đề tài phân tích đa thức thành nhân tử

TÊN ĐỀ TÀI: ”PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS”. GVHD : Th.s Nguyễn Ngọc Đức Sinh viên : Ngô Thúy Hằng Lớp : Sư phạm Toán 34 Khoa : GD THCS Bắc Ninh, 2015 Lời Cám Ơn Trong thời gian thực hiện, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có được một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài này. Kết quả thu hoạch được không chỉ là do nỗ lực cá nhân em mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc với các thầy giáo, cô giáo trong khoa GD THCS Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh luôn tạo điều kiện để em thực hiện đề tài này. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành đến tới Th.s Nguyễn Ngọc Đức – Giảng viên Khoa GD THCS của Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa được nhiều, kinh nghiệm cũng như trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế, em kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin trân thành cảm ơn Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015 Sinh viên thực hiện Ngô Thúy Hằng PHỤ LỤC A. Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài……………………………….……………………………. 5 2. Mục đích nghiên cứu…………………………….…………………………....5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………….………………………...6 4. Phương pháp nghiên cứu…………………….………………………………..6 5. Cấu trúc tiểu luận………………………………….…………………………..6 B. Nội Dung CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lí luận………………………………………………………………...7 1.2. Cơ sở thực tiễn……………………………………………………………...7 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử……………………………….8 2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử……………………..9 C. Kết Luận…………………………………………………….….....…..……25 Tài liệu tham khảo…………

Trang 1

KHOA GD THCS

……….………

BÀI TIỂU LUẬN

Môn: Đại số đại cương

TÊN ĐỀ TÀI: ”PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS”.

GVHD : Th.s Nguyễn Ngọc ĐứcSinh viên : Ngô Thúy Hằng

Lớp : Sư phạm Toán 34Khoa : GD THCS

Bắc Ninh, 2015

Trang 2

Lời Cám Ơn

Trong thời gian thực hiện, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có được một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài này Kết quả thu hoạch được không chỉ là do nỗ lực cá nhân em mà còn có sự giúp

đỡ của quý thầy cô và các bạn

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc với các thầy giáo,

cô giáo trong khoa GD THCS- Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh luôn tạo điều kiện để em thực hiện đề tài này

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành đến tới Th.s Nguyễn Ngọc Đức – Giảng viên Khoa GD THCS của Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài

Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa được nhiều, kinh nghiệm cũng như trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót Vì thế,

em kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin trân thành cảm ơn!

Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Ngô Thúy Hằng

Trang 3

PHỤ LỤC

A Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài……….……… 5

2 Mục đích nghiên cứu……….……… 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu……….……… 6

4 Phương pháp nghiên cứu……….……… 6

5 Cấu trúc tiểu luận……….……… 6

B Nội Dung CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận……… 7

1.2 Cơ sở thực tiễn……… 7

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử……….8

2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử……… 9

C Kết Luận……….… … ……25

Tài liệu tham khảo……… ………….26

Trang 4

Nhận xét của giáo viên:

………

Trang 5

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông

Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để

từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề, trong đó chuyên đề

“Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên cácbiểu thức đại số Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì khôngthể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc dạy học cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

1.2 Cơ sở thực tiễn

Tình trạng học sinh không biết phân tích đa thức thành nhân tử, và những

đa thức phức tạp các em cũng chưa biết cách phân tích Đây là lý do tôi chọn đề tài này để áp dụng vào việc dạy học của tôi sau này Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử trong THCS”

2 Mục đích

Đưa ra những ưu và khuyết điểm trong khi giải toán của học sinh, để học sinh nắm được chìa khóa của từng phương pháp, những biến đổi, phân tích, chứng mình hay tính toán đơn giản trong các bài giải được dành cho các học

Trang 6

sinh tự luyện tập Giúp cho học sinh phát triển được năng lực độc lập suy nghĩ

và tìm tòi, nhờ đó mà xây dựng được khả năng tự học và nghiên cứu

3 Nhiệm vụ của đề tài

Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử

Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài

Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy sau này

Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp khảo sát thực tiễn

Phương pháp quan sátPhương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóaPhương pháp tổng kết rút kinh nghiệm

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, tiểu luận được trìnhbày trong 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Trang 7

Như vậy, nhiệm vụ của giáo viên phải truyền đạt như thế nào để học sinh nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, và qua đó học sinh rèn luyện khả năng tư duy, khả năng tìm tòi khám phá các kiến thức đồng thời được củng cố các kiến thức đã học như: phép nhân đơn thức, đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ,… để học sinh thấy được mối quan hệ giữa kiến thức

cũ và kiến thức mới

1.2 Cơ sở thực tiễn

Phân tích đa thức thành nhân tử là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 8, cũng là một trong những kiến thức khá khó đối với học sinh trung bình yếu kém Trong khi tôi chưa có nhiều kinh nghiệm về chuyên đề này, nên tôi nghiên cứu để giúp học sinh trung bình yếu kém học tốt hơn và nâng cao kiến thức cho bản thân

Trang 8

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

2.1.3.2 Định lý 2

Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậcnhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0

đều phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0

2.1.3.3 Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ sốnguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của an nhng p

là ớc của các hệ số còn lại và p2 không phải là ớc của các số hạng tự do a0 Thếthì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q

2.2 Một số phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử

Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thànhtích các đa thức trên trờng số thực R Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thựchành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩnăng “sơ cấp” Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng

để phân tích một đa thức thành nhân tử

Trang 9

2.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung

Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đốivới phép cộng (theo chiều ngợc)

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử:

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: phân tích cỏc đa thức sau thành nhân tử:

a, Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Trang 10

Gi¶i: Ta cã: B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

Bµi 7: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Gi¶i: Ta cã: A = 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

B = x6 + x4 + x2 + 1

Gi¶: Ta cã: B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Gi¶i: Ta cã: A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

NhËn xÐt: dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)

nªn: P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)

=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)

Trang 11

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)

Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp cô thÓ:

Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Trang 12

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích

f(x) = (x – a).g(x) với g(x) là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a).Sau đó lại phân tích tiếp g(x)

Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

Trang 13

Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một

đa thức với ẩn số cồng kềnh, phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thứcnày sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng ph-

Trang 14

= y3 - y – 2y – 2

Trang 16

§Æt y = x -

x

1 th× x2 + 2

A =

2 3 ) 1

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:

Bµi 24: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

Trang 17

Đặt f(x) = x2 – 6x + 5

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng là (x – 5)

Vậy A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) bằng phơng pháp tách số hạng

ta làm nh sau:

Bớc 1: lấy tích a.c = t

Bớc 2: phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = pi.qi

Bước 3: tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho: pa + qa = bBớc 4: viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bớc 5: từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc

Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Trang 18

e, A = x3 – x2 – x - 2

f, B = x3 + x2 – x + 2

g, C = x3 – 6x2 – x + 30

2.2.7 Phơng pháp hệ số bất định

Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính

đợc các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phơng trình sơ cấp.Sau đây là một số ví dụ:

M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng :

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3= x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện:

a c

c a

8 6

c a

ac

c a

= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg

= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg

11 3

cg

ce bg

be

cd ag

bd ae

Trang 19

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:

b d

b c

a d

d b

a c

c a

d c b

Sau đây là một số ví dụ:

P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0

Nh vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( tanói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x  y  z  x Do đó nếu P chứa thừa số

x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng:

Nh vậy P chứa thừa số x – y

Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x  y  z  x Do đó nếu Pchứa thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng:

k(x – y)(y – z)(z – x)

Trang 20

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho

Trang 21

 - 6 = - 2k

 k = 3Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)

M = a(b +c - a)2 + b(c +a - b)2 + c(a +b - c)2 + (a + b - c)(b +c - a)(c +a - b)

Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi.

Hay: a(b +c - a)2 + b(c +a - b)2 + c(a + b - c)2+ (a +b - c)(b +c - a)(c + a - b) = 4abc

C KẾT LUẬN

Qua chuyờn đề nghiờn cứu về : “ phõn tớch đa thức thành nhõn

tử trong chương trỡnh toỏn THCS” tụi đó cú những hiểu biết sõu sắc hơn về cỏc dạng của phõn tớch đa thức đa thức thành nhõn tử Bản thõn tụi đang là sinh viờn trường Cao Đẳng Sư phạm Bắc Ninh đang rất cố gắng rốn luyện tri thức , nắm vững phương phỏp dạy và học để sau này sẽ trở thành một người giỏo viờn dạy tốt nắm vững cả kĩ năng và tri thức Hi vọng qua kiến thức nghiờn cứu của tụi sẽgiỳp cho được một số bạn học sinh, sinh viờn tiếp cận dạng toỏn chia hết một cỏch dề dàng, chủ động, cú thể phõn loại một số dạng bài tập từ cơ bản đến phức

Trang 22

tạp Từ đó, rèn luyện thêm trí thông minh và sáng tạo, tự tìm tòi cách giải và cách học dạng toán này nói riêng và các dạng toán khác nói chung Qua chuyên

để này tôi tự nhận thấy rằng mình còn phải học tập và bổ sung nhiều hơn nữa vốn tri thức của bản thân giữa bao la kiến thức của Toán học Đồng thời tự hứa với bản thân cố gắng học tập và rèn luyện thật tốt

Bài tiểu luận của tôi chắc chắn còn có nhiều thiếu sót song nó

đã góp một phần nào đó vào việc hoàn thiện về kĩ năng giải bài toán chia hết chongười học do vậy tôi rất mong được sự góp ý của các thầy cô mong thầy cô và các bạn giúp đỡ

Cám ơn vì đã theo dõi!

Bắc Ninh, ngày 22 tháng 11 năm 2015

Người viết

Ngô Thúy Hằng

Tài liệu tham khảo

1 Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

2 Nguồn Internet

3 Sách giáo khoa Toán 8

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	259 KB