PHẦN I. LỜI NÓI ĐẦU Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS. Nội dung này được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Vì nó được vận dụng rất nhiều ở các chương sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, bất phương trình. Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức chưa được đề cập tới . Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm được lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán. Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong trường hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp. Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các trường THCS sau này.
Trang 1Phần I lời nói đầu
Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS
Nội dung này đợc giới thiệu trong chơng trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chơng trình Vì nó đợc vận dụng rất nhiều ở các chơng sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phơng trình, bất
ph-ơng trình Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức cha đợc đề cập tới
Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết đ ợc nhiều vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán Nhng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong tr ờng hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp
Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu h ớng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các trờng THCS sau này
Phần II NộI DUNG
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đơn thức và đa thức có bậc nhỏ hơn
Ví dụ:
a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1)
b) x5 + x4 + 1 = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)
Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phơng pháp khác nhau, nhng chúng
ta thờng sử dụng một số phơng pháp thông dụng nh sau:
- Đặt nhân tử chung
- Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm các hạng tử
- Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
- Thêm bớt cùng một hạng tử
Trừ một số trờng hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bài toán nhất là những bài toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp các phơng pháp trên một cách linh hoạt để giải
a) Phơng pháp :
+ Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức.
+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác + Đa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc Các hạng tử trong dấu ngoặc là thơng của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung
Trang 2b) Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) A = 5x2y – 10xy2
Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có
A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y
= 5xy(x - 2y)
2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)
Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung :
B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)
= 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z)
= (3y – 7z)( 2x – 6y)
= (3y – 7z).2(x – 3y)
= 2(3y – 7z)(x – 3y)
Khai thác bài toán:
Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung , ta
có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
Q = (x + 2z)(3x2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x)
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
P = 3a(b2 – 2c) – (a – 4)(2c – b2)
a) Phơng pháp:
Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng
thức (nếu có thể) Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
b) Ví dụ :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1) D = x2 – x + 1
4 =
2) E = 9(x + 5)2 – (x + 7)2
= [3(x + 5)]2 – (x + 7)2
= [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)]
= (4x + 22)(2x + 8)
= 4(2x + 11)(x + 4)
Khai thác bài toán:
Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bài toán tơng tự
nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M = 1 2 2
81
25 x y
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N = 6 6 4 2 2 4
a)Phơng pháp:
Trang 3Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các
ph-ơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích
L u ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau
b)Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x2 – xy + x – y
* Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ t ta
có :
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
=(x – y)(x + 1)
* Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ t, ta có :
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)
= x(x + 1) – y(x + 1)
= (x + 1)(x – y)
Khai thác bài toán:
Nếu chú ý đến phơng pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán t ơng tự nh sau:
Bài toán : Phân tích đa thức E = 3x3 – 75x + 6x2 – 150
a) Phơng pháp:
Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử
để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
để phân tích tiếp
b) Ví dụ: Phân tích: x2 – 6x + 8
Nhận xét:
Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cách phù hợp:
Cách 1: Tách số hạng thứ hai
x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8
= x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4)
Cách 2: Tách số hạng thứ 3
x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1
= (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 – 1)(x – 3 + 1)
= (x – 4)( x – 2)
T ổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau:
+ Tìm tích ac
+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
Ví dụ 2: 4x2 – 4x – 3
Ta có tích: ac = 4.( –3) = – 12
Phân tích : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4)
Trang 4Chọn 2 thừa số có tổng là : – 4 đó là 2 và (–6)
4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3
= 2x(2x + 1) – 3(2x + 1)
= (2x + 1)(2x – 3)
Khai thác bài toán:
Bằng phơng pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp),
ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán : Phân tích đa thức H = x2 – 21x + 38
a) Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thờng hay đa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt
b) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) 2) x5 – 1
Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phơng pháp nhóm:
x5 – 1 = x5 – x + x – 1
= (x5 – x) + (x – 1)
= x(x4 – 1) + ( x – 1)
= x(x2 – 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x+1)(x – 1)(x2 + 1) + ( x – 1) = (x – 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1]
Khai thác bài toán:
Bằng phơng pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
M = x4 + 4y4
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
N = x4 + x2 + 1
6 Phối hợp các ph ơng pháp.
a) Phơng pháp:
Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp, ta nên chú ý chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau :
b) Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
2) 2a2 – 12ab + 18b2
3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2
Giải:
1) Ta thấy các hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và tiếp tục phân tích đa thức ở trong ngoặc:
Trang 52x2 + 4x + 2 – 2y2
= 2(x2 + 2x + 1 – y2) Đặt nhân tử chung
= 2 [(x2 + 2x + 1) – y2] Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức trong ngoặc = 2[(x + 1)2 – y2] Xuất hiện hằng đẳng thức
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức
Nh vậy thứ tự u tiên là: Đặt nhân tử chung dùng hằng đẳng thức nhóm hạng tử
Vậy 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
2) 2a2 – 12ab + 18b2
Cách giải tơng tự câu a) :
2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2)
= 2(a – 3b)2
3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2
= 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + 1 + 2yz)
= 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)]
= 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2]
= 5xz(x – 1 – y + z)(x – 1 + y – z)
Khai thác bài toán:
Bằng phơng pháp phối hợp các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
3n 12n 27 3m
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
Phần III KếT LUậN
Phân tích đa thức thành nhân tử chỉ là một trong những nội dung kiến thức mà học sinh đợc học với thời lợng không nhiều trong chơng trình đại số 8 nhng nó lại đợc ứng dụng rộng rãi và xuyên suốt chơng trình học tập của các em, học sinh thờng xuyên phải sử dụng đến kỹ năng này trong việc xây dựng một số các nội dung kiến thức sau này trong việc giải toán Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích đa thức thành nhân tử Qua
đó , giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác , năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức
Trong đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến những đa thức một ẩn là chủ yếu Các bài tập
đa ra trong đề tài mới dừng ở mức ví dụ minh hoạ, ch a phải là hệ thống bài tập vận dụng
đầy đủ các kiến thức đa ra.Ngoài ra có một số bài tập tổng hợp và bài tập nâng cao nhằm vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải