tiểu luận toán Môđun có độ dài hữu hạn

Tiểu luận lý thuyết môđun đề tài môđun có độ dài hữu hạn

A.Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, ta khó có thể nói hết vai trò của đại số trong các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng, đại số hiện đại là chiếc chìa khoá để đi sâu vào các ngành của toán học

Trong Đại số thì nội dung lý thuyết môđun và vành là nội dung vô cùng quan trọng, được chú trọng trong việc giảng dạy ở các trường Đại học và đây cũng là nội dung mà nhiều sinh viên khoa Toán quan tâm nghiên cứu Bởi nó là

nó là bước tiếp theo của lý thuyết nhóm, là nội dung quan trọng để người học có thể tìm ra cầu nối giữa các lĩnh vực của toán học và hơn hết là tìm ra quan hệ giữa toán học và các ngành khoa học khác

Như ta đã biết thì môđun Noether và môđun Artin là hai lớp môđun quan trọng mà trong đó môđun có độ dài hữu hạn là phần kiến thức cốt yếu không thể thiếu đối với một sinh viên nghiên cứu về toán, bởi nó mang đậm dấu ấn của hình học và đại số

Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết và các dạng bài tập môđun có độ dài

hữu hạn nên em chọn đề tài: “Môđun có độ dài hữu hạn” làm đề tài nghiên cứu

của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, em muốn trình bày các định nghĩa, tính chất, định lý quan trọng của môđun có độ dài hữu hạn và một số bài tập liên quan Để

từ đó giúp em hiểu rõ hơn về môn học này đồng thời nắm vững lý thuyết và bài tập về môđun có độ dài hữu hạn để giải các bài toán có liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

Môđun có độ dài hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu có sẵn và trên internet

Phân tích và tổng hợp.

Tham khảo ý kiến chuyên gia

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu cũng như phần kết luận thì bài tiểu luận của em được trình bày trong 2 chương chính là:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Bài tập vận dụng

B.Nội dung Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Môđun và môđun con

1.1.1 Môđun

Giả sử R là vành Một R-môđun trái M là một nhóm cộng giao hoán M cùng với một ánh xạ

(gọi là phép nhân với vô hướng) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

với các phần tử tùy ý và

Ta cũng nói rằng, R tác động (về bên trái) lên M và M là một môđun trên R

1.1.2 Môđun con

Định nghĩa

Giả sử M là một R-môđun Tập con của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A

Mệnh đề 1

Cho M là một R-môđun Nếu A là một tập con khác rỗng của M thì các điều kiện sau là tương đương:

(a) A là môđun con trong M

(b) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi , mọi , ta có

(c) Với mọi và mọi , ta có l

Chứng minh

Là hiển nhiên theo định nghĩa của môđun con

Trước hết, với và , ta có và

Do A là nhóm cộng aben nên

Với mọi và , ta có , nên A đóng kín với phép cộng trong M

Với ta có , với mọi , nghĩa là A là nhóm cộng của M Các tính chất còn lại được thỏa mãn trên A do thỏa mãn trong M

Mệnh đề 2

Giao của một họ bất kỳ những môđun con của R-môđun M là một môđun con của M

1.2 Độ dài chuỗi và thương của chuỗi

Xét chuỗi hữu hạn các môđun con của AR

(1) Trong đó Ai-1 là môđun con thực sự của Ai (

Số k được gọi là độ dài của chuỗi (1) và các thương Ai/Ai-1 ( được gọi là

các thương của chuỗi.

1.3 Các định nghĩa

1) Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun đơn, nếu

M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó

2) Chuỗi (1) được gọi là lấp đầy của chuỗi

(2) Nếu mỗi Bi trùng với một Aj nào đó của chuỗi (1)

3) Hai chuỗi (1) và (2) gọi là đẳng cấu nếu và giữa các thương có thể

thiết lập một song ánh sao cho các thương tương ứng đẳng cấu

4) Chuỗi (1) gọi là chuỗi hợp thành nếu các thương của chuỗi là

môđun đơn

Ví dụ:

(1) Môđun ZZ không có chuỗi hợp thành Thật vậy do trong Z không có môđun con đơn nên giữa 0 và môđun con thực sự B luôn có một môđun con khác với chúng

(2) Cho là không gian vectơ hữu hạn chiều với cơ sở Khi đó:

Trong đó

là một chuỗi hợp thành trong V

1.4 Định lý Schreie

Hai chuỗi hữu hạn của môđun đã cho có các chuỗi lấp đầy và đẳng cấu

Chứng minh

Giả sử môđun A có 2 chuỗi:

(1)

và (2)

Ta lồng vào giữa các Ai và Ai+1 các môđun con:

Thực hiện như sau:

 Lồng vào giữa Ao và A1 các môđun:

 Lồng vào giữa A1 và A2 các môđun:

Quá trình cứ tiếp tục như vậy

 Lồng vào giữa Ak-1 và Ak các môđun:

Từ các kết quả trên, ta có:

Mà chuỗi này có độ dài là

Ta lồng vào giữa và các môđun con

 Lồng vào giữa Bo và B1 các môđun:

 Lồng vào giữa B1 và B2 các môđun:

Quá trình cứ tiếp tục như vậy

 Lồng vào giữa Bs-1 và Bs các môđun:

Từ các kết quả trên ta có

Mà chuỗi này có độ dài là

Vậy mỗi chuỗi lấp đầy chuỗi trước tương ứng với nó, ta có 2 chuỗi có độ dài bằng nhau và bằng

Ngoài ra, ta có các thương là đẳng cấu

1.5 Định lý Jordan – Holder

Giả sử M là một R-môđun có chuỗi hợp thành với độ dài n Khi đó mọi chuỗi hợp thành khác của M cũng có độ dài n và mọi dãy giảm các môđun con đều có thể bổ sung thành một chuỗi hợp thành của M

Chứng minh

Trước hết ta xét bổ đề sau: Gọi là độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành trong M Nếu N là môđun con của M thì và nếu N là môđun con thực sự của M thì

Thật vậy, giả sử là độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành

Khi đó

Là dãy giảm các môđun con của N Với mỗi i, ánh xạ tự nhiên

là đơn ánh

Vì là đơn nên hoặc hoặc

là đơn Điều đó cho phép lập một chuỗi hợp thành của N có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng t bằng cách bỏ đi các hạng tử lặp lại

Do đó số , độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành trong N, sẽ nhỏ hơn hoặc bằng

Giả sử rằng , khi đó với mỗi ,

và đẳng cấu với

Vì nên ta có Điều đó kéo theo ,… và cuối cùng , tức là

Vậy N là môđun con thực sự của M thì

Bây giờ ta chứng minh định lý Xét chuỗi hợp thành tuỳ ý:

Từ bổ đề suy ra: và do đó Vì t là độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành trong M nên

Do đó, mọi chuỗi hợp thành của M đều có độ dài như nhau:

Bây giờ xét dãy giảm (ngặt) bất kỳ trong các môđun con của M:

Nếu thì dãy trên không là chuỗi hợp thành của M và do đó với nào đó, không đơn, điều đó nghĩa là tồn tại môđun con L thoã mãn bao hàm thức ngặt: Đến đây ta xét dãy giảm mới các môđun con:

Nếu ta lại lặp lại quá trình bổ sung trên Sau một số hữu hạn bước ta thu được chuỗi hợp thành của M

Khi đó định lý đã được chứng minh hoàn toàn

1.6 Độ dài môđun

Định nghĩa

Nếu R- môđun M có chuỗi hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn

và độ dài của chuỗi hợp thành được gọi là độ dài của môđun M

Ký hiệu

Nếu M không có chuỗi hợp thành thì ta coi là

Ví dụ: -môđun có hai dãy khớp hợp thành đẳng cấu là

1.7 Một số tính chất của độ dài môđun

1.7.1 Mệnh đề

Một R-môđun M có chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là Noether, vừa

là Artin

Chứng minh

Giả sử M có chuỗi hợp thành độ dài

Theo định lý Jordan – Holder

Khi đó mọi dãy tăng hoặc giảm (ngặt) các môđun con của M đều có độ dài

Do đó M vừa là Noether vừa là Artin

Giả sử M vừa là Noether vừa là Artin, ta cần chứng minh M có chuỗi hợp thành

M là Noether nên nó có môđun con tối đại thực sự là M1

Mà M1 cũng là môđun Noether nên lại có môđun con tối đại thực sự là M2 Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy giảm (ngặt) các môđun con của M:

Vì M là Artin nên với một k nào đó Khi đó

là chuỗi hợp thành của M

1.7.2 Mệnh đề

Cho dãy khớp các R-môđun

Khi đó, độ dài của M bằng tổng độ dài của và :

Chứng minh

Môđun M là Noether (Artin) khi và chi khi cả và đều Noether (Artin)

Do đó, hữu hạn khi và chỉ khi và đều hữu hạn

Nên hệ thức trên là hiển nhiên đúng nếu một trong ba môđun có độ dài Bây giờ ta coi tất cả các đồ dài đều hữu hạn

Giả sử là chuỗi hợp thành của với còn là chuỗi hợp thành của , với Xét chuỗi:

Theo hệ quả về đồng cấu môđun, ta có đẳng cấu

Mà vế phải là đơn với mỗi i

Do đó chuỗi trên là chuỗi hợp thành của M có độ dài tức là

1.7.3 Mệnh đề

Giả sử MR là môđun có độ dài hữu hạn và là một tự đồng cấu của nó Khi đó:

1) Tồn tại số tự nhiên sao cho với mọi

2) là tự đẳng cấu toàn cấu đơn cấu

1.7.4 Định lý

Cho là một tự đồng cấu của môđun MR

1) Nếu M là Artin thì tồn tại số tự nhiên sao cho

Với mọi Hơn nữa, nếu là một tự đồng cấu thì là đẳng cấu

2) Nếu M là Noether thì tồn tại số tự nhiên sao cho

Với mọi Hơn nữa, nếu là một tự đồng cấu thì là đẳng cấu

Chứng minh

1) Nếu M là môđun Artin thì dãy sau dừng

Bởi vậy tồn tại sao cho với mọi ta có

Đặt , với ta có

Bởi vậy Từ đó

Suy ra tồn tại sao cho

Vậy và ta có điều cần chứng minh

Nếu là đơn cấu thì hiển nhiên cũng là đơn cấu

Bởi vậy do đó do

2) Nếu M là Noether thì dãy sau dừng

Do đó tồn tại sao cho với mọi

Với ta có

, với Nếu thì với

Khi đó do đó

Từ đó suy ra , nghĩa là

Bây giờ ta xét nếu là toàn cấu thì cũng là toàn cấu.

Bởi vậy và Ker

Từ đó vì

Từ đó ta có thể suy ra các điều cần chứng minh

Chương 2: Bài tập

1 Bài tập áp dụng

Bài 1: Chứng minh rằng một môđun con N của một R-môđun N là cực đại

nếu và chỉ nếu môđun thương là đơn

Giải

N là môđun cực đại của M nếu và chỉ nếu và không có môđun con P của M sao cho

Tức là môđun thương khác 0 và chỉ có hai môđun con là 0 và chính nó Theo định nghĩa môđun con thì điều này đồng nghĩa với là môđun đơn

Bài 2: Chứng minh rằng nếu M là một R-môđun Noether, thì tồn tại một

dãy các môđun con của M

Sao cho là một R-môđun đơn với mọi

Giải

Vì M là môđun Norther nên trong tập các môđun con thực sự của M có phần tử cực đại là M1

Mà ở bài tập 1, thì ta có thể chứng minh được 1 là một môđun đơn

Lại vì M1 là môđun Noether nên trong tập các môđun con thực sự của M1

có phần tử cực đại M2

Mà ở bài tập 1, ta có thể chứng minh được là đơn

Cứ tiếp tục như vậy, ta xây dựng được dãy các môđun con M như đã nêu

Bài 3: Cho một dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu hạn

Chứng tỏ rằng

Giải

Nếu thì dãy khớp

Ta suy ra , do đó

Nếu thì dãy khớp

Cho ta vì vậy

Trường hợp ta đã chứng minh ở mệnh đề 1.7.2

Bây giờ giả sử và điều cần chứng minh đã đúng với Nhận xét rằng dãy khớp

có thể cắt thành hai dãy khớp sau

Và

Bởi trường hợp và giả thuyết quy nạp ta có:

Từ đó ta có thể kết luận

Bài 4: Cho M là một R-môđun có độ dài hữu hạn và I là một iđêan của R

sao cho Chứng minh rằng M cũng là một có độ dài hữu hạn và

Giải

Ta đã biết nếu ideal thì cấu trúc R-môđun và

của M là như nhau

Tức là N là -môđun của M nếu và chỉ nếu nó là

Từ đó suy ra mỗi dãy hợp thành của M cũng là một dãy hợp thành của M Vậy

2 Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho M là một mô đun có độ dài hữu hạn trên một vành Noether R.

Chứng minh rằng

Bài 2: Cho R là vành Noether, P là iđêan tối đại của R, Q là iđêan bất kỳ của R.

Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) Q là P - nguyên thủy

(ii)

(iii) với nào đó

C.KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu, bài tiểu luận của em đã thu được một số kết quả sau:

1 Hệ thống hóa các khái niệm, định nghĩa và một số kiến thức liên quan đến môđun có độ dài hữu hạn

2 Tìm ra những ví dụ và chứng minh được một số tính chất, định lý của môđun có độ dài hữu hạn

3 Dùng các kiến thức lý thuyết đã nghiên cứu để giải một số bài toán có liên quan

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Việt Hải, Đại số giao hoán, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

[2] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Môđun và nhóm Aben, NXB Đại học Sư phạm, 2008

[3] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết Môđun và vành, NXB Giáo dục, 2001

[4] Dương Quốc Việt, Bài tập Lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm

MỤC LỤC

A Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc đề tài 2

B Nội dung 3

Chương 1: Cơ sở lý thuyết 3

1.1 Môđun và môđun con 3

1.1.1 Định nghĩa môđun 3

1.1.2 Định nghĩa môđun con 3

1.2 Độ dài chuỗi và thương của chuỗi 4

1.3 Một số định nghĩa 4

1.4 Định lý Schreie 5

1.5 Định lý Jordan – Holder 8

1.6 Định nghĩa độ dài môđun 9

1.7 Một số tính chất của độ dài môđun 9

Chương 2: Bài tập áp dụng 13

C KẾT LUẬN 17

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 18