Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’.. Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.. Chứng minh ∆ABC là tam giác đều... trên hệ trục toạ độ Oty
Trang 1ĐỀ THI HSG KHỐI 11 NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (3 đ)
1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 2
2 8 2 + x x− + −x 2x m+ = 0
2 Giải hệ phương trình :
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
Câu 2: (3 đ)
Cho hình lăng trụ ABCD A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD· = 60 0 Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’
1 Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng
2 Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông
Câu 3: (2đ)
1 Giải bất phương trình :
1
2
x
x x
2 Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn :
(x 2x 3)y 7 y 3y
2
2
+
−
≤ +
Câu 4 : (2 đ)
1 Giải phương trình :
cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2
2 Gọi α, β, là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB
Giả sử: sinα.sinβ.sin = 383 Chứng minh ∆ABC là tam giác đều
(Hết)
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11 NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.
Câu 1 : (3 đ)
1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 8 2 + x x− 2 + −x2 2x m+ = 0 Đặt 8 2 + x x− 2 = ⇒ ≤ ≤t o t 3 Khi đó Pt 2 ( )
t
− − =
⇔ ≤ ≤
Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t2 – 2t – 8 và d: y = m trên hệ trục toạ độ Oty Dựa vào đồ thi ta có:
• m > - 5 ∨ m < - 9 thì không
có nghiệm t nên không có nghiệm x
• m = - 5 có 1 nghiệm x
• - 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1
nghiệm t nên có 2 nghiệm x
• - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên
có 4 nghiệm x
2 Giải hệ phương trình:
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
Cách 1 :
2
2
2 2
2
3
0
0
y
x
xy x
y
x y y
x y y
x y
x y y
x y
xy x y
1
x y
« ngiÖm do xy 0
Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0 ⇒ 2 22
2
+
+
=
x
y y
x
Giả sử 0 < x ≤ y ⇒
1 1
2
2
2
2
=
=
⇒
=
+
+
y
y
y
x
t
y
y ≥ -5
y = -5
- 8 ≤ y ≤ -5
y = -8
y = -9
y ≤ -9
O
-8 -9
Trang 3Câu 2 : (3 đ)
1 Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng
Ta có A’M //= NC ⇒ A’MCN là hình bình hành ⇒ A’C & MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mặt khác A’B’CD là hình bình hành ⇒ A’C & B’D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành
2 Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông
Ta có AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ BD Để tứ giác B’MDN là hình vuông ⇔
MN ⊥ B’D & MN = B’D = a 3
Khi đó MN ⊥ (BDD’B’) ⇒ AC’ ⊥ (BDD’B’) = (α) Vậy cứ mỗi ∆BDB’ được xác định trên mf (α) cố định thì ta có một độ dài BB’ = AA’
⇒ B'D−BD≤AA' ≤B'D+BD⇔a 3 −a≤AA' ≤a 3 +a
Câu 3: (2đ)
1 Giải bất phương trình : 1 ( 2 )
2
x
x x
+ − − + > D = R*
ln
2
1
ln + > 2 − + ⇔ + > 2 − +
Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x2 – 3x + 1 < 0 ⇔ 1/ 2 < x < 1 Thoả mãn
Nếu x + 1 < 0 ⇔ x < -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x2 – x + 3 < 0 ⇔ Bpt vô nghiệm
Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1)
2 Ta có : x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2, ∀x và y2 + 8 > 0, ∀y ⇒
( 2 3) ( 8 ) log ( 2 3) ( 8 ) log 2 8
2 2
2 2 2
8 2
2
2
+
= +
≥ + + +
= +
⇒ y2 + 8 ≤ 7 – y2 – y ⇒ 2y2 – 3y + 1 ≤ 0 ⇒ 1/2 ≤ y ≤ 1 Vì y ∈ Z ⇒ y = 1
Với y = 1 ⇒ BPt ⇔ log ( 2 2 3)9 9 2 2 3 2 1
2 x + x+ ≤ ⇔ x + x+ ≤ ⇔ x= −
Kiểm tra lại đúng ⇒ Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1
Câu 4 : (2 đ)
D’
C’
C D
M
N I
Trang 41 Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
Nếu x = k2π⇒ pt ⇔ 5 = - 1/2 Vậy x = k2π không là nghiệm của pt
Nếu x ≠ k2π nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt ⇔
11
2 0
2
11 sin 2
sin 2
9 sin
2
11
sin
2
7 sin 2
9 sin 2
5 sin 2
7 sin 2
3 sin 2
5 sin 2
sin
2
3
sin
π
k x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
=
⇔
=
⇔
−
=
−
+
+
− +
− +
− +
−
Vì x ≠ k2π⇒ nghiệm của pt là: x = ;
11
k
Với k M / 11
2 Ta có:
8
3 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC là tam giác đều