Đề tài Phân tích đa thức thành nhân tử

Trong chương trình Đai số ở THCS đa thức và ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét trong nh÷ng néi dung c¬ b¶n, nã là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác [r]

Phần thứ nhất

mở đầu

Như chúng ta đã biết môn toán là nền tảng của các môn khoa học tự nhiên nó chiếm một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học Ước

ao học giỏi toán là niềm mơ ước của bao thế hệ học sinh và các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo cho con em và học sinh mình

Toán học là môn khoa học có từ lâu đời nó nghiên cứu rất nhiều thể loại

đa dạng và phong phú Trong chương trình Đai số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản, nó

là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: Quy đồng mẫu các phân thức,rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, tìm cực trị Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn

đề trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề toán học khác có liên quan

Nhưng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn

đối với học sinh trong trường hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Nếu áp dụng những phương pháp thông thường đã được học trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích được Có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích được thành nhân

tử Vì vậy câu hỏi thường đặt ra trong trường hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích được thành nhân tử ? Nếu trả lời được câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải được bằng cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể Bên cạnh đó ngoài những phương pháp thông thường, còn

có thể sử dụng một số phương pháp khác để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trường hợp nhất định , những phương pháp này trong chương trình sách giáo khoa chưa có điều kiện đề cập đến nhưng nếu được giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể hiểu được một cách toàn diện hơn về lý thuyết và có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách nhanh chóng

Để cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức

về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức một cách chính xác có hệ thống, hiểu được gốc của mọi vấn đề Từ đó giáo viên

cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có được những vận dụng hợp lí, đưa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh và đưa ra những dạng bài tập thích hợp

II mục đích nghiên cứu:

Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trường vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Đại số ở các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

 Về lý thuyết:

Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản

- Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trường, vành đa thức

- Các khái niệm về đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy

- Một số định lý về nghiệm của đa thức

- Một số định lý về phân tích đa thức thành nhân tử của các đa thức bất khả quy

 Về thực tiễn giảng dạy:

- Nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa để nắm được mức

độ, giới hạn nội dung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh

- Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phân đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình Đại số cấp THCS

- Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành nhân tử

IV Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phương pháp thử nghiệm sư phạm

- Phương pháp điều tra thực tiễn

V Giới hạn, phạm vi nghiên cứu:

- Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích

đa thức (một ẩn) thành nhân tử của chương trình đại số lớp 8

Phần hai

I Các nội dung lý thuyết cơ sở:

1 Nhắc lại các cấu trúc Đại số:

 Định nghĩa phép toán hai ngôi:

Giả sử A là một tập không rỗng

Một ánh xạ: f : AA  A được gọi là một phép toán hai ngôi trên A

Với mỗi cặp (x,y)  AA, ảnh f (x,y) được gọi là hợp thành của cặp

(x,y) và còn được viết gọn là f(x,y)

Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu “+” thì được ký hiệu bởi x+y và phép toán

đã cho được gọi là phép cộng, x+y được gọi là tổng của x và y

Nếu ký hiệu ánh xạ f bởi dấu "." thì f(x,y) được ký hiệu bởi x.y và phép

toán được gọi là phép nhân, x.y được gọi là tích của x và y

 Định nghĩa nửa nhóm, nửa nhóm giao hoán, vị nhóm:

Phép toán hai ngôi f trên tập hợp A có tính chất kết hợp nếu

f [f(x,y),z] = f [x,f(y,z)]

với mọi x,yA

Nếu phép toán là phép cộng thì tính chất kết hợp có nghĩa là:

(x+y)+z = x+(y+z) với x,y,zA

Nếu phép toán là phép nhân thì tính chất kết hợp có nghĩa là:

(x.y).z = x.(y.z) với x,y,zA

+ Phép toán hai ngôi f được gọi là giao hoán nếu f(x,y) = f(y,x) với

x,yA

+ Một tập hợp A cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp được gọi là

một nửa nhóm

+ Một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán có tính

chất giao hoán

+ Một nửa nhóm nhân được gọi là một vị nhóm nếu nó có một phần tử

eA sao cho xe = ex = x với xA., e được gọi là phần tử đơn vị

Nửa nhóm cộng A được gọi là một vị nhóm nếu mỗi phần tử aA đều

tồn tại một phần tử a’A sao cho a+a’ = 0 = a’+a

a’ được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu là -a

Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhóm giao hoán hay nhóm Aben

- Một tập con B của nhóm A được gọi là một nhóm con của nhóm A nếu B cũng là một nhóm đối với phép toán trong A

 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con:

- Tập hợp A được gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân sao cho:

i A với phép cộng là một nhóm giao hoán

ii A với phép nhân là một vị nhóm

iii Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với ba phần tử tuỳ

ý là x,y,zA Ta có:

x(y+z) = xy+xz (y+z)x = yx+zx

- Vành A được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán

- Một tập con B của vành A được gọi là một vành con của nhóm A nếu

b cũng là một vành con đối với phép toán trong A

 Định nghĩa trường, trường con:

- Một trường là một vành giao hoán có đơn vị khác không và mọi phần

tử khác 0 đều có nghịch đảo

- Tập con B có ít nhất hai phần tử của trường A được gọi là một trường con của trường A nếu B cũng là một trường đối với các phép toán trong A

2 Nhắc lại về đa thức:

 Vành đa thức một ẩn:

Giả sử A là một vành con của vành E giao hoán có đơn vị, uE Phần tử

a0+a1u+a2u2+ +anun+ trong đó aiA với mọi i = 0,1, ,n, và chỉ có một số hữu hạn ai0 (1)

được gọi là một vành đa thức của phần tử u trên vành A

Tập hợp các đa thức của u trên A được ký hiệu bởi A[u]

Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các ai không đồng thời bằng 0 mà:

a0+a1u+a2u2+ +anun = 0

Kéo theo mọi ai = 0

* Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có dư), hệ quả:

-Giả sử K[x] là vành đa thức trên trường K

- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai

đa thức q(x) và r(x)sao cho:

f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x)

q(x) được gọi là thương, r(x) được gọi là dư

Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x):g(x)

Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có dư

-Hệ quả: Giả sử K là một trường f(x)  K[x]và aK, khi đó f(a) là dư trong phép chia f(x) cho x-a

*Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:

Giả sử A là một vành Phần tử A được gọi là nghiệm của đa thức f(x)A[x] nếu f() = 0

 Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:

Giả sử K là một trường Phần tử K là nghiệm của đa thức f(xa0+a1u+a2u2+ +anun)=0[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết chi nhị thức x-a

3 Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử

 Định nghĩa đa thức bất khả quy:

Đa thức f(x)  0 và khác ước của 1 được gọi là đa thức bất khả quy nếu

từ đẳng thức f(x) = g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ước của đơn vị

 Tiêu chuẩn Aidenxtainơ:

Giả sử f(x) = a0+a1x+a2x2+ +anxn = 0 với các aiZ

Nếu có một số nguyên P thoả mãn các điều kiện sau:

i P không phải là ước của an

ii P là ước của ai, với i = 0,1, ,n-1

iii P2 không phải là ước của a0

thì là đa thức bất khả quy trong Q[x]

 Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy:

- Mệnh đề 1: Giả sử K là một trường Nếu P(x) là một đa thức bất khả quy thuộc K[x] còn f(x) là một đa thức tuỳ ý thuộc K[x] thì f(x) chia hết cho P(x) hoặc nguyên tố với P(x)

- Mệnh đề 2: Giả sử K là một trường Trong vành K[x] nếu đa thức bất khả quy Q(x) là ước của tích f(x).g(x), thì P(x) là ước của f(x) hoặc g(x)

- Mệnh đề 3: Giả sử K là một trường Trong vành K[x] nếu tích f(x).g(x) chia hết cho h(x) và [g(x), h(x)] = 1 thì f(x) chia hết cho h(x)

- Mệnh đề 4: Giả sử K là một trường Trong vành K[x] nếu f(x) chia hết cho hai đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng

 Định lý về sự phân tích một đa thức (có bậc n1) thành tích các

đa thức bất khả quy.

Giả sử K là một trường Mỗi đa thức f(x))K[x] có bậc n1 đều phân tích được thành những đa thức bất khả quy

II Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào

thực tiễn giảng dạy.

1 Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chương trình sách giáo khoa:

- Trong chương trình Đại số 7 chương IV học sinh đã được học khái niệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định nghĩa nghiệm cuả một đa thức, bước đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức, một số đa thức đơn giản (bậc nhất và bậc hai)

- Trong chương I của sách giáo khoa Đại số 8 học sinh đã được học về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức (phép chia hết và phép chia có dư) Nhưng học sinh mới chỉ biết cách phân tích đa thức thành nhân tử ở các đa thức tương đối đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thường, chưa có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức với việc phân tích các đa thức thành nhân tử, về giá trị của đa thức, dư trong phép chia của đa thức với việc tìm nghiệm của đa thức nên học sinh chưa có

được sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức

2 Những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử:

 Các khái niệm cơ bản:

- Một đa thức của các biến x,y, ,z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x,y, ,x là các biến

- Nếu tại x=a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x)

- Phân tích một đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành tích của những đơn thức và đa thức

 Các phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử

 Với một cặp đa thức A(x) và B(x) trong đó B(x)  0:

tồn tại cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho:

A(x) =B(x).Q(x)+R(x) trong đó R(x) =0 hoặc bậc của R(x) thấp hơn bậc của B(x)

- Nếu R(x) =0 ta được phép chia hết

- Nếu R(x)  0 ta được phép chia có dư, khi đó Q(x) là thương và R(x)

là dư của phép chia A(x) cho B(x)

+ Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3

Đặt phép chia đa thức:

10x2-7x+a 2x-3

8x+a -8x-12

a+12

Để A(x) chia hết cho 2x-3 ta phải có:

a+12=0

a=-12

Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3

+Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a  Q)

Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1)

+Đặt phép chia đa thức:

a2x3+3ax2-6x-2a x+1

-a2x3+a2x2 ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6)

(3a-a2)x2-6x-2a

-(3a-a2)x2+(3a- a2)x

-a2+a+6

Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có:

-a2+a+6=0

(a+2)(3-a)=0

Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1

*Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:

Giả sử K là một trường Phần tử K[x] khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-a

Ví dụ: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x3-2x-3 chia hết cho x-1

Thực hiện phép chia ta được:

5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3)

Ví dụ 2:Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử

Dễ thấy x=1 là một nghiệm

Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1

Thức hiện phép chia ta được:

f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2)

Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm là x=-1

Thực hiện phép chia ta được:

3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2)

Dễ thấy rằng 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x=2

Vì thế 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1)

Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1)

*Khái niệm đa thức bất khả quy:

Đa thức f(x) 0 và khác ước của 1 được gọi là đa thức bất khả quy nếu từ

đẳng thức f(x)=g(x).h(x) suy ra g(x) hoặc h(x) là ước của đơn vị

Ví dụ: Z là vành số nguyên

- Số nguyên m  z[x] là bất khả quy khi và chỉ khi m là số nguyên tố

- Đa thức ax+b  Z[x], a  0 là bất khả quy khi và chỉ khi (a,b)=1

- Cụ thể 3x+5 là bất khả quy

 Tiêu chuẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy:

Giả sử f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn với các ai Z

Nếu có một số nguyên tố P thoả mãn các điều kiện sau:

- P không phải là ước của an

- P là ước của ai, với i=0,1, ,n-1

- P2 không phải là ước của a0

- Thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q[x]

Ví dụ: f(x)=2x3-3x2+9x-3 là đa thức bất khả quy trong Q[x] vì số nguyên

tố P=3 thoả mãn tiêu chuẩn Aidenxtainơ

Ví dụ: Hãy lập một đa thức bất khả quy trong Q[x] có bậc 7?

Chọn P=2, f(x)=x7-4x6 +8x3-6x+6 là đa thức bất khả quy trong Q[x]

3.Một số bài tập vận dụng và cách giải:

 Các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương

pháp tách 1 số hạng thành nhiều số hạng khác.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4

Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi

đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn:

Cách 1: (tách số hạng thứ 2)

3x2-8x+4 =3x2-6x-2x+4

=(3x2-6x)-(2x-4)

=3x(x-2)-2(x-2)

=(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất)

3x2-8x+4 =4x2-8x+4-x2

=(2x-2)2 -x2

=(2x-2+x)(2x-2-x)

=(3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2+x+c thành thừa số ta tách

số hạng bx=b1x+b2x sao cho b1/a=c/b2 tức là b1b2=ac

Trong thực hành ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tích ac

Bước 2: Phân tích a.c ra thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3)

ac=4.(-3)=-12

-12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1

Vì -6+2=-4 =b nên ta có thể làm như sau:

Cách 1: 4x2-4x-3 =4x2-6x+2x-3

=(4x2-6x)+(2x-3)

=2x(2x-3)+(2x-3)

=(2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3:

4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4

=(4x2-4x+1)-4

=(2x-1)2-22

=(2x-1-2)(2x-1+2)

=(2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng khác thường nhằm mục đích:

+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1)

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ

lệ người ta thường dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức

Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a được gọi là nghiệm của

đa thức f(x) nếu f(a)=0

Như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a

Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an

với a0,a1, ,an-1,an  Z

Có nghiệm x=a (a  Z)

=> a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) trong đó b0,b1, ,b

n-1,bn  Z

Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1

Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an

 -abn-1=an tức là a là ước của an

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2-4

Lần lượt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0

đa thức có nghiệm x=2 do đó chứa thừa số (x-2)

Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4

=(x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4)

=x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4

=(x3-8)-(x2-4)

=(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2)