Đề tài phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình toán THCS

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

Trang 1

PHẦN CHUNG

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Cơ sở pháp chế

Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng

1.2 Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó

Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó

chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò

quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại

số Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

1.3 Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này

2 Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài

- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy

- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu

3 Giới hạn của đề tài

Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trường: Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tượng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9

4 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh giỏi lớp 9 của Trường THCS Dân tộc nội trú và Trường THCS Nguyễn Thái Học

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

b) Phương pháp khảo sát thực tiễn

c) Phương pháp quan sát

Trang 2

d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.

e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Thời gian nghiên cứu

Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007

7 Tài liệu tham khảo

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:

- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9

- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH)

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Nội dung thực hiện

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng

đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(

c

a n

xn +

c

a n 1

xn – 1 + … +

c

a0

) ( với c0, c1 )

b) Định nghĩa 2

Giả sử P(x)P x là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói P(x) là bất khả quy trên trường

P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x) Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P

1.1.2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy, và

sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”

b) Định lý 2

Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với  < 0”

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của an nhưng p là ước của các hệ số còn lại

và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q

1.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các

đa thức trên trường số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp” Dưới đây qua các

ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử

1.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược)

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

Trang 3

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

= (5y + 2b)(x – 4a)a

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2

Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z

Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

= (y – 2z)(16x2 – 10y)

B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6

= x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3)

A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z2 + 1)

1.2.2 Phương pháp nhóm các hạng tử

Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng Sau đây là một số ví dụ :

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

Trang 4

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)

= (2x3 + 3)(2x2 + 3)

B = x6 + x4 + x2 + 1

Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)

= (x2 + 1)(x4 + 1)

B = x2 + 2x + 1 – y2

Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + 1 + y )

A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y)

= (x + y)(x + y – z)

P = 2xy + z + 2x + yz

Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz

= (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z

Ta có : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z))

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)

nên : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)

=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)

= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

= (y – z) (x – y)(x – z)

Trang 5

A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)

= ( a + b + c)(ab + bc + ca)

A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))

= (a + 2b)(2b – c)(a – c)

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))

= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)

= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))

= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)

= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))

= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)

1.2.3 Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác

Các hằng đẳng thức thường dùng là :

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

A2 - B2 = (A + B) (A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

A = x4 + x2y2 + y4

Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

= (x2 + y2)2 - x2y2

Trang 6

= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)

B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4

Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4

= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)

= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)

= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )

= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)

A = (x + y)3 +(x - y)3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau

:

Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

A = 16x2 + 40x + 25

Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25

= (4x)2 + 2.4.5.x + 52

= (4x + 5)2

B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))

= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

Trang 7

A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)

Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)

= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)

= 3(b + c)(a + b)(a + c)

P = x8 – 28

Giải: Ta có : P = x8 – 28

= (x4 + 24) (x4 - 24)

= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )

= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)

= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)

= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)

= (x – 1)( x2 + 6x + 9)

= (x – 1)(x + 3)2

1.2.4 Phương pháp thực hiện phép chia:

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phân tích tiếp g(x)

Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Giải:

Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0

Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:

f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)

Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0

Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:

g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2 Ta có: h(-2) = 0

Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)

Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)

= (x + 2)3(x2 + 1)

Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn

Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)

Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau :

Trang 8

Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau :

Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)

Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)

P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : 1; 2; 3; 4;

6 ; 9; 12; 18; 36

Ta thấy : x = -2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0

Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36

= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)

= (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)

Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử

Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0

Nên chia Q cho (x + 2), ta được :

Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)

= (x + 2)(x – 3)2

Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2

1.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với

ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ

A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12

Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :

A = y2 + 4y – 12

= y2 – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2)

= (y – 2)(y + 6) (1)

Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :

A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)

A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đã cho trở thành :

A = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3)

= (y – 3)(y + 4) (*)

Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :

A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)

= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)

Trang 9

B = x12 – 3x6 + 1

Giải: B = x12 – 3x6 + 1

Đặt y = x6 (y  0)

Đa thức đã cho trở thành :

B = y2 – 3y + 1

= y2 – 2y + 1 – y

= (y – 1)2 – y

= (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*)

Thay : y = x6 vào (*) được :

B = (x6 – 1 - x6 )(y 1  x6 )

= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)

A = x3 - 3 2x2 + 3x + 2 - 2

Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2

A = (y + 2)3 - 3 2(y + 2)2 + 3(y + 2) + 2 - 2

= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2(y2 + 2 2y + 2) + 3(y + 2) + 2 - 2

= y3 - 3y – 2

= y3 - y – 2y – 2

= y(y2 – 1) – 2(y + 1)

= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)

= (y + 1)(y(y – 1) – 2)

= (y + 1)(y2 – y – 2)

= (y + 1)(y + 1)(y – 2)

= (y + 1)2(y – 2) (*)

Thay : y = x - 2 vào (*), được :

A = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2)

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Giải: Ta có:

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15

= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đã cho trở thành :

M = y(y + 8) + 15

= y2 + 8y + 15

= y2 + 3y + 5y + 15

= y(y + 3) + 5(y + 3)

= ( y + 3)(y + 5)

Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được :

M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)

= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)

= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))

= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)

Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau

thành nhân tử :

A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m

Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành :

A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)

Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử

A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1

Trang 10

Giải: Giả sử x  0, ta viết đa thức dưới dạng :

A = x2((x2 + 2

x

1

) + 6( x -

x

1

) + 7 ) Đặt y = x -

x

1

thì x2 + 2

x

1

= y2 + 2

Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)

= x2( y + 3)2

= (xy + 3x) 2

Thay y = x -

x

1

, ta được

A =

2

3 ) 1







x x x

= (x2 + 3x – 1)2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0

Nhận xét :

Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0

Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay :

A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +

x

a n 1

+… + 11



n

x

a

+ n

x

a0

Sau đó đặt y = x +

x

1

ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập trên

A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12

Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12

= (x + y)2 – (x + y) – 12

- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :

A = X2 – X – 12

= X2 - 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)

= (X - 4)(X + 4 - 1)

= (X - 4)(X + 3) (1)

- Thay X = x + y vào (1) ta được :

A = (x + y – 4)( x + y + 3)

A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Đặt : x2 + y2 + z2 = a

xy + yz + zx = b

 ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b

Đa thức A trở thành :

A = a(a + 2b) + b2

= a2 + 2ab + b2

= (a + b)2 (*)

Thay : a = x2 + y2 + z2

b = xy + yz + zx vào (*) ta được :

A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2

P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	401,5 KB