Chuyen de 1 Phan tích da thuc thanh nhan tu

3.Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thànhtích các đa thức trên trường số thực R.. Dưới đây qua c

2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước củacác hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thứcf(x) là bất khả quy trên Q

3.Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thànhtích các đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hànhthì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “sơcấp” Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phântích một đa thức thành nhân tử

3.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối vớiphép cộng (theo chiều ngược)

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a 2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6

= x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3)

Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 +3abc

Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3.4 Phương pháp thực hiện phép chia:

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x)

là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phân tích tiếp g(x).Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

dàng phân tích được thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai

và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử

Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1 ( 

3.6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)

Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tửtrong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.Sau đây là một số ví dụ :

Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5) Vậy

A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng talàm như sau :

Bước 1 : lấy tích a.c = t

Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi

Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = bBước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc

Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Cách 3 : A = x4 + x2 + 1

= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

bc ad

d b ac

c a

8 6

c a

ac

c a

= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg

= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg

11 22 3

cg

ce bg

be

cd ag

bd ae

g e d c b a

Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )

Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x4 – 8x + 63

Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :

B = x4 – 8x + 63

= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:

bd

bc ad

d b ac

c a

d c b a

Vậy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)

3.8 Phương pháp xét giá trị riêng

Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì cóthể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh Trong phương pháp này ta xácđịnh dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể đểxác định thừa số còn lại

Sau đây là một số ví dụ :

Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)

Giải: Thử thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0

Như vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói

đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x y z x Do đó nếu P chứa thừa số x – ythì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn cáctích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng vớimọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z =

0 (*), ta được:

4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

2 = -2k

k = -1Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x y z x Do đó nếu P chứathừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng :

k(x – y)(y – z)(z – x)Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho

(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :

Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho

(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :

Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)

Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì M không thay đổi.

Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc

3.9 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:

Mục đích: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đathức nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt làxuất hiện hiệu của hai bình phương

1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai

bình phương: A 2 – B 2 = (A – B)(A + B)

CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC

1 Bài toán rút gọn biểu thức.

x x

x x

x

)a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A với x = 998

c) Tìm giá trị của x để A > 1

b) Đường lối giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân

thức đại số, phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tửchung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân

tử nằm ở dưới mẫu

Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặtchẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh

2 Bài toán giải phương trình:

a) Đường lối giải: Với các phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phântích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0hoặc B = 0

b) Ví dụ:

+) Giải phương trình: ( 4x + 3)2 – 25 = 0Giải : áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưaphương trình về dạng

+) Giải phương trình: 3x2 + 5x - 2 = 0 Giải: áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân

tử đưa phương trình về dạng

3 Bài toán giải bất phương trình

a) Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương

trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức

tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình vềdạng bất phương trình tích

( A.B < 0) hoặc A.B > 0) hay bất phương trình thường

b) Ví dụ: Giải bất phương trình

1 3

2

2  

 x x

x

0 3 )(

2 (

4 Bài toán chứng minh về chia hết

a) Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó

xuất hiện thừa số có dạng chia hết

3

2 n n n

nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và chia hết cho 3

mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6

6 2 3

3

2 n n n

