hình chữ nhật tăng thêm 3 đơn vị thì chiều rộng của hình chữ nhật phải tăng lên mấy đơn vị để tỉ số của hai cạnh không đổi.. Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt [r]
Trang 1Gi¸o ¸n d¹y thªm m«n To¸n Bài 1: So sánh các số hữu tỉ:
3
1
; 2
2
8
1
x
Giải:
6
3 2
1 2
1
x
6
2 3
1
y
mà – 3 < –2 và 6 > 0 nên hay Vậy x < y
6
2 6
3
3
1 2
1
2
3 2
3
2
y
mà – 3 < 0 và 2 > 0 nên hay Vậy x < y
2
0
2 3
0 2
3
8
1
x
8
1 1000
125 125
,
8 1
Bài 2: So sánh các số hữu tỉ sau?
a) và
2009
2008
19
20
19
20 2009
2008 19
20 1 2009 2008
b) và
463
27
3
1
3
1 463
27 3
1 3
1 0 463 27
c) và
37
33
35
34
35
34 37
33 35
34 35
33 37
33
Bài 3: Cho số hữu tỉ Với giá trị nào của a thì:
2
3
a
x
a,x là số hữu tỉ dương
b, x là số hữu tỉ âm
c, x không là số dương cũng không là số hữu tỉ âm.
Giải:a) Để x là số hữu tỉ dương thì: (a – 3) và 2 cùng dấu Vì 2 > 0 nên a – 3 > 0 hay a – 3 +3 > 0 + 3
Vậy a > 3
b) Để x là số hữu tỉ âm thì: (a – 3) và 2 khác dấu,
vì 2 > 0 nên a – 3 < 0 hay a – 3 +3 < 0 + 3 Vậy a < 3
c) Để x không là số dương cũng không là số hữu tỉ âm thì: x = 0
vì 2 > 0 nên a – 3 = 0 hay a = 3 Vậy a = 3.
Bài 4: Tính
Trang 2a) b) c)
3
1
5
3
8
5
2
5
1 30
13
d) e) ĐS: a, ; b, ; c, ; d, ; e,
28
1
21
4
1 2 2
1
3
15
21 8
30
11 84
23 4
Bài 5: Tính
a) b)
4
17
.
34
9
3
1 2 15
c) d) ĐS: a, ; b,-35 ; c, ; d,
5
4
2
:
5
1
7
8
2
7
Bài 6: Tìm x, biết:
4
1
8 15
x
17
27 :
17
c) d) ĐS: a, ; b, ; c, ; d,
10
3 7
5
3
8
3
140
21
Bài 7:
a) 2 ; b) ; c) 0,345 ; d) 3
Giải:
7 7 a) 2 = ( 2) = 2 b)
4 4
1 1 c) 0,345 = 0,345 d) 3 3
2 2
Bài 8: Tìm x, biết
a) = 3,5 b) 0
c) 2 =3 d) 3 2
2 4
Giải:
a) x = 3,5
=> x = 3,5 hoặc x = –3,5
=> x = 0
b) x 0
c) x 2 =3
=> x – 2 = 3 hoặc x – 2 = –3
=> x = 5 hoặc x = –1
d) 3 2
2 4
x
Trang 331 23 hoaởc
2 4
x 31 23
x
7 11 hoaởc
2 4
2 4
x
11 7 hoaởc
4 2
4 2
x
3 hoaởc
4
4
x
Bài 9: Tìm x để biểu thức:
a, A = 0,6 + 1 x đạt giá trị nhỏ nhất
2
b, B = 2 2x 2 đạt giá trị lớn nhất
3 3
Giải:
a,Ta có: 1 x > 0 với x Q và = 0 khi x =
2
Vậy: A = 0,6 + 1 x > 0, 6 với mọi x Q
2
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0,6 khi x = 1
2
b, Ta có 2x 2 0 với mọi x Q và khi = 0 x =
3
3
3
3
Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng khi x = 2
3
1 3
Baứi 10 : Tớnh
a) 2 2 ; b) : ;c) 3 4 ; d) 15 :5
Giaỷi :
3
a) 2 2 = 2
b) : =
c) 3 4 = (3.4) = 12 = 144
d) 15 :5 = 15 :5 3 27
a, 224 và 316 ; b, 4100 và 2200 ;
Giải:
a, 224 = (23)8 = 88; 316 = (32)8 = 98
Vỡ 88 < 98 suy ra 224 < 316
b, Ta có: 4100 = (22)100 = 22.100 = 2200
4100 = 2200
Trang 4Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết:
a, 2.16 2 n >4; b, 9.27 3 n 243
Giải:
a, Ta cĩ 2.16 = 25 ; 4= 22
=> 25 2 n > 22 => 5 n >2
Vậy: n {3; 4; 5}
b, Ttự phần a, ta cĩ:
35 3 n 3 5 => 5 n 5
Vậy: n=5
Dạng 3: Tìm x biết
3
1 3 3
3
1
*
3
2 2 3
3
1
*
3 3
1 1
4 3
1
/
8
427 , 1 573
, 0 2
2 573
,
0
/
7
2 , 1
/
6
5 , 2 5
,
2
/
5
11
7 12
11 :
12
7
4
1 6
5
.
12
11
6
5 25 , 0
12
11
/
4
49
43 5
7 :
35
43
7
3 5
4
.
5
7
5
4 7
3
5
2
1
/
3
11
8 8
3
33
64
33
31 1 8
3
:
/
2
5 , 3 5
3 :
10
21
10
21
5
3
/
1
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
Trang 5Daùng 4: Caực baứi toaựn veà tyỷ leọ thửực:
1/ Tỡm x bieỏt ?
9 , 4
4 , 8 2 ,
1
x
Ta coự: x.8,4 = 1,2 4,9
=> x = 0,7.
2/ Tỡm x, y bieỏt : , va y – x =30?
12
7
y x
Theo tớnh chaỏt cuỷa tyỷ leọ thửực ta coự: , ta suy ra ứ
12
7
y x
72 6
12
42 6
7
6 5
30 7 12
12
7
y
y
x
x
x y
y
x
Bài 1: Cho hai số hữu tỉ và (b > 0; d > 0) chứng minh rằng:
b
a d c
a Nếu thì a.b < b.c
d
c
b a
b Nếu a.d < b.c thì
d
c b
a
Giải: Ta có:
bd
bc d
c bd
ad b
a ;
a Mẫu chung b.d > 0 (do b > 0; d > 0) nên nếu: thì da < bc
bd
bc bd
ad
b Ngược lại nếu a.d < b.c thì
d
c b
a bd
bc bd
ad
Ta có thể viết: ad bc
d
c b
a
Bài 2:
a Chứng tỏ rằng nếu (b > 0; d > 0) thì
d
c b
a
d
c d b
c a b
a
b Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa và
3
1
4
1
Giải:
a Theo bài 1 ta có: ad bc (1)
d
c b
a
Thêm a.b vào 2 vế của (1) ta có:
a.b + a.d < b.c + a.b a(b + d) < b(c + a) (2)
d b
c a b
a
Trang 6Thêm c.d vào 2 vế của (1): a.d + c.d < b.c + c.d
d(a + c) < c(b + d) (3)
d
c d b
c a
Từ (2) và (3) ta có:
d
c d b
c a b
b Theo câu a ta lần lượt có:
4
1 7
2 3
1 4
1 3
7
2 10
3 3
1 7
2 3
1
10
3 13
4 3
1 10
3 3
1
Vậy
4
1 7
2 10
3 13
4 3
Bài 3: Chứng minh rằng từ đẳng thức a d = b.c (c, d 0) ta có tỉ lệ thức
d
b c
a
Giải:
Chia cả hai vế của đẳng thức ad = bc cho cd (c.d 0) ta được
d
b c
a d c
c b d c
d
a
.
.
Bài 4: Cho a, b, c, d 0, từ tỉ lệ thức hãy suy ra tỉ lệ thức
d
c b
a
c
d c a
b
Giải:
Đặt = k thì a = b.k; c = d.k
d
c b
a
k
k bk
k b bk
b k b a
b
a ( 1 ) 1
(2)
k
k dk
k d dk
d k d c
d
c ( 1 ) 1
Từ (1) và (2) suy ra:
c
d c a
b
Bài 5: Chứng minh rằng: Từ tỉ lệ thức (b + d 0) ta suy ra
d
c b
d b
c a b
a
Giải:
Từ a.d = b.c nhân vào hai vế với a.b
d
c
b a
Ta có: a.b + a.d = a.b + b.c a(b + d) = b(a + c)
d b
c a b
a
Trang 7Bài 6: Tìm 5 số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ và
2004
1
2003 1
Ta có:
2003
1 2003 2004
1 1 2004
1 2003
1 2004
1
4007
2 6011
3 2004
1 4007
2 2004
6011
3 8013
4 2004
1 6011
3 2004
1
8013
4 10017
5 2004
1 8013
4 2004
10017
5 12021
6 2004
1 10017
5 2004
1
Vậy các số cần tìm là:
12021
6
; 10017
5
; 8013
4
; 6011
3
; 4007 2
Bài 7: Tìm tập hợp các số nguyên x biết rằng
2
1 21 : 45
31 1 5 , 4 2 , 3 : 5
1 3 7
18
5 2 : 9
5
Ta có: - 5 < x < 0,4 (x Z)
Nên các số cần tìm: x 4 ; 3 ; 2 ; 1
Bài 8: Chứng minh các đẳng thức
1
1 1 ) 1 (
1
a
1 )
1 (
1 )
2 )(
1 (
2
a a
1
1 1 )
1
(
1
a
a
a a a
a
a a
a
) 1 (
1 )
1 ( ) 1 ( 1
b
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1 )
2 )(
1
(
2
a
a
a a a a
a a
a a
a a
) 2 )(
1 (
2 )
2 )(
1 ( ) 2 )(
1 ( 2
Bài 9: Thực hiện phép tính:
2002
) 2002 2001
( 2003 1
2003 2002
2001 2003 2002
2002
2002 2002
2003
1
Trang 8Bài 10: So sánh các số a, b và c biết rằng
a
c c
b b
a
a c b
c b a a
c c
b b
Bài 11: Tìm các số a, b, c biết rằng và a + 2b - 3c = - 20
4 3 2
c b
a
4
20 12
6 2
3 2 12
3 6
2
b c a b c
a
a = 10; b = 15; c = 20
Bài 12: Tìm các số a, b, c biết rằng và a2 - b2 + 2c2 = 108
4 3 2
c b
a
16 9 4 4 3 2
2 2
a c b
27
108 32
9 4
2 32
9 4
2 2 2 2 2 2
Từ đó ta tìm được: a1 = 4; b1 = 6; c1 = 8
A2 = - 4; b2 = - 6; c2 = - 8
Bài 13: Chứng minh rằng nếu a2= bc (với a b, a c) thì
a c
a c b a
b a
Giải: từ a2 = bc
a c
a c b a
b a a c
b a a c
b a a
b c
a
Bài 14: Người ta trả thù lao cho cả ba người thợ là 3.280.000 đồng Người thứ nhất
làm được 96 nông cụ, người thứ hai làm được 120 nông cụ, người thứ ba làm được
112 nông cụ Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu tiền? Biết rằng số tiền được chia tỉ
lệ với số nông cụ mà mỗi người làm được
Giải: Gọi số tiền mà người thứ nhất, thứ hai, thứ ba được nhận lần lượt là x, y, z
(đồng) Vì số tiền mà mỗi người được nhận tỉ lệ với số nông cụ của người đó làm
được nên ta có:
10000 328
3280000 112
120 96 112
120
x
Vậy x = 960.000 (đồng)
y = 1.200.000 (đồng)
z = 1.120.000 (đồng)
Người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba lần lượt nhận được là: 960.000 (đồng); 1.200.000 (đồng); 11.120.000 (đồng)
Bài 15: Tổng kết học kỳ lớp 7A có 11 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 25 học sinh
trùng bình, không có học sinh kém Hãy tính tỉ lệ phần trăm mỗi loại học sinh của lớp
Giải: Số học sinh của lớp 7A là: 11 + 14 + 25 = 50 (học sinh)
Số học sinh giỏi chiếm: 11 : 50 100% = 22%
Trang 9Số học sinh khá chiếm: 14 : 50 100% = 28%
Số học sinh trung bình chiếm: 25 : 50 100% = 50%
Bài 16: Tìm x biết
2 10
5 4 2
5
3
2
x x x
x x
x x
x
10 8 25 20
6 30 4
4 10
33 6
34
x
x x
x
3 25 5 40 34 5 1 3 34 5
3 25 5
40
1
2
7 966
138
Bài 17: Ba số a, b, c khác nhau và khác số 0 thoả mãn điều kiện
b a
c c a
b c b
a
Tính giá trị của biểu thức P =
c
b a b
c a a
c
Giải:
Theo đề bài ta có: thêm 1 vào mỗi phân số ta có:
b a
c c a
b c b
a
b a
c b a c a
c b a c b
c b a b
a
c c
a
b c
b
a
b a c b a c a c b a c b c b a
Vì a, b, c là ba số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào P ta được
b c a
a c b
c b a c
b
c
b a b
c a a
c
3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
c
c b
b a a
Vậy P = - 3
Bài 11: Tỉ số chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật bằng Nếu chiều dài
2 3
hình chữ nhật tăng thêm 3 (đơn vị) thì chiều rộng của hình chữ nhật phải tăng lên mấy đơn vị để tỉ số của hai cạnh không đổi
Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là a, b Khi đó ta có
b a b
a
3 2 2
3
Gọi x (đơn vị) phải thêm vào chiều rộng thì
Trang 10x b a
x b
a
3 3 6 2 2
3
3
mà 2a = 3b 3b + 6 = 3b + 3x x = 2 Vậy khi thêm vào chiều dài 3 (đơn vị) thì phải thêm vào chiều rộng 2 (đơn vị) thì tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng vẫn là
2 3
Bài 18: Chứng tỏ rằng
a 0,(37) + 0,(62) = 1
Ta có: 0,(37) = và 0,(62) =
99
37
99 62
Do đó: 0,(37) + 0,(62) = + =
99
37 99
62
1 99
99
b 0,(33) 3 = 1
Ta có: 0,(33) =
3
1 99
33
Do đó: 0,(33) 3 = 3 1
3
1
Bài 19: Tìm các số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu a - b bằng thương a : b và bằng hai
lần tổng a + b
Giải: Theo đề bài ra ta có: a - b = 2(a + b) = a : b (1)
Từ a - b = 2a + 2b a = - 3b hay a : b = - 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (3)
5 , 1
3
b a
b a
Từ (3) ta tìm được: a = 2 , 25
2
) 5 , 1 ( ) 3 (
b = - 1,5- (- 2,5) = 0,75 Vậy hai số a, b cần tìm để lập được
a - b = a : b = a( a+ b) là: a = - 2,25; b = 0,75
Bài 20: Có 16 tờ giấy màu loại 2.000 đồng; 5.000 đồng và 10.000 đồng trị giá mỗi
loại tiền trên đều bằng nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Giải:
Gọi số tờ giấy bạc loại 2.000; 5.000; 10.000 theo thứ tự là x, y, z (x, y, z N) Theo đề bài ta có: x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi: 2000x = 5000y = 10000z
1 2 5 10000
10000 10000
5000 10000
2000x y z x y z
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Trang 112 8
16 1 2 5 1 2
y z x y z
x
Suy ra x = 2.5 = 10; y = 2.2 = 4; z = 2.1 = 2
Vậy số tờ giấy bạc loại 2.000đ; 5.000đ; 10.000đ theo thứ tự là: 10; 4; 2
Bài 21:
a Biết y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15, Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
b Biết y tỉ lệ nghich với x, hệ số tỉ lệ là a, x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 6 Hỏi y tỉ
lệ thuận hay nghịch với z? Hệ số tỉ lệ?
Giải:
a y tỉ lệ thuận với x, hệ số tỉ lệ là 3 nên: y = 3x (1)
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 15 nên x z = 15 x = (2)
z
15
Từ (1) và (2) suy ra: y = Vậy y tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 45
z
45
b y tỉ lệ nghịch với x, hệ số tỉ lệ là a nên y = (1)
x a
x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là b nên x = (2)
z b
Từ (1) và (2) suy ra y = x
b
a
.
Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ
b a
Bài 22:
a Biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 5 và x y = 1500 Tìm các số x và y
b Tìm hai số x và y biết x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2 và tổng bình phương của hai
số đó là 325
Giải:
15
1 5
1
; 3 1 5
1 3
y
15
1 k2 k2 k
Với k = 150 thì 150 50 và
3
5
y
Với k = - 150 thì .( 150 ) 50 và
3
1
3
1
y
Trang 12b 3x = 2y x y k x k y k
2
1
; 3 1 2
1 3
x2 + y2 = mà x2 + y2 = 325
36
13 4 9
2 2
k
13
36 325 325
36
k
2
1 2
1
; 10 30 3
1 3
1k y k
2
1 2
1
; 10 ) 30 (
3
1 3
1k y k
Bài 23: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trường Nếu mỗi chuyến xe bò chở 4,5
tạ thì phải đi 20 chuyến, nếu mỗi chuyến chở 6 ta thì phải đi bao nhiêu chuyến? Số vật liệu cần chở là bao nhiêu?
Giải:
Khối lượng mỗi chuyến xe bò phải chở và số chuyến là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (nếu khối lượng vật liệu cần chuyên chở là không đổi)
Theo tỉ số của hai đại lượng tỉ lệ nghịch có thể viết
(chuyến)
15 6
5 , 4 20 20
5 , 4
6 x
x
Vậy nếu mỗi chuyến xe chở 6 tạ thì cần phải chở 15 chuyến
Bài 24: Cạnh của ba hình vuông tỉ lệ nghịch với 5 : 6 : 10 Tổng diện tích ba hình
vuông và 70m2 Hỏi cạnh của mỗi hình vuông ấy có độ dài là bao nhiêu?
Giải: Gọi các cạnh của ba hình vuông lần lượt là x, y, z.
Tỉ lệ nghịch với 5 : 6 : 10 Thì x, y, z tỉ lệ thuận với
10
1
; 6
1
; 5 1
10
1
; 6
1
; 5 1 10
1 6
1 5
100
1 36
1 25
1 100
36 25
2 2 2 2
k
Vậy cạnh của mỗi hình vuông là: x = 30 6 (cm); (cm)
5
1 5
6
1 6
k
y
(cm)
3 30 10
1 10
1
k z