tiểu luận lý thuyết modun với đề tài Môđun Artin

Đề tài tiểu luận môn lý thuyết môđun với đề tài Môđun Artin đã được giáo viên chỉnh sửa

A.MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình pháttriển đều cần tới cấu trúc đại số Vì thế, Đại số chiếm một vị trí quan trọng trongtoán học Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại và nó cũng làđầu tàu để dẫn dắt đào sâu hơn nữa những nghiên cứu toán học

Ngày nay, nhu cầu học hỏi toán học nói chung và Đại số nói riêng của sinhviên chuyên ngành Toán học cũng như những người yêu thích toán ngày càngtăng Đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc Đại số như nhóm, vành, trường,môđun, … trong đó, môđun là một trong những khái niệm quan trọng nhất củaĐại số hiện đại, trong đó không kể đến môđun Noether và môđun Artin

Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc lý thuyết và các bài tập của môđun Artinnên chọn đề tài: “Môđun Artin” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, em trình bày các định nghĩa, định lý, các hệquả, mệnh đề và một số bài toán chứng minh môđun Artin để giúp nắm chắc lýthuyết và bài tập môđun Artin, từ đó có thể giải được các bài toán liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

Môđun Artin

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Tham khảo tài liệu có sẵn

+ Tham khảo ý kiến chuyên gia

+ Phương pháp phân tích

+ Phương pháp tổng hợp

+ Tham khảo tài liệu internet

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, bài tiểu luận của đượctrình bày trong 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Môđun Artin và các bài toán chứng minh

B.NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chếtrên A.

1.2.2 Các mệnh đề

Mệnh đề 1

Cho M là một R-môđun Nếu A là một tập con khác rỗng của M thì các điềukiện sau là tương đương:

(a) A là môđun con trong M

(b) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi a ∈ A, mọi r ∈ R, ta có ra ∈ A.(c) Với mọi a , b ∈ A và mọi r , s ∈ R, ta có ra+sb ∈ A

Chứng minh

(a)⟹(b) Là hiển nhiên theo định nghĩa của môđun con

(b)⟹(c) Trước hết, với a , b ∈ A và r , s ∈ R, ta có ra ∈ A và sb ∈ A

Do A là nhóm cộng aben nên ra+sb ∈ A

(c )⟹(a) Với mọi a , b ∈ A và r =s=1, ta có a+b ∈ A, nên A đóng kín với phép cộngtrong M

Với r =1, s=−1 ta có a−b ∈ A, với mọi a , b ∈ A, nghĩa là A là nhóm cộng của

M Các tính chất còn lại được thỏa mãn trên A do thỏa mãn trong M

Mệnh đề 2

Giao của một họ bất kỳ những môđun con của R-môđun M là một môđuncon của M

Chương 2: MÔĐUN ARTIN VÀ CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 2.1 Môđun Artin

Cho M là R-môđun, A là môđun con của M

Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Artin

(ii) A và M A cũng là các môđun Artin

(iii) Mọi chuỗi giảm A1⊃ A2⊃ A3⊃… các môđun con của M đều dừng, tức làtồn tại n sao cho A n=A n+1

Chứng minh

(i)⇔(iii)

(⟹) Giả sử A1⊃ A2⊃ A3⊃…là một chuỗi giảm các môđun con của M, mà M làArtin nên tập {A i ;i≥ 1} có một phần tử cực tiểu, chẳng hạn là M t, khi đó:

M k=M t , ∀ k ≥t

(⟸) Giả sử S là tập con khác rỗng các môđun con của M là A

Vì S ≠ ∅ nên ta chọn được một môđun con A1∈ S

Khi đó, nếu A1 không cực tiểu thì tồn tại A2 thực sự chứa trong A1.

Như vậy, nếu trong S không có phần tử cực tiểu thì sẽ tồn tại một chuỗigiảm A1⊃ A2⊃ A3⊃… không dừng các môđun con của M: mẫu thuẫn với (iii)

(i)⇔(ii)

(⟹) Giả sử M là môđun Artin, A ≤ M

+ Chứng minh A là Artin

Gọi Γ là tập hợp các môđun con của A, A ≤ M

⇒ Γ cũng là tập hợp các môđun con của M

Từ giả thiết M là Artin nên Γ có phần tử tối tiểu

A|i ∈ I} là tập hợp các môđun con của M

Lại có M là Artin nên p−1 (Γ ) có phần tử tối tiểu là B o

⇒ B

A là phần tử tối tiểu của Γ

Vậy M A là Artin.

(⟸) Giả sử M0⊃ M1⊃ M2⊃…(¿ ) là một chuỗi tăng các môđun con của M

Khi đó, theo (iii): M M

0 là Artin, ta có dãy giảm các môđun con:

M1

M0⊃ M2

M0⊃ M2

M0⊃… đều dừng,tức là ∃ k∈ N¿

Suy ra M A

n cũng là Artin

Hệ quả 3

Cho dãy khớp ngắn các R-môđun:

Khi đó, M là môđun Artin khi và chỉ khi M ' và M ' ' là các môđun Artin.Chứng minh

(⟹) Không gian tổng quát có thể coi M ' là một môđun con của M và

M ''

= M

M '

Giả sử M là môđun Artin

môđun con của M, do đó nó phải dừng

Vậy M ' là môđun Artin

Vì mỗi dãy các môđun con của M ' đều là ảnh của một dãy giảm trong M quatoàn cấu chính tắc, và mọi dãy giảm trong M đều dừng, nên mọi dãy giảm trong

M ' ' đều dừng

Vậy M ' ' là môđun Artin

(⟸) Giả sử M ', M ' ' đều là môđun Artin, và cho M1⊃ M2⊃ …⊃ M n ⊃… là một dãygiảm các môđun con của M

Khi đó ta nhận được hai dãy giảm M1∩ M ' ⊃ M2∩ M ' … ⊃ M n ∩ M ' …

Vậy M là môđun Artin.

Hệ quả 4

Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun Artin là một R-môđunArtin

Các ví dụ

(1) Mọi không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K là môđun Artin.

Thật vậy, giả sử {e1, e2, … , e n} là cơ sở của V và 0V ⊂W1⊂W2⊂…⊂V là mộtdây chuyền các không gian con của V

Mỗi tập con không rỗng của không gian vectơ V đều có phần tử tối tiểu là 0V

Vậy mọi không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K là môđun Artin

(2) Mọi không gian vectơ vô hạn chiều V không là Artin, V là K-môđun.

e1K + e2K là môđun con cực đại của e1K + e2K +e3K.

e1K +…+e n −1 K là môđun đơn

Suy ra, V không là môđun Artin

Z ; chứa tất cả các môđun thực sự của nó

Z đều cómôđun con nhỏ nhất

(4) Vành số nguyên Z là Z-môđun, Z không là môun Artin vì ta có dãy môđunsau đây là không dừng: a Z ⊃a2

R-môđun M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập {A i|i ∈ I} các môđun

A i nên mỗi phần tử u j là tổng hữu hạn của các phần tử thuộc A i

Do đó tồn tại một tập con hữu hạn I0⊂ I để u1,u2, … , u n ∈∑

Đặc trưng này của nhóm môđun hữu hạn sinh cho phép ta đưa ra khái niệmđối ngẫu với nó như sau.

(1) Môđun Z Z không là hữu hạn sinh đối sinh do ¿Π p Z=0, Π là tập tất cả các

số nguyên tố, nhưng ¿i=1¿n p i Z= p1… p n Z ≠ 0

(2) Không gian vectơ V trên trường K là hữu hạn đối sinh khi và chỉ khi nó

hữu hạn chiều

Bây giờ chúng ta trình bày đặc trững của môđun Artin liên quan tới kháiniệm hữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh)

Định lí 2

Các điều sau là tương đương:

(i) Môđun M R là Artin

(ii) Mỗi môđun thương của M là hữu hạn đối sinh

(iii) Đối với mỗi tập hợp {A i|i ∈ I}≠ ∅ những môđun con của môđun M tồn tạimột tập con hữu hạn I0⊂ I sao cho ¿I A i= ¿ ¿I0 A i

Cho N là môđun con của R-môđun M khi đó M là Artin khi và chỉ khi N và

M

N là Artin

Chứng minh

(⟹) Giả sử M là R-môđun Artin

+ Xét mọi dãy giảm các môđun con của N: N1⊃…⊃ N n ⊃… cũng là dãy giảmcác môđun con của M

Do M là môđun Artin nên tồn tại n ∈ N để N n=N n+1=…

Vậy N là môđun Artin

+ Giả sử M1⊃…⊃ M n ⊃… là dãy giảm các môđun con của môđun M N

Trong đó, môđun con của M N có dạng N P với P là môđun con của M và

Vậy M N là môđun Artin

(⟸) Nếu N và M N là môđun Artin

Với mọi dãy giảm các môđun con của môđun M: M1⊃…⊃ M n ⊃…

Ta có dãy giảm tương ứng các môđun con của N là:

Với mọi x ∈ M i ∩(M i+ 1+N) thì { x ∈ M i

x ∈ M i +1+N.Đặt x=u+ v với {x ∈ M i ⇒u , v ∈ M i

¿M i+1+(M i ∩ N)=M i+1+(M i +1 ∩ N)=M i+1

Tức M i=M i+1 với mọi i≥ n

Vậy M là R-môđun Artin

Mệnh đề 2

Cho R là vành có đơn vị, f là tự đồng cấu của R-môđun Artin M Khi đó nếu

f là đơn cấu thì f là đẳng cấu

Tức f n(a)=f n(f (b)).

Do f là đơn cấu nên f n cũng là đơn cấu

Vì vậy, a=f (b) hay mọi a ∈ M đều có tạo ảnh tức f là toàn cấu

Kerf là môđun Artin

Bài tập 2

Chứng minh rằng mỗi tự đơn cấu của một môđun Artin là một tự đẳng cấu

GiảiGiả sử M là R-môđun Artin và f : M → M là một tự đồng cấu

Từ đó, ta có dãy giảm các mô đun con của môđun Artin M:

∀ m∈ M :ψ (m)∈ ℑ ψ=ℑψ2

=ψ (ℑ ψ ).Suy ra: m ∈ ℑψ ⇒ψ=f n là toàn cấu

Suy ra, f là toàn cấu

Kết hợp với giả thiết, suy ra f là tự đẳng cấu

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Môđun và nhóm Aben, NXB Đại học Sưphạm, 2008

[2] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết Môđun và vành,NXB Giáo dục, 2001

[3] Dương Quốc Việt, Bài tập Lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm, 2015.[4].https://text.123doc.org/document/3469002-mo-dun-artin-khoa-luan-tot-

nghiep-dai-hoc.html

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc đề tài 2

B NỘI DUNG 3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Môđun 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất 3

1.2 Môđun con 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Các mệnh đề 4

Chương 2: MÔĐUN ARTIN VÀ CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 6

2.1 Môđun Artin 6

2.2 Các đặc trưng khác của môđun Artin 13

2.3 Bài tập 19

C KẾT LUẬN 21

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 22