Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn, phương pháp giải các bài toán về ứng dụng khảo sát hàm số từ cơ bản đến nâng cao
Trang 1Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT & CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vấn đề 1: Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a b
- Nếu f x '( ) 0, ≥ ∀ ∈ x ( ; ) a b thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) a b
- Nếu f x '( ) 0, ≤ ∀ ∈ x ( ; ) a b thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b
Lưu ý:
- f x = '( ) 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc ( ; ) a b còn nếu f x = '( ) 0, ∀ ∈ x ( ; ) a b thì
( )
y = f x là hàm số không đổi (hàm hằng) trên ( ; ) a b
- Nếu hàm số y = f x ( ) đơn điệu trên ( ; ) a b và liên tục trên [ ; ] a b (hoặc [ ; ),( ; ]a b a b ) thì hàm số
( )
y = f x đơn điệu trên [ ; ]a b (hoặc [ ; ),( ; ]a b a b )
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( ; ) a b thì ∀ ∈ x ( ; ) a b ta có: f a ( ) < f x ( ) < f b ( ); nếu hàm
số f(x) nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b thì ∀ ∈ x ( ; ) a b ta có: f a ( ) > f x ( ) > f b ( )
- Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên
Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự a x < 1 < x2 < b
Từ bảng biến thiên trên ta có:
• Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ; ),( ; ) a x1 x b2
• Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( ; ) x x1 2
Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:
Phương pháp:
• Tìm tập xác định D
• Tính đạo hàm y ' = f x '( )
• Tìm các giá trị xi∈D mà tại đó f x '( ) 0i = hoặc f x '( )i không xác định
• Lập bảng biến thiên Suy ra kết luận
= + + với an ≠ 0 như sau:
• Tìm nghiệm của phương trình P x ( ) 0 = (chú ý đến bậc của nghiệm)
• Giả sử x x1, , ,2 xk là các nghiệm (với x1< x2 < < xk ), thì dấu của P(x) trên khoảng tận cùng bên phải ( ; xk +∞ ) cùng dấu với a
• Qua nghiệm bậc lẻ thì P(x) đổi dấu, qua nghiệm bậc chẵn thì P(x) không đổi dấu
- Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên Ví dụ:
'
y
Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự a x < 1 < x2 < b
Từ bảng biến thiên trên ta có:
• Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ; ),( ; ) a x1 x b2
• Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( ; ) x x1 2
Trang 2Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) thỏa mãn điều kiện nào đó: Đối với hàm bậc ba y ax = 3+ bx2+ cx d + ta thường gặp các bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên ℝ
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b):
Ta thực hiện các bước sau
Tính đạo hàm y ' = Ax2 + Bx C + Lập bảng biến thiên ra giấy nháp, sau đó tùy theo yêu cầu của bài toán mà điền các thông số thích hợp vào bảng biến thiên
Ghi điều kiện cần thiết vào bài làm
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng d:
Ta thực hiện các bước sau
Tính đạo hàm y ' = Ax2 + Bx C + Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến) (1)
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số
cx d
−
= + do đó:
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
mx n
=
+ với am ≠ 0 ta thường gặp bài toán sau:
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà
Dạng 3: Ứng dụng tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số để chứng minh bất đẳng thức:
Bài toán 1: Chứng minh rằng f x ( ) > g x ( ), ∀ ∈ x ( ; ) a b
Ta thực hiện các bước sau
Xét hàm số h x ( ) = f x ( ) − g x ( ) liên tục trên [ ; ) a b Xét dấu h x '( ) suy ra hàm số y h x = ( ) đồng biến trên khoảng ( ; ) a b
Trang 3Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Dựa vào tính chất của hàm số đồng biến để kết luận
Lưu ý: Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của h x '( ) thì ta đặt h x1( ) = h x '( ) và quay lại tiếp tục xét dấu h x1'( )… cho đến khi nào xét dấu được thì thôi
Bài toán 2: Chứng minh rằng f u ( ) > f v ( ) với u v , ∈ ( ; ); a b u v >
• Ta chứng minh hàm số y = f x ( ) đồng biến trên ( ; ) a b
Dạng 4: Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình, bất phương trình:
Để chứng minh phương trình f x ( ) = g x ( ) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
Nhẩm được nghiệm x0 của phương trình tức là f x ( )0 = g x ( )0 Xét các hàm số y = f x ( ) ( ) C1 và y g x = ( ) ( ) C2
Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó ( ) C1 và 2
( ) C giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
Chú ý:
Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng
Hàm số f(x) đơn điệu trên (a;b) thì ∀ x x1, 2∈ ( ; ) a b ta có: f x ( )1 = f x ( )2 ⇔ x1 = x2
Khi đó: f x ( )0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số
• x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b thỏa x0∈ ( ; ) a b và ( ; ) a b ⊂D sao cho: f x ( ) > f x ( ),0 ∀ ∈ x ( ; ) \ { } a b x0
Khi đó: f x ( )0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
• Người ta gọi chung cực đại và cực tiểu là cực trị
Các định lý:
Định lý 1: Nếu hàm số y = f x ( ) đạt cực trị tại x0 và tồn tại f x '( )0 thì f x = '( ) 00
Định lý 2: Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trong khoảng ( ; ) a b
• Nếu f x '( ) 0, > ∀ ∈ x ( ; ) a x0 và f x '( ) 0, < ∀ ∈ x ( ; ) x b0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
• Nếu f x '( ) 0, < ∀ ∈ x ( ; ) a x0 và f x '( ) 0, > ∀ ∈ x ( ; ) x b0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm x0 mà tại đó f x = '( ) 00 hoặc f x '( )0 không xác định
Định lý 3: Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm cấp hai tại x0
• Nếu f x = '( ) 00 và f x < "( ) 00 thì y đạt cực đại tại x0
• Nếu f x = '( ) 00 và f x > "( ) 00 thì y đạt cực tiểu tại x0
Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Tìm Các Điểm Cực Trị Của Hàm Số y = f x ( ):
Phương pháp 1: Ta thực hiện theo các bước:
Tìm tập xác định D Tính f x '( )
Tìm các điểm xi∈ D ( i = 1, 2, ) mà tại đó f x '( ) 0i = hoặc hàm số liên tục nhưng '( )i
f x không có đạo hàm
Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Lưu ý: Nếu f x '( ) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại điểm xi
Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước:
Tìm tập xác định D
Trang 4Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Tính f x '( ) Tìm các điểm xi∈ D ( i = 1,2, ) mà tại đó f x '( ) 0i = Tính f x "( ) và f x "( )i Kết luận các điểm cực trị của hàm số
Lưu ý:
- Nếu f x < "( ) 0i thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
- Nếu f x > "( ) 0i thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi
- Nếu f x "( ) 0i = thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra
Dạng 2: Xác Lập Hàm Số Khi Biết Cực Trị:
Bài toán: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = f x m ( , ) đạt cực trị (đạt cực đại hoặc đạt cực tiểu) tại x0:
Tính y ' = f x '( )
Giải phương trình: f x = '( ) 00 suy ra giá trị của tham số
Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào f x "( )0 để kiểm tra yêu cầu bài toán
Kết luận
Lưu ý: Nếu f x = "( ) 00 thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra
- Hàm số f xác định trên D có cực trị ⇔ ∃ ∈D x0 thỏa mãn hai điều kiện:
• f x = '( ) 00 hoặc f x '( )0 không xác định
• f x '( )0 phải đổi dấu khi x đi qua x0 hoặc f x ≠ "( ) 00
- Nếu f x '( )0 là một tam thức bậc hai thì hàm số f có cực trị khi và chỉ khi f x = '( ) 00 có hai nghiệm phân biệt và không có cực trị khi và chỉ khi f x = '( ) 00 vô nghiệm
Dạng 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn một tính chất nào đó:
- Đối với hàm bậc ba (y ax = 3+ bx2 + cx d + với a ≠ 0), hàm phân thức bậc 2 / bậc 1
- Đối với hàm bậc 4 (y ax = 4 + bx3+ cx2 + dx e + với a ≠ 0) thì hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi
y ' 0 = có nhiều nhất 2 nghiệm; và có 3 cực trị khi và chỉ khi y ' 0 = có 3 nghiệm phân biệt Đặc biệt nếu y ax = 4+ bx2+ c thì hàm số có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0 và có 3 cực trị ⇔ ab < 0
- Hàm số y ax b
mx n
+
= + với m ≠ 0, an bm − ≠ 0, không có cực trị
Dạng 4: Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Các Điểm Cực Trị:
a) Nếu hàm số y = f x ( ) = ax3+ bx2 + cx d + có cực đại và cực tiểu thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình y r x = ( ) với f x ( ) = f x q x '( ) ( ) + r x ( )
Nhận xét: Ta dùng kết quả này để tính các giá trị y cực đại, cực tiểu khi mà hoành độ các điểm cực trị này phức tạp
b) Hàm số hữu tỉ ( )
( )
u x y
v x
= thoả điều kiện v x ≠ '( ) 0 và v x ≠ '( ) 00 Nếu x0 là điểm cực trị thì giá
trị cực trị y0 = f x ( )0 được tính như sau: 0 0
Trang 5Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Áp dụng: đối với hàm số
2
ax bx c y
Vấn đề 3: Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Định nghĩa: Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên tập D
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
, ( ) ( )
Kí hiệu: m = min ( ) f x
D
Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số:
Cách 1: (áp dụng chung)
- Tính đạo hàm y ' = f x '( )
- Lập bảng biến thiên của hàm số y = f x ( ) trên D
- Từ bảng bến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cách 2: (nếu hàm số y = f x ( ) liên tục trên D = [a;b])
min f (x) f (b);max f (x) f (a) = =
• Nếu đề bài không chỉ rõ tập D thì D được hiểu là tập xác định của hàm số
Dạng 2: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Dựa Vào Đặt Ẩn Phụ:
Phương pháp: Giả sử ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) = trên D Khi đó ta thực hiện theo các bước sau:
Đặt t = ϕ (x)
Tìm miền giá trị của t với x thuộc D (giả sử t ∈Ω)
Thay t = ϕ (x) vào hàm số y f (x) = ta được hàm số: y g(t) =
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y g(t) = trên Ω
Trang 6Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hịa
Dạng 3: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Bằng Phương Pháp Sử Dụng Miền Giá Trị:
Phương pháp:
Giả sử hàm số y f (x) = xác định trên D Gọi G là miền giá trị của hàm số trên D
Khi đĩ: G {y = ∈ ℝ / phương trình: y f (x) = có nghiệm x D} ∈ như vậy nếu coi y là tham số, tìm điều kiện cần và đủ của y để phương trình y f (x) = cĩ nghiệm trên D, từ đĩ ta tìm được tập giá trị G
Dạng 4: Ứng Dụng Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Vào Giải Và Biện Luận Phương Trình, Bất Phương Trình:
Bài tốn 1: Tìm m để phương trình f x ( ) = m cĩ nghiệm trên D
Cách giải: f x ( ) = m cĩ nghiệm trên ( ) ( )
Bài tốn 4: Tìm m để bất phương trình f x ( ) ≥ m cĩ nghiệm x thuộc D
Cách giải: Bất phương trình f x ( ) ≥ m cĩ nghiệm trên D ⇔ max f xD ( ) ≥ m
Bài tốn 5: Tìm m để bất phương trình f x ( ) ≤ m cĩ nghiệm x thuộc D
Cách giải: Bất phương trình f x ( ) ≤ m cĩ nghiệm trên ( )
D
D ⇔ min f x ≤ m
Bài tốn 6: Tìm m để bất phương trình f x ( ) ≥ m vơ nghiệm ∀ ∈ x D
Cách giải: Để bất phương trình f x ( ) ≥ m vơ nghiệm ∀ ∈ ⇔ x D f x ( ) < m cĩ nghiệm
( )D
Bài tốn 7: Tìm m để bất phương trình f x ( ) ≤ m vơ nghiệm ∀ ∈ x D
Cách giải: Để bất phương trình f x ( ) ≤ m vơ nghiệm ∀ ∈ ⇔ x D f x ( ) > m cĩ nghiệm
- Đạo hàm: y' 3ax = 2+ 2bx c + Giải phương trình y ' 0 =
- Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt)
- Nêu các khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số (nếu cĩ)
• Vẽ đồ thị:
- Tìm một vài điểm mà đồ thị đi qua (đặc biệt là giao điểm của đồ thị (C) với các trục tọa độ)
- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị
- Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Nhận xét:
• Điểm uốn: hồnh độ điểm uốn là nghiệm của phương trình: y " 0 =
• Nếu hàm số cĩ cực đại và cực tiểu thì điểm uốn của đồ thị hàm số chính là trung điểm của điểm cực đại và cực tiểu
Trang 7Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
• Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi a > 0 và là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi a < 0
x y
x y
- Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt)
- Nêu các khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số (nếu có)
• Vẽ đồ thị:
- Giao điểm với các trục tọa độ Tìm thêm một vài điểm mà đồ thị đi qua
- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị
Trang 8Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
cx d
−
= +
Ta có y ' 0, > ∀ ∈ x D (hoặc y ' 0, < ∀ ∈ x D) nên hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên các khoảng mà hàm số xác định
- Giao điểm với các trục tọa độ (hoặc một vài điểm đặc biệt)
- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị
- Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng
Vấn đề 5: Sự Tương Giao Của Hai Đồ Thị:
Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị ( ) C và hàm số y g x = ( ) có đồ thị ( ') C Hai đồ thị ( ) C và ( ') C cắt nhau tại điểm M x y ( ; )0 0 khi và chỉ khi y0 = f x ( )0 và y0 = g x ( )0 , tức là ( ; ) x y0 0 là nghiệm của hệ phương trình: ( )
Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ') C
Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (*) cũng chính là số giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ') C
Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) và y g x = ( ):
Ta thực hiện như sau:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x ( ) = g x ( ) (1)
- Xác định số nghiệm của phương trình (1) từ đó suy ra số giao điểm của ( ) C và ( ') C
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình: f x ( ) = g x ( )
- Ta dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) và y g x = ( ) để suy ra số nghiệm của phương trình
Trang 9Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Dạng 3: Các bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3: ( ) :C y= f x( )=ax3+bx2+cx d a+ ( ≠0)
Bài toán 1 Tìm điều kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất:
⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Bài toán 4 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương:
⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
Bài toán 5 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm:
⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt
Bài toán 6 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng:
– Giả sử (1) có 3 nghiệm x x x1 2, , 3 lập thành cấp số cộng
– Viết (1) dưới dạng: ax3+bx2+cx d+ =0 ⇔ a x x( − 1)(x x− 2)(x x− 3) 0=
Trang 10Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
2= −3 vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được
Bài toán 7 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân
– Giả sử (1) có 3 nghiệm x x x1 2, , 3 lập thành cấp số nhân
2= − vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được
Bài tập:
1 (TNPT – 2008) Cho hàm số y 2x = 3+ 3x2 − 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: 2x3+ 3x2− = 1 m
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x y
2 Cho hàm số y=f x( )=x3−mx2+2m có đồ thị (Cm) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi m = 3
b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
• Ta có: y′ =3x2−2mx=x x(3 −2 )m
+ Khi m = 0 thì y′ =3x2≥ ⇒0 (1) đồng biến trên
R ⇒ thoả yêu cầu bài toán
x y
Trang 11Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt
Để (C m ) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (C m ) phải có 2 điểm cực trị
⇒ y′=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔3x2−3m2=0 có
2 nghiệm phân biệt ⇔ m≠0
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
b) Tìm m để đường thẳng (∆): y=( m2 −1)x−4m−1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt
• Phương trình hoành độ giao của (C) và (∆): x3−3x2−( m2 −1)x+4m+ =2 0
8 5 0
1 22
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3 4
x y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x y
Trang 12Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=0
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
8 Cho hàm số y=x3−(3m+1)x2+(5m+4)x−8 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m=0
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
2 4
x y
9 Cho hàm số y=x3−3mx2+(m−1)x m+ +1 (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1=
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d y: =2x m− −1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1
• PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x3−3mx2+(m−1)x m+ + =1 2x m− −1 (1)
YCBT ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Xét PT (2) ta có: ∆=9m2+2m+ >9 0,∀m ⇒ (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1 2,
Do đó: (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 ⇔1 <x1<x2 ⇔ 0<x1− <1 x2−1 (*)
-25 -20 -15 -10 -5
5
x y
Trang 13Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Đặt t= −x 1 Khi đó (2) ⇔ t2+3(1−m t) 5− m=0 (3)
(*) ⇔ (3) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ S m
03( 1) 0
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho x A=2 và
• Với x A=2 ⇒ y A=4 PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: y=k x( −2) 4+
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3−3x+ =2 k x( −2) 4+ ⇔ x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1
b) Cho đường thẳng d y: = − +x 2 và điểm K(3;1) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 2 2,
ĐS: m=0,m=3
12 Cho hàm số y x = 3+ 6 x2+ 9 x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương
• Nếu k = − ⇔ 2 m = − ∨ 4 m = − 1 phương trình có 2 nghiệm
• Nếu − < < ⇔ ∈ − 2 k 2 m ( 4;0) \{ 3; 1} − − phương trình có 3 nghiệm
• Nếu k = ⇔ 2 m = − ∨ 3 m = 0 phương trình có 2 nghiệm
• Nếu k > ⇔ 2 m > 0 phương trình có 1 nghiệm
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x y
