Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -2.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. Xác định tâm và bán kính mặt c
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Môn Toán Khối 12
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I ( 3,5 điểm)
Cho hàm số 2 1
1
x y
x
+
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
bằng -2
Câu II ( 2,5 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x ( ) = x4 − 8 x2 + 5
trên [-1;3]
2 Giải phương trình 32x+3 − 28.3x + = 1 0
Câu III ( 1 điểm)
Chứng minh rằng nếu 0
2
x π
< < thì 2sinx + 2t anx ≥ 2x+1
Câu IV ( 3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là 2a, góc hợp bởi cạnh
bên và mặt đáy là 600
1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
-HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 1:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
ĐỀ THI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM 2010
Môn Toán Khối 12
(Đáp án – thang điểm này gồm 4 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
I HƯỚNG DẪN CHUNG
1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng
thì cho đủ điểm từng phần theo quy định
2 Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm, ( lẻ 0,25 làm tròn
lên 0,5; lẻ 0,75 làm tròn lên 1,0 điểm)
II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu I 1 ( 2,5 ĐIỂM)
b Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên: 2
1 ' 0 x D ( 1)
y x
= > ∀ ∈ +
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ − ; 1) và ( 1; − +∞ )
0.5
+ Cực trị Hàm số đã cho không có trị
+ Tiệm cận
lim 2 1 2
1
x
x x
+ và
2 1 lim 2
1
x
x x
+
Suy ra y=2 là tiệm cận ngang
1
2 1 lim
1
x
x x
+
→− + = −∞
+ và 1
2 1 lim
1
x
x x
−
→− + = +∞
+
Suy ra x=-1 là tiệm cận đứng
0.5
( 3,5
điểm)
+ Bảng biến thiên
x -∞ -1 +∞
y' + +
+∞ 2
y
2 -∞
0.75
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3c Đồ thị
Giao Ox (-1/2; 0)
Giao Oy ( 0; 1)
0.25
f(x)=(2*x+1)/(x+1)
-5
5
x
y
0.25
2 ( 1 điểm)
+ Tung độ y0 của tiếp điểm là y(-2)=3 0.25 + Hệ số góc của tiếp tuyến là y'(-2)=1 0.25
+Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=x+5 0.5 Câu II
(2,5
điểm)
1 ( 1 điểm)
Ta có: f'(x)=4x3 – 16x = 4x(x2 – 4)
F'(x)=0 <=> 4x(x2 – 4)=0 <=> x=0 hoặc x=2 ( x=-2 loại)
0.5
Ta có: f(-1)=-2; f(0)=5; f(2)=-11; f(3)=14 0.25 Vậy
[-1;3]
14
ax f(x)
[-1;3]
11
f(x)
2 ( 1,5 điểm)
Đặt t = 3x, t>0 phương trình trở thành
27.t2 - 28t + 1 = 0 <=> t=1 hoặc t=1/27
0.75
t=1/27 => 3x = 1/27 <=> x=-3 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x=0 hoặc x=-3 0.25 Câu III 1 điểm
Trang 4Áp dụng BDT cô si ta có:
2 sinx+ 2 tanx≥ 2 2 sinx+ tanx
0.25
Ta chứng minh:
2 2 x+ x ≥ 2x+ ⇔ 2 x+ x ≥ 2 x ⇔ sinx+ tanx≥ 2x, với 0 (1)
2
x π
< <
0.25
Đặt: f x( ) sin = x+ tanx− 2x, với 0;
2
x∈ π
÷
Ta có: '( ) cos 12 2
cos
f x = x+ −
Vì 0
2
x π
≤ < nên cosx ≥cos2x Do đó:
2
2
1 '( ) cos 2 0
cos
f x ≥ x+ − ≥
0.25
Suy ra: f tăng trên 0;
2
π
÷
mà f(0) = 0 nên:
f(x) > f(0) => sinx + tanx > 2x; 0;
2
x π
∈ ÷
Vậy ta có (1) tức là đpcm
0.25
Câu IV
( 3 điểm)
Vẽ hình
0.5
1 (1.5 điểm)
Gọi H là giao điểm của AC và BD
Vì S.ABCD là hình chóp đều => SH ┴(ABCD)
HB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABCD)
·SBH = 60 0
0.5
▲SHB vuông tại H
SH = tan600.HB = a 6
0.5
Diện tích đáy là SABCD = 4a2 (đvdt) 0.25 Vậy thể tích khối chóp là
VS.ABCD = 4 3
6
3a
0.25
2 ( 1 điểm)
S
C B
D A
H I K
Trang 5Trong mp(SBH), đường trung trực của SB cắt SH tại I:
IS=IA=IB=IC=ID=R
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I bán kính R
0.25
Ta có▲SKI ~▲SHB vì hai tam giác vuông
· · Chung
KSI =HSB
Nên ta có
SK SI SI SB.SK
SH = SB⇒ = SH
0.25
Mặt khác SB= SH2 +BH2 = 6a2 + 2a2 = 2a 2 0.25
Vậy bán kính cần tìm là
2 2. 2 4 2 6
3
6 6
R a
a
0.25
