0 0

e g d

0 0

2

21

•B c 1: Tìm đi u ki n đ có c c tr là: y' 0 có 2 nghi m phân bi t

Khi đo, gia s  x y1, 1,  x y2, 2 l a cac điêm c c tri

M t khác: 1

2

'( ) 0 '( ) 0

Bài 7 Tìm mđê đô thi ham sô y  x3  3 x2  2   C co điêm c c đai va điêm c c tiêu cua đô thi   C n m

vê hai phıa khac nhau cua môt đ ng tron (phıa trong đ ng tron va phıa ngoai đ ng tron):

C y  x  mx  x  co c c đai va c c tiêu, đông th i cac điêm

nay cach đêu truc tungOy

áp s : m 0

Bài 9 Tìmmđê đô thi ham sô 3 2 2

3

y  x  x  m x  m co c c đai va c c tiêu, đông th i cac điêm c c đai va

c c tiêu đôi x ng nhau qua đ ng th ng : x  2 y   5 0

áp s : m 0

y x  m x  m  m x  co hai điêm c c đai va c c

tiêu n m vê hai phıa so v i truc tung

áp s : 1m2

13

y  x mx   x m Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u, đ ng th i kho ng cách gi a hai đi m y là ng n nh t

áp s : m  0

Bài 12 Tìm gia tri cua tham sô m đê hàm s :

a/ y  x3  3 mx2  7 x  3 có đ ng th ng đi qua các đi m c c đ i, c c ti u vuông góc v i đ ng th ng

y  mx mx mx Tìm m đ hàm s có 2 c c tr th a: x1 x2  8 e/ Cho hàm s y  ( x  m x )  2 3 x   m 1  Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u th a:

y  x  x  mx  Tìm m đ hàm s có hai đi m c c tr , đ ng th i 2 đi m c c tr này

n m hai bên (khác phía nhau) so v i đ ng th ng x  3

Bài 16 Tìm tham s m đ hàm s th a yêu c u c a bài toán

y    x m  x  m  m  x  m  Tìm m đ hàm s có đi m c c ti u

t i m t đi m có hoành đ nh h n 1

b/ Cho hàm s y  mx3 3 mx2  m  1  x  4 Tìm m đ hàm s có đi m c c ti u t i m t đi m có hoành đ âm

Bài 17 Tìm tham s m đ hàm s th a yêu c u c a bài toán

a/ Cho hàm s y  x3 mx2  x 5 m  1 Tìm m đ hàm s có c c tr và kho ng cách gi a 2 đi m c c tr

y  x mx   x m Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u, đ ng th i kho ng cách gi a hai đi m y là ng n nh t

Bài 18 Tìm tham s m đ hàm s th a yêu c u c a bài toán

a/ Cho hàm s 1 3   2

3

y   x  m x  x  Tìm m đ hàm s có hai đi m c c tr là A, B sao cho

di n tích tam giác MAB b ng 1 v i M(0;1)

b/ Cho hàm s 1 3 2  

13

y  x x  m x m Tìm m đ hàm s có hai đi m c c tr A, B sao cho tam giác ABO vuông cân v i O là g c t a đ

c/ Cho hàm s 3 3 2 2

2

m

y   x x Tìm m đ hàm s có c c đ i A, c c ti u B và t o v i C(–2; 3) thành tam giác ABC đ u

d/ Cho hàm s y  x3 3 mx2  4 m3 Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u đ i x ng nhau qua đ ng phân giác th nh t

• N u có 3 c c tr thì 3 c c tr này luôn t o thành 1 tam giác cân t i đ nh thu c tr c oy.

Bài 1 Cho hàm s y  3 x4 mx2 2 Tìm tham s m đ hàm s có c c đ i t i A(0;–2) và đ t c c ti u t i hai

đi m B; C sao cho:  2 

6

áp s : m  1

Bài 2 Cho ham sô y x4 2m x2 2 1 Tım tham sômđê ham sô co 3 c c tri, đông th i 3 điêm c c tri nay la

3 đınh cua môt tam giac vuông cân

áp s : m  1

Bài 3 Cho ham sô y x42mx 2mm4 Tım tham sômđê ham sô co 3 c c tri, đông th i 3 điêm c c tri

nay lâp thanh môt tam giac đêu

Bài 6 Tìm tham s m đ hàm s th a yêu c u c a bài toán

a/ Cho hàm s y  x4 mx2  3 Tìm m đ hàm s có 3 c c tr và 3 đi m này l p thành 1 tam giác đ u

1 nh ngh a: Gia s ham sôy  f x  xac đinh trên miênDv i D  

,

[ , ][ , ]

max min

[ , ][ , ]

max min

D A VÀO NH NGH A VÀ TÍNH CH T

1 Ph ng pháp gi i

Ph ng phap 1: Dung bang biên thiên đê tım max – min Ph ng phap nay th ng dung cho bai toan tım

GTLN và GTNN trên môt khoang  a b, ho c n a đo n a b, , , a b

•B c 2: Gi i f '   x  0tìm đ c các nghi mx ii  1, n  trên đo n  a b ,  

2 M t s l u ý khi giai toan

• L u y 1: Ph ng trình f '   x  0có th là ph ng trình m , logarit, đ i s , l ng giác, … Do đo đó, c n

+ B c 1: Hàm s đã cho xác đ nh và liên t c trên D mà đ cho ho c ta tìm

- Hàm s có giá tr l n nh t b ng a khi và ch khi

có nghiêm 0

• L u ý 5: Ta co thê tım GTLN va GTNN cua ham sô b ng cach dung miên gia tri (đk co nghiêm)

t v n đ : Tìm max – min c a hàm s y  f x( ) trên m t mi n D cho tr c ?

• B c 1: G i yo là m t giá tr tùy ý c a f x( )trên D, thì h ph ng trình ( n x) sau có nghi m:

• B c 2: Tùy theo đi u ki n c a h trên mà ta có các đi u ki n t ng ng Thông th ng đi u

ki n y (sau khi bi n đ i) có d ng: m y o M  3 Vì yo là m t giá tr b t k c a f x( )nên t  3 ta suy ra

Lo i 1 TÌM GTLN VÀ GTNN C A HÀM S TRÊN KHO NG

Bài 1 Tìm gia tri l n nhât va gia tri nho nhât (n u có) cua cac ham sô sau:

x y

1 1

x x y

 



  d/

24

x y

x



 e/

2 2

x y

Bài 1 Tìm gia tri l n nhât va gia tri nho nhât cua cac ham sô sau:

d/

 

 

khi khi 2;4

y  x x  trên   0; 3  

11

x y x

e/

khi khi 2;2

1;31;3

Bài 1 Tìm gia tri l n nhât va gia tri nho nhât cua cac ham sô sau:

a/ y  sin 2 x  x trên đoan ;

Bài 2 Tìm gia tri l n nhât va gia tri nho nhât cua cac ham sô sau:

a/ y  2 sin2x  2 sin x  1 b/ y  cos 22 x  sin cos x x  4

c/ y cos4x sin2x 2 d/ y sinx 3 sin 2x

e/

2

sin 1 sin sin 1

x y