tiểu luận lý thuyết độ đo và xác suất

gian xác suất; Tích phân Lebesgue; Biến số ngẫu nhiên; và Các định lý giới hạn.Do vậy, khối kiến thức không chỉ gói gọn trong xác suất thống kê, mà còn liênquan đến phần cơ bản là nền tả

KHOA TOÁN – TIN HỌC

Hướng dẫn: GS.TS Đặng Đức Trọng

Đặng Vinh – Vũ Đức Thạch Sơn Nguyễn Bá Lâm – Nguyễn Thị Mai Phương –Lữ Quốc Hưng

Sinh viên khóa 2012 CNTN

Tiểu luận

Chịu trách nhiệm nội dung

VŨ ĐỨC THẠCH SƠN

ĐẶNG VINH NGUYỄN BÁ LÂM

LỮ QUỐC HƯNG NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG

Hướng dẫn: GS.TS Đặng Đức Trọng

Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch SơnNguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thị Mai Phương - Lữ Quốc Hưng

Sinh viên khóa 2012 CNTN

cho chúng em Đặc biệt, nhóm chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn đếnthầy Đặng Đức Trọng, người đã trực tiếp hướng dẫn chúng em trong môn

Lý thuyết Độ đo và Xác suất, và tạo rất nhiều điều kiện để nhóm chúng em

có thể hoàn thành bài tiểu luận này

Mặc dù thời gian làm tiểu luận chỉ trong hai tháng nhưng nhóm đã cốgắng hết sức và thể hiện một tinh thần đoàn kết tuyệt vời Công việc đượcphân công cụ thể và tất cả các thành viên đã làm tốt nhiệm vụ của mình.Với cương vị là người tổng hợp và biên tập, xin gửi lời cảm ơn chân thànhđến tất cả thành viên của nhóm đã làm việc hết mình cho đứa con tinh thầnchung có thể được xem là đầu tay của đời sinh viên này Đặc biệt, phải kểđến sự cống hiến đầy nhiệt huyết của thành viên Vũ Đức Thạch Sơn - người

có kiến thức sâu rộng nhất trong nhóm, đã góp công lớn làm cho nội dungcủa tiểu luận thêm phần phong phú

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2013

Trưởng nhóm biên soạn

Đặng Vinh

gian xác suất; Tích phân Lebesgue; Biến số ngẫu nhiên; và Các định lý giới hạn.

Do vậy, khối kiến thức không chỉ gói gọn trong xác suất thống kê, mà còn liênquan đến phần cơ bản là nền tảng chặt chẽ xây dựng nên lý thuyết xác suất, đóchính là lý thuyết về độ đo và tích phân Lebesgue Điều này có nghĩa sinh viênphải nắm chắc kiến thức ngay từ những bài đầu tiên Một trong những phươngpháp hiệu quả nhất chính là giải bài tập Nắm được yêu cầu đó, nhóm biên soạn

đã thực hiện Tiểu luận Lý thuyết Độ đo và Xác suất, dựa trên nội dung của Giáotrình Lý thuyết độ đo và xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng),mong muốn sẽ hỗ trợ phần nào cho việc học môn học này thêm hiệu quả

Với sự tôn trọng được đặt lên hàng đầu, nhóm biên soạn luôn trình bày Tiểuluận theo thứ tự đúng với bố cục trong Giáo trình Bên cạnh đó, nhóm cố gắngđào sâu, tìm hiểu và bổ sung thêm nhiều kiến thức hay, và hơn nữa là những thôngtin mang tính lịch sử về Toán học nói chung, lý thuyết Xác suất nói riêng, nhằmđem lại sự hứng thú khi nghiên cứu một môn học nặng về lý thuyết nhưng vẫn cótính ứng dụng cao như Lý thuyết Độ đo và Xác suất

Tiểu luận này gồm hai phần chính Phần đầu trình bày tóm tắt lý thuyết trong

Lý thuyết độ đo và xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng) Trongmỗi định lý hay mệnh đề, nhóm biên soạn luôn cố gắng tường minh hóa nhữngbước chứng minh hay tìm ra cách chứng minh có phần khác so với trong Giáotrình Tuy không chắc đó là cách chứng minh tối ưu hơn, nhưng hi vọng rằng việcchia sẻ với đọc giả tư duy chủ quan của nhóm có thể sẽ giúp ích cho quá trình họcmôn học này Phần thứ hai bao gồm lời giải chi tiết của các bài tập trong Giáotrình Lý thuyết độ đo và xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng) Vàthêm nữa là lời giải của các bài tập bổ sung mà nhóm đã sưu tầm, tuyển chọn vàbiên soạn Phần cuối tiểu luận là một số bài đọc thêm

Mặc dù đã được kiểm tra rất nhiều lần một cách độc lập bởi các thành viênkhác nhau trong nhóm biên soạn, tuy nhiên với khả năng và thời gian có hạn, chắcchắn tài liệu này vẫn còn một số sai sót nhất định Nhóm biên soạn luôn cố gắngchỉnh sửa để tài liệu này ngày càng được hoàn thiện hơn

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2013

Nhóm biên soạn

Mục lục

Phần A: Tóm tắt lý thuyết

Chương I Không gian đo – không gian xác suất

1.1 Kí hiệu và một số thuật ngữ thường dùng 11

1.2 Không gian mẫu,biến cố 15

1.3 Xác suất của một biến cố 16

1.4 Không gian đo 17

1.5 Không gian xác suất 25

1.6 Một số kiến thức bổ sung 32

Chương II Tích phân Lebesgue 2.1 Hàm đo được 49

2.2 Tích phân hàm dương 57

2.2 Tích phân hàm tổng quát 64

2.4 Tập có độ đo không 70

2.5 Độ đo Lebesgue 72

2.6 Tích phân hàm thông dụng 77

2.7 Định lý Radon - Nikodym và các vấn đề khác 79

Chương III Biến số ngẫu nhiên 3.1 Biến số ngẫu nhiên 93

3.2 Các hàm mật độ xác suất thường dùng 97

3.3 Tham số đặc trưng trong biến số ngẫu nhiên 105

3.4 Mật độ xác suất của hàm theo biến số ngẫu nhiên 125

3.5 Vector ngẫu nhiên 129

3.6 Một số kiến thức bổ sung 143

Chương IV Các định lý giới hạn 4.1 Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn dạng yếu 172

4.2 Định lý giới hạn trung tâm 175

4.3 Dạng mạnh của luật số lớn 177

4.4 Một số bất đẳng thức khác 179

4.5 Một số kiến thức bổ sung 180

IV Bài tập ứng dụng bổ sung 270

Chương II Tích phân Lebesgue I Bài tập lý thuyết 293

II Bài tập ứng dụng 308

III Bài tập lý thuyết bổ sung 322

IV Bài tập ứng dụng bổ sung 336

Chương III: Biến số ngẫu nhiên I Bài tập lý thuyết 343

II Bài tập ứng dụng 352

III Bài tập lý thuyết bổ sung 374

IV Bài tập ứng dụng bổ sung 380

Chương IV: Các định lý giới hạn I Bài tập lý thuyết 402

II Bài tập ứng dụng 409

III Bài tập lý thuyết bổ sung 416

IV Bài tập ứng dụng bổ sung 423

Bài đọc thêm Bảng số thống kê 435

Hướng dẫn sử dụng chức năng của máy tính bỏ túi 448

Một số thuật ngữ 450

Những câu chuyện thú vị về xác suất 455 Tài liệu tham khảo

Chương I

KHÔNG GIAN ĐO - KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

1.1 Kí hiệu và một số thuật ngữ thường dùng

Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ hoa như A, B, C, Ω, được xácđịnh bằng các phần tử của nó Có hai cách xác định tập hợp thường dùng:phương pháp liệt kê, chẳng hạn A = {x1, x2, xn} để chỉ tập hợp với cácphần tử là x1, x2, xn; phương pháp trưng tính, nghĩa là đưa ra một tínhchất, chẳng hạn {x ∈ U : P (x)} để chỉ tập hợp các phần tử của U mà P (x)

có chân trị là đúng Kí hiệu Ø để chỉ tâp rỗng, tập không có phần tử nào cả

Ta viết x ∈ A khi x là một phần tử của A Ngược lại ta viết x /∈ A Taviết B ⊂ A khi mọi phần tử của B đều thuộc A Tất cả các tập con của Uđược kí hiệu là P(U) : P(U) = {A : A ⊂ U}

Khi B ⊂ A và A ⊂ B ta nói A và B là hai tập bằng nhau tức là A và B cóchung tất cả các phần tử, kí hiệu A = B Trường hợp B ⊂ A mà B 6= A, tanói B là một tập con riêng của A Tập rỗng là con của mọi tập hợp, Ø ⊂ Uhay Ø ∈P(U) với mọi tập U

Với hai tập con A, B của U , phần hội A ∪ B để chỉ tập hợp các phần tửcủa U nằm trong ít nhất một trong hai tập A, B

Đặc biệt, khi I là tập N các số tự nhiên, ta thường dùng kí hiệu α=1Aα

Tập tích A1× × An của các tập hợp A1, , An bao gồm các phần tửcủa các bộ n thứ tự (a1, , an) trong đó ai ∈ Aivới i = 1, n

Với đường thẳng thực, kí hiệu R, và k ∈ N, ta có không gian Euclide

Rk = R × R × × R (tích k thừa số)

Đường thẳng thực nới rộng, kí hiệu R, để chỉ R bổ sung thêm hai phần

từ kí hiệu ∞ và −∞, với quan hệ thứ tự nới rộng

−∞ < x < ∞, ∀x ∈ RVới a, b ∈ R, khoảng đóng [a, b] và khoảng mở (a, b) được xác định là[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} v`a (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

Ta cũng viết

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} v`a (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

Với các kí hiệu về khoảng này, R còn được viết thành [−∞, ∞]

Khi E là một tập con không rỗng của R, chận trên nhỏ nhất của E kíhiệu là supE, và chận dưới lớn nhất của E kí hiệu là inf E luôn luôn tồn tạitrong R Khi supE 6= ∞ ta nói E là tập bị chận trên và khi inf E 6= −∞ tanói E là tập bị chận dưới E là tập bị chận khi nó vừa bị chận trên vừa bịchận dưới Trường hợp supE ∈ E, ta còn viết maxE thay cho supE Tương

tự, khi inf E ∈ E ta viết minE thay cho inf E

Ta có

i) f−1(Y \ A) = X \ f−1(A)

ii) f−1 S

α∈IAα
= Sα∈If−1(Aα)iii) f−1 T

α∈IAα
= Tα∈If−1(Aα)Chứng minh: xem Bài tập 2 phần lý thuyết Chương I

Với ánh xạ f : X −→ Y, X được gọi là miền xác định, Y được gọi làmiền ảnh của f Tập f (X) được gọi là ảnh của f Khi f (X) = Y , f được gọi

là một toàn ánh, hay vắn tắt f là ánh xạ trên

Với mỗi y ∈ Y, ta viết f−1(y) thay cho f−1({y}).Khi f−1(y) chứa nhiềunhất một phần tử, f được gọi là một đơn ánh, hay vắn tắt là ánh xạ một-một

Bấy giờ, ánh xạ ngược của f , kí hiệu f , được định nghĩa là ánh xạ từ f (X)vào X xác định bởi

f−1(y) = x khi f (x) = yVới ánh xạ f : X −→ [−∞, ∞] và E ⊂ X, ta thường viết sup

x∈E

f (x) thaycho sup f (E) và inf

x∈E

f (x) thay cho inf f (E)

Với ánh xạ f : X −→ Y và g : Y −→ Z, ánh xạ hợp g ◦ f : X −→ Zxác định bởi

g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ XKhi miền ảnh của f là đường thẳng thực R (hoặc mặt phẳng phức C),

ii) và iii) xem Bài tập 3 lý thuyết Chương I

iv) Từ kết quả iii) nên ta chỉ cần chứng minh f (A ∩ B) ⊃ f (A) ∩ f (B)khi f đơn ánh

Cho y ∈ f (A) ∩ f (B) thì y ∈ f (A) và y ∈ f (B) Suy ra ∃x1 ∈ A sao cho

y = f (x1) và ∃x2 ∈ A sao cho y = f (x2) Vì f đơn ánh nên x1 = x2 = x,nói cách khác chỉ tồn tại duy nhất x ∈ A ∩ B sao cho y = f (x) Suy ra

f (x) ∈ f (A ∩ B) Vậy y ∈ f (A ∩ B)

v) Cho x ∈ f−1(C) thì ∃y ∈ C sao cho y = f (x) Mà C ⊂ D nên y ∈ D.Suy ra f−1(y) ∈ f−1(D) Vậy x ∈ f−1(D)

vi) và vii) chứng minh như ii) và iii).

1.2 Không gian mẫu, biến cố

Đối tượng khảo sát của xác suất là các hiện tượng ngẫu nhiên, hiện tượng

mà mỗi lần quan sát, gọi là thực hiện các phép thử τ, kết quả xảy ra khôngtiên đáon được Tuy nhiên, dù kết quả của mỗi lần thực hiện phép thử làkhông thể xác định trước được nhưng ta có thể xác định tất cả các khả năng

có thể xảy ra khi thực hiện một phép thử Tập tất cả các khả năng có thểxảy ra của một phép thử được gọi là một “không gian mẫu” của phép thử đó

và thường được kí hiệu là Ω

Xét phép thử τ với một không gian mẫu Ω Một tập con E ⊂ Ω được gọi

là một “biến cố” Khi thực hiện phép thử τ , ta nhận được một kết quả ω ∈ Ω(ω còn gọi là biến cố sơ cấp) mà nếu ω ∈ E, ta nói rằng biến cố E “xảy ra”.Ngược lại ta nói E “không xảy ra”

“Biến cố tổng” kí hiệu A ∪ B, chỉ biến cố “ít nhất một trong các biến cố

A, B xảy ra”

“Biến cố tích” kí hiệu A ∩ B hay vắn tắt AB, chỉ biến cố “tất cả các biến

cố A, B đều xảy ra”

“Biến cố đối lập” kí hiệu Ω \ A hay vắn tắt là A, chỉ biến cố “A khôngxảy ra”

Đặc biệt, biến cố Ø ⊂ Ω được gọi là biến cố “không bao giờ xảy ra” vàbiến cố Ω ⊂ Ω được gọi là biến cố “chắc chắn”, biến cố luôn luôn xảy ra Khi

A ∩ B = Ø ta nói rằng A, B là hai biến cố “xung khắc”, chúng không bao giờcùng xảy ra Bấy giờ, người ta còn dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B.Chú ý rằng hai biến cố đối lập, A và A cũng là hai biến cố xung khắc.Chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát (xem Bài tập 4 phần

lý thuyết Chương I)

Tổng quát, với họ các biến cố (Aα) trong đó α thuộc một tập chỉ số I,nghĩa là Aα ⊂ Ω, với mọi α ∈ I,S

α∈IAα chỉ biến cố “ít nhất một biến cố Aαxảy ra” và T

α∈IAα chỉ biến cố “tất cả các biến cố Aαđều xảy ra” Khi I = N,(Aα) được gọi là dãy các biến cố và ta dùng kí hiệuS∞

α=1Aα vàT∞

α=1Aα lầnlượt thay cho S

α∈IAα và T

α∈IAα

1.3 Xác suất của một biến cố

Để khảo sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta tìm cách gán cho mỗimội biến cố A phát sinh từ hiện tượng ngẫu nhiên đó một con số, gọi là “xác

suất” của biến cố đó, kí hiệu là P (A), nhằm mục đích đặc trưng cho “khảnăng xuất hiện” của nó Các không gian mẫu đầu tiên được khảo sát là cáctập hữu hạn, chẳng hạn Ω = {ω1, , ωn}, và các biến cố sơ cấp được coi là

có cùng khả năng xuất hiện Khi đó, ta nói rằng không gian Ω là đồng xácsuất Với kí hiệu P (ωi) thay cho P ({ωi}), khái niệm đồng xác suất cho ta

P (ωi) = P (ωj) = p ∈ R, ∀i, j = 1, 2, , n

Bằng cách chọn p = n1, ta được định nghĩa “xác suất cổ điển”

P (A) = |A|

|Ω|, ∀A ⊂ Ωtrong đó kí hiệu |X| để chỉ số phần tử của X

Ý tưởng “đồng xác suất” mặc dù đã sản sinh được nhiều áp dụng quantrọng nhưng không đúng trong rất nhiều trường hợp và đã nhận được rấtnhiều chỉ trích Nhằm khắc phục khiếm khuyết từ định nghĩa xác suất mộtbiến cố dựa trên tư tưởng “đồng xác suất”, người ta đưa ra định nghĩa xácsuất bằng “tần suất”, nghĩa là bằng phương pháp thống kê như sau

Với không gian mẫu Ω của phép thử τ , người ta thực hiện phép thử này

n lần và đếm số lần biến cố A ⊂ Ω xuất hiện, kí hiệu n(A) Khi đó, xác suấtcủa A được định nghĩa (xấp xỉ) bởi tần suất

P (A) = n(A)

n .Thực chất, giả định của trường phái “tần suất” tin rằng nếu xác suất củamột biến cố A là p thì người ta sẽ có

1.4 Không gian đo

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những tiên đề và định nghĩa cơ bản, hếtsức quan trong trong việc đặt nền móng cho Lý thuyết xác suất một cách hệthống

1.4.1 Tiên đề

Cho M là một họ các tập con của một tập X Ta nói M là một σ−đại

số trên X nếu M thỏa các tiên đề sau

Khi M là một σ−đại số trên X, (X, M) được gọi là “không gian đo được”

và phần tử của M được gọi là các tập đo được

Với ngôn ngữ của phép toán trên tập hợp, các tiên đề 2 và 3 của mộtσ−đại số M trên X có thể phát biểu lại là

Tiên đề 2: M bền với phép lấy phần bù

Tiên đề 3: M bền với phép lấy phần hội đếm được

1.4.2 Bổ đề

Cho X là một tập con khác rỗng GọiP(X) là họ tất cả các tập con của

X Ta có P(X) cũng là một σ−đại số

Chứng minh:

Ta sẽ lần lượt kiểm tra 3 tiên đề của một σ−đại số cho P(X)

Tiên đề 1: Hiển nhiên X ∈P(X)

Tiên đề 2: Nếu A ∈ P(X) thì A ⊂ X Suy ra Ac = X \ A ⊂ X nên

ii) Với mọi dãy (An) các phần tử của M thì

∞

\

n=1

An ∈ MChứng minh: xem Bài tập 6 phần lý thuyết Chương I

Sau đây cũng là một định lý quan trọng mà kết quả của nó sẽ được sửdụng nhiều trong các chứng minh

1.4.4 Định lý

Cho (Mα)α∈I là một họ các σ−đại số trên X Khi đó M =T

α∈IMα cũng

là một σ− đại số trên X

Chứng minh: xem Bài tập 7 phần lý thuyết Chương I

Định lý sau đây cho thấy sự tồn tại của nhiều σ−đại số khác trên X

1.4.5 Định lý

Với một họ F bất kì các tập con của một tập hợp X, tồn tại σ−đại số Mtrên X nhỏ nhất chứa F, nghĩa là F⊂ M và nếu M0 là một σ−đại số bất kìsao cho F⊂ M, ta có M ⊂ M0

M được gọi là σ−đại số sinh bởi F, kí hiệu σ(F)

Chứng minh:

Ta có F là một họ bất kì các tập con của một tập hợp X Suy ra F⊂P(X)Gọi O là họ tất cả các σ−đại số chứa F Vì F⊂ P(X) mà P(X) cũng

là một σ−đại số (Bổ đề 1.4.2) do đó P(X) ∈ O Suy ra O khác rỗng.Đặt M là phần giao của tất cả các phần tử củaO M = TN∈ ON, dễ thấy

rằng N ∈O, ∀N nên hiển nhiên F⊂ N, ∀N và do đó F⊂ M Ta có M là mộtσ−đại số (Định lý 1.4.5) Ta sẽ chứng minh M là σ−đại số nhỏ nhất chứa FChọn M0 là σ−đại số bất kì thuộc O sao cho F⊂ M’

Vì M0∈O nên M = TM0 ∈ OM0 ⊂ M0

1.4.6 Mệnh đề

Cho M là một σ−đại số trên tập hợp X và F , G là các họ tập con của

Chứng minh: xem Bài tập 8 phần lý thuyết Chương I

Chú ý rằng trong Lý thuyết xác suất khi mà không gian mẫu Ω bao gồmcác biến cố sơ cấp, σ−đại số sinh bởi chính Ω thường được xem như là khônggian các biến cố “nhỏ nhất” mà ta cần khảo sát Khi Ω là một tập hữu hạnhay vô hạn đếm được (mà ta còn gọi là tập quá lắm đếm được) thì σ−đại sốsinh bởi Ω chính là P(Ω) Kết quả này không đúng cho trường hợp khônggian mẫu Ω là tập vô hạn không đếm được (xem Bài tập 9 phần lý thuyếtChương I)

1.4.7 Bổ đề

Cho M là một σ−đại số trên tập hợp X sao cho M có hữu hạn phần tử.Khi đó ta có điều sau về lực lượng của M

card M = 2n, n ∈ NChứng minh:

Chọn một phần tử A bất kì trong M Do M bền với phép lấy phần bù,

ta luôn tìm được Ac là phần bù của phần tử đó Vậy A và Ac tạo thành mộtcặp 2 phần tử của σ−đại số M Với mỗi phần tử trong M, ta có thể phânhoạch nó với phần bù của nó nhờ các tính chất của σ−đại số Cách phânhoạch này đưa đến một phân hoạch đặc biệt Dùng ý tưởng đó, ta có thể lấybất kỳ tổ hợp các phần tử của X sao cho các tập hợp của các phần tử nàycủa X tạo nên một phân hoạch của X Quan sát họ các phân hoạch X, chọnphân hoạch có nhiều ô nhất bằng cách lấy sup của tất cả các phân hoạch cónhiều ô nhất trong họ phân hoạch đó Giả sử có n ô cho một phân hoạch đặcbiệt của X Lấy S là tập gồm n ô này Ta có P (S) = 2n, với n là số lớn nhấtcác ô trong các phân hoạch có thể thực hiện được của X Từ P (S), ta tạo

ra được một phân hoạch khác của X Suy ra, S là tập sinh của M

Một loại σ−đại số quan trọng không những trong phép tính vi phân mà

cả trong lý thuyết xác suất là σ−đại số Borel Trước hết ta cần một số thuậtngữ

Giống như đối với khái niệm về σ−đại số , trên một tập bất X bất kì,các họ {Ø, X} và P(X) là các σ−đại số trên X, và với F là một họ bất kìcác tập con của X, tồn tại topo τF trên X, nhỏ nhất chứa F (xem Bài tập

10 phần lý thuyết Chương I), tức là

i) τF là một topo trên X, F ⊂ τF

ii) Với mọi topo τ0 trên X chứa F , ta có τ ⊂ τ0

Khi X là một không gian mêtric, τ chính là topo sinh bởi họ các quả cầu

mở, B(a; r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}, với a ∈ X, r > 0 và d là mêtric trên

X Chẳng hạn với đường thẳng thực R, τ chính là topo sinh bởi các khoảng

mở (a, b) và topo τ trên mặt phẳng R2 sinh bởi các dĩa mở {(x, y) ∈ R2 :(x − a)2+ (y − b)2 < r}, (a, b) ∈ R2, r > 0 Đặc biệt, với đường thẳng thực nớirộng, X = [−∞, ∞], τ là topo sinh bởi các khoảng mở (a, b), (a, ∞], [−∞, b),với a, b ∈ R

1.4.9 Định nghĩa

Cho (X, τ ) là một không gian topo, σ−đại số B sinh bởi τ được gọi là

“σ−đại số Borel” trên X, kí hiệu B(X) Khi đó phần tử của B được gọi là

“tập con Borel của X”

Do các σ−đại số đều bền đối với phép lấy phần bù, ta suy ra rằng đốivới một không gian topo X bất kì, các tập đóng của X đều là các tập Borel.Hơn nữa, do các σ−đại số cũng bền với phép lấy phần hội cũng như phầngiao đếm được, ta suy ra rằng các tập Fσ(hội đếm được các tập đóng) và

Gδ(giao đếm được các tập mở) đều là các tập Borel Chẳng hạn, với đườngthẳng thực R, hiển nhiên các khoảng đóng và các khoảng mở là các tập Borel,các “nửa khoảng mở”, [a, b) và (a, b], cũng đều là các tập Borel Tóm lại, các

khoảng là các tập Borel trên R và hơn thế nữa.(xem Bài tập 11,12 phần lýthuyết Chương I).

1.4.13 Định nghĩa

Cho X là không gian đo được với một σ−đại số M, cho hàm µ : M −→ C

Ta nói µ là một độ đo phức trên M nếu µ thoả mãn tính chất sau

µ (Sn

i=1Ai) = Pn

i=1Ai.d) Nếu A =S∞

n=1An với các An∈ M tạo thành dãy tăng,nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An⊂ thì µ(An) −→ µ(A) khi n → ∞

Suy ra µ(Ø) = 0

b) Vì A ⊂ B nên B = (B \ A) ∪ A với (B \ A) ∈ M Mà (B \ A) ∩ A = Øsuy ra (B \ A) xung khắc A

Suy ra µ(B \ A) + µ(A) = µ(B) Do đó µ(A) ≤ µ(B)

c) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp toán học

Với n = 2: Ta có A1∪ A2 = A1∪ (A2\ A1) và A1∩ (A2\ A1) = Ø Do đótheo tính chất cộng tính đếm được, ta suy ra

µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2\ A1)

mà (A2\ A1) ⊂ A2 nên từ kết quả tính chất (b) ta có µ(A2 \ A1) ≤ µ(A2).Suy ra

µ(A1∪ A2) ≤ µ(A1) + µ(A2)Với n = k: Ta giả sử mệnh đề đúng, tức là

Nếu (A1, , An) là các phần tử đôi một rời nhau thì

1.5 Không gian xác suất

Nhắc lại rằng một không gian xác suất là một bộ ba (Ω, M, P ), trong đó

Ω là một tập không rỗng, M là một σ−đại số trên Ω, P là một độ đo dươngtrên M thỏa P (Ω) = 1 Trong Lý thuyết xác suất, Ω được gọi là không gianmẫu của một phép thử τ, phần tử của M gọi là biến cố và A ∈ M, P (A)được gọi là xác suất của biến cố A Trong nhiều ứng dụng, P (A)có thể đượctính bằng phương pháp cổ điển

P (A) = |A|

|Ω|,khi (Ω, M, P ) là không gian đồng xác suất (xem phần 1.3)

Trước hết, không gian xác suất thừa hưởng mọi tính chất của một khônggian đo (xem phần 1.4) Tuy nhiên ta phát biểu một số tính chất căn bảnthường dùng của xác suất như sau

1.5.1 Định lý

Cho (Ω, M, P ) là một không gian xác suất Ta có

a) 0 ≤ P (A) ≤ 1, với mọi biến cố A, trong đó P (Ω) = 1 và P (Ø) = 0.b) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc, nghĩa là AB ≡ A ∩ B = Ø, thì

P (A ∪ B) = P (A) + P (B),trong đó A + B ≡ A ∪ B

Tổng quát, với hai biến cố A, B bất kì ta luôn có

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB)

c) P (A) = 1 − P (A), với mọi biến cố A, trong đó A là biến cố đối lập củabiến cố A, A = Ω \ A

Chứng minh:

a) Suy trực tiếp từ định lý độ đo dương 1.4.15

b) Từ định lý 1.4.15 ta suy ra được P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Với trườnghợp 2 biến cố bất kì, ta nhận thấy A ∪ B = A ∪ (B \ A) và A ∩ (B \ A) = Ø

Do đó ta suy ra

P (A ∪ B) = P (A) + P (B \ A)

mà (B \ A) ∪ (A ∩ B) = B và (B \ A) ∩ (A ∩ B) = Ø nên

Xác suất để một biến cố A xảy ra, khi biết biến cố B đã xảy ra, được gọi

là “xác suất có điều kiện”, kí hiệu P (A | B), và được cho bởi biểu thức

P (A | B) = P (AB)

P (B)với điều kiện P (B) 6= 0

Với hai biến cố A, B bất kì, từ định nghĩa của công thức “xác suất có điềukiện” ta suy ra đẳng thức đúng khi P (B) 6= 0 Khi P (B) = 0 thì vì AB ⊂ Bnên 0 ≤ P (AB) ≤ P (B) = 0 Suy ra P (AB) = 0 nên đẳng thức cần chứngminh đúng trong mọi trường hợp

Với trường hợp tổng quát, ta chứng minh bằng quy nạp toán học

Trường hợp n = 2 : đẳng thức đã được chứng minh

Trường hợp n = k: giả sử đẳng thức đúng khi n = k, tức là

P (A1A2 Ak+1) = P (A1 | A2 AkAk+1)P (A2 AkAk+1)

Áp dụng giả thiết quy nạp trên n biến cố A2, , Ak, Ak+1 suy ra

Tổng quát, với họ đầy đủ các biến cố {B1, B2, Bn}, nghĩa là họ này đôi

một xung khắc, BiBj = Ø, với mọi i, j = 1, 2, , n, i 6= j, và luôn luôn có ít

nhất một biến cố xảy ra, B1∪ B2∪ ∪ Bn = Ω, ta có

Trường hợp hai biến cố bất kì A, B ta có những giả thiết sau

B và B là hai biến cố đối lập nên chúng xung khắc (xem Bài tập 4 phần

lý thuyết Chương I) do đó AB và AB cũng là hai biến cố xung khắc Suy ra

P (A) = P (AB) + P (AB)

Theo định lý 1.5.3 ta lại có

P (AB) = P (A | B)P (B) và P (AB) = P (A | B)P (B)

Ta chỉ cần chứng minh

P (Bk | A) = P (A | Bk)P (Bk)

P (A)sau đó từ định lý 1.5.4 trực tiếp suy ra vế thứ hai của đẳng thức, tức là

P (A | Bk)P (Bk)

P (A) =

P (A | Bk)P (Bk)

Pn i=1P (A | Bi)P (Bi)

Bayes (1701 - 1761)Thomas Bayes (1701 - 1761) là một nhà toán học người Anh và là mục

sư Ông được biết đến vì đã đưa ra một công thức đặc biệt trở thành định lýmang tên ông: định lý Bayes Bayes chưa bao giờ công bố công trình mà cuốicùng sẽ trở thành thành tựu nổi tiếng nhất của ông, cho đến khi ghi chépcủa ông đã được Richard Price chỉnh sửa và xuất bản sau khi ông chết

1.5.6 Định nghĩa

Hai biến cố A, B được gọi là độc lập khi

P (AB) = P (A).P (B)Hai biến cố độc lập có thể hiểu là sự xuất hiện của biến cố này khônglàm ảnh hưởng đến xác xuất xuất hiện của biến cố kia và hai biến cố độc lậpvới nhau là khác với hai biến cố xung khắc (một số sinh viên hay hiểu nhầmhai khái niệm này)

Tổng quát là n biến cố A1, A2, , An là độc lập nếu từng biến cố Ai, i =

1, 2, , n, độc lập với tất cả các biến cố tích hữu hạn của các biến cố còn lạiNhư đã đề cập thì n biến cố A1, A2, , An là độc lập cơ may xuất hiệncủa các biến cố không thay đổi dù các biến cố khác có xảy ra hay không.Ta

có thể thấy rõ qua công thức sau

P (A|B) = P (A)

rõ ràng là xác suất của biến cốA bằng với xác suất biến cố A xảy ra trongtrường hợp biến cố B đã xảy ra và đó cũng là một định nghĩa khác của biến

cố độc lập

1.5.7 Mệnh đề

Cho n biến cố A1, A2, , An là độc lập nếu và chỉ nếu với bất kì dãy hữuhạn các số nguyên (ni)i=1, ,k, 2 ≤ k ≤ n, thoả mãn điều kiện 1 ≤ n1 ≤ n2 < < nk ≤ n, ta đều có

P (An1An2 Ank) = P (An1)P (An2) P (Ank)Chứng minh:

Đầu tiên ta nhắc lại là họ biến cố A1, A2, , An là độc lập nghĩa là từngbiến cố của nó độc lập với tích của tất cả các biến cố còn lại

Chiều thuận:

Ta lấy họ hữu hạn các số nguyên như đề bài (ni)i=1, ,k, 2 ≤ k ≤ n ,thoảmãn điều kiện 1 ≤ n1 ≤ n2 < < nk ≤ n, và xét biền cố An1An2 AnkTheo giả thiết ta sẽ có An1 độc lập với An2 Ank nên

P (An1An2 Ank) = P (An1).P (An2 Ank),ta xét tiếp họ An2 Ank thì An2

sẽ độc lập với An3 Ank nên

P (An2 Ank) = P (An2).P (An3 Ank) và thực hiện thuật toán trên k − 1lần ta sẽ có được

P (An1An2 Ank) = P (An1)P (An2) P (Ank)Chiều đảo:

Nhiệm vụ của chúng ta là nếu lấy một Ai bất kì trong họ n biến cố

A1, A2, , An thì phải chứng minh được nó độc lập với tích các biến cố cònlại

Thật vậy lấy Aj bất kì trong họ biến cố A1, A2, , An và dãy hữu hạn các

Sau bài này ta lại có một định nghĩa hữu ích hơn cho một họ n biến cố

A1, A2, , An là độc lập là nếu A1, A2, , An độc lập thì

P (A1A2 An) = P (A1)P (A2) P (An)

Với định nghĩa mới này sẽ hữu ích hơn cho ta về phần chứng minh lý thuyết

có liên qua đến một họ biến có độc lập

1.6 Một số kiến thức bổ sung

1.6.1 Lớp đơn điệu

1.6.1.1 Định nghĩa

Cho Ω, M là một họ các tập con của Ω Ta nói Mlà lớp đơn điệu nếu

nó chứa tất cả các giới hạn của dãy đơn điệu trong M Nói cách khác, nó ổnđịnh đối với hợp đếm được của dãy tăng và giao đếm được của dãy giảm

Cho M là một họ các tập con của Ω Khi đó ta có M là σ- đại số trên

Ω ⇔ M là đại số, đơn điệu

Chứng minh:

(⇒)

Giả sử M là σ- đại số ⇒M là đại số

Ta chứng minh M đơn điệu

Cho dãy {An} ⊂ M, Ai ⊂ Ai+1, ∀i ∈ N

Theo tính chất của σ- đại số thì A =S∞

n=1An ∈ M

Tương tự với dãy {An} ⊂ M, Ai+1 ⊂ Ai, ∀i ∈ N

Theo tính chất của σ- đại số thì A =T∞

n=1An ∈ M

Vậy M đơn điệu

Với mọi dãy {An} ⊂ M ta chứng minh S∞

n=1An∈ MĐặt Bn=Sn

1, MA là lớp đơn điệu

2, B ∈ MA⇔ A ∈ MB(do tính chất đối xứng đặt trên MA)

Thật vậy , với mọi A ∈ M (M) , MA6= Ø vì A ∈ MA

Ta chứng minh 1

Xét dãy {Bn} ⊂ MA, Bn ↑ B, ta sẽ chỉ ra B ∈ MA.Do M (M) là lớpđơn điệu và {Bn} ⊂ M (M) ( vì {Bn} ⊂ MA) nên suy ra B ∈ M (M)

Ta có {A \ Bn} ∈ M (M)và (A \ Bn) ↓ (A \ B) nên suy ra A \ B ∈

M (M)

Hoàn toàn tương tự ta có B \ A, A ∪ B ∈ M (M).Vậy B ∈ MA

Việc chứng minh cho một dãy {Bn} ⊂ MA, Bn ↓ B là hoàn toàn tươngtự

Vậy MA là lớp đơn điệu

Xét A ∈ M bất kỳ Với cách xây dựng MAnhư trên thì MA⊂ M (M).Mặt khác vì M là đại số nên

∀B ∈ M ⊂ M (M) , A \ B, B \ A, A ∪ B ∈ M ⊂ M (M)

Vậy B ∈ MA Suy ra M ⊂ MA

Do MA là lớp đơn điệu chứa M nên nó sẽ chứa M (M) Kết quả trêndẫn đến MA= M (M) , ∀A ∈ M

Xét B ∈ M (M) bất kỳ Theo trên thì MA= M (M) , ∀A ∈ M

nên B ∈ MA, ∀A ∈ M Sử dụng tính chất 2) của MAta có ∀A ∈ M, A ∈

MB nên M ∈ MB

Vậy MB = M (M) , ∀B ∈ M (M)

Bây giờ ta chỉ ra M (M) là đại số :

i) Ω ∈ M (M) ( vì Ω ∈ M ⊂ M (M) )

ii) Với mọi A ∈ M (M) , A = Ω \ A ∈ M (M) ( vì Ω ∈ MA )

iii) Với mọi A, B ∈ M (M) , A ∪ B ∈ M (M) ( vì B ∈ MA )

Do đó M (M) là đại số và là lớp đơn điệu nên theo Định lý 1.6.1.3,

M (M) là σ- đại số chứa M

Từ đó ta được σ (M) ⊂ M (M)

1.6.2 σ- đại số tích

Định nghĩa không gian tích

Cho hai không gian đo được (Ω1, M1) , (Ω2, M2) với A1 ∈ Ω1, A2 ∈ Ω2

Ta định nghĩa tích Descartes :

A1 × A2 = {(ω1, ω2) : ω1 ∈ A1, ω2 ∈ A2}Đặc biệt khi A1 = Ω1, A2 = Ω2 thì Ω1× Ω2 gọi là tích của 2 không gian

Ω1, Ω2

Nếu A1 ∈ M1, A2 ∈ M2 thì A1× A2 gọi là hình chữ nhật

Tóm lại, lớp tất cả các hình chữ nhật không phải là đại số Khi đó đại số bé nhất làm cho tất cả các hình chữ nhật đó đo được ( chứa tất cảcác hình chữ nhật ) được gọi là σ- đại số tích

σ-(Ω1× Ω2, M1× M2) gọi là không gian tích của 2 không gian (Ω1, M1) , (Ω2, M2).1.6.3 Hàm tập và độ đo

1.6.3.1 Hàm tập

Cho C là họ các tập con trên Ω Hàm ϕ xác định trên C và nhận giá trịsố

ϕ : C −→ R

∀A ∈ C, ∃!x ∈ R : ϕ (A) = xđược gọi là hàm tập với giá trị số.

- Hàm tập ϕ được gọi là hữu hạn khi ϕ (A) < ∞, ∀A ∈ C

- Hàm tập ϕ được gọi là không âm nếu ϕ (A) ≥ 0, ∀A ∈ C

- Hàm tập ϕ được gọi là cộng tính hữu hạn nếu :

Với mọi {Ai}i=1,n ⊂ C thỏa Ai∩ Aj = Ø, ∀i 6= j và Pn

i=1Ai ∈ C ta cóϕ

- Hàm tập ϕ được gọi là σ - hữu hạn nếu ta có

Với mọi C ∈ C, tồn tại {Ck}k∈N ⊂ C sao cho S∞

k=1Ck= C và ϕ (Ck) hữuhạn với mọi k ∈ N

1.6.3.2 Tập không đáng kể ( µ- không đáng kể ) - Không gian có

3 Hợp đếm được của các tập không đáng kể là không đáng kể.

3 Xét {Ni}i∈N ⊂ M trong đó Ni không đáng kể với mọi i ∈ N

Khi đó tồn tại {Bi}i∈N ⊂ M sao cho Ni ⊂ Bi và µ (Bi) với mọi i ∈ N.Suy ra S∞

( Làm đầy đủ không gian có độ đo )

Cho không gian (Ω, M, µ) và N là họ các tập không đáng kể ( µ- không )a) Nếu M = {A ∪ N : A ∈ M, N ∈ N } thì M = σ (M ∪ N )

b) µ : M −→ [0, ∞] được xác định như sau :

M

= µ.c) Ω, M, µ
là không gian có độ đo đủ

Lưu ý :

Cho không gian (Ω, M, µ) chưa đủ Làm đầy đủ không gian có độ đo(Ω, M, µ) nghĩa là đi xây dựng Ω, M, µ
Khi đó M được gọi là σ- đại số bổsung cho σ- đại số M , µ gọi là độ đo đủ

Với mọi B ∈ M, B = A ∪ N, A ∈ M, N ∈ N Suy ra

B ∈ σ (M ∪ N ) ⇒ M ⊂ (M ∪ N )Mặt khác, với mọi B ∈ (M ∪ N ) ta có B = A ∪ N, A ∈ M, N ∈ N Suy ra B ∈ M Do vậy (M ∪ N ) ⊂ M ⊂ σ (M ∪ N )

A1 \ A2 ⊂ A1∪ N1\ N2

A2 \ A1 ⊂ A2∪ N2\ N1

Từ đó suy ra A1\ A2 ⊂ N2 và A2\ A1 ⊂ N1.

A14 A2 = (A1\ A2) ∪ (A2\ A1) ⊂ (N1∪ N2)

Do N1, N2 là tập µ- không nên N1∪ N2 cũng là tập µ- không

Nghĩa là tồn tại B ∈ M sao cho N1∪ N2 ⊂ B và µ (B) = 0

⇒ µ (A14 A2) ≤ µ (B) = 0

⇒ µ (A1 4 A2) = 0 ⇒ µ (A1) = µ (A2)Theo định nghĩa µ : µ (A1) = µ (A1∪ N1) và µ (A2) = µ (A2 ∪ N2)