+ Ba đường cao của một tam giác đồng qui tại một điểm .Điểm này gọi là trực tâm cña tam gi¸c * Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao , đường phân gi[r]
Trang 1Chủ đề 1 : Thống kê – tam giác
A.Thống kê :
I Thu thập số liệu thống kê, bảng tần số các giá trị của dấu hiệu,Biểu đồ.
I.1 Kiến thức cơ bản.
1.Vấn đề hay hiện mà điều tra cần quan tâm tìm hiểu gọi là dấu hiệu.Dấu hiêụ kí hiệu bằng chữ X , Y
2 Các số liệu thu thập khi điều tra về một dấu hiệu gọi là dấu liệu thống kê.Mỗi
số liệu là một giá trị của dấu hiệu
3.Số tất cả các giá trị (không nhất thiết phải khác nhau ) của dấu hiệu bằng số các đơn
vị điều tra
4.Số lần xuất hiện cuaá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu kà tần số của giá trị đó (kí hiậu là n )
5 Từ bảng thu thập số liậu điều tra ban đầu có thể lập bảng “ tần số “ Bảng tần số giúp điều tra dễ có những nhận xét chung về sự phân phối các giá trị của dấu hiệu và tiện lợi cho sự tính toán sau này
6.Để có hình ảnh rõ ràng về dấu hiệu X ta dùng các biểu đồ ,Biểu đồ đoạn thẳng , biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt
II.2 Bài tập
1 Trong giờ ra chơi của lớp 7A tại sân + đo chiều cao của 18 em nữ một cách ngẫu nhiên, ta thu kết quả sau ( đơn vị cm )
137 140 142 142 147 141 140 144 142
140 139 141 143 138 141 145 142 143 a) Dấu hiệu mà điều tra quan tâm là gì ? có bao nhiêu giá trị ?
b) Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong dãy giá trị của dấu hiệu đó ?
c) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tần số của chúng ?
2 Tổng số điểm 4 môn thi của các học sinh trong một phòng cho sau
32
35
30
30 19 30
22 28 31
30 22 28
30 30 35
22 39 30
31 32 22
35 30 28 a) dấu hiệu ở đây là gì ?số tất cả các giá trị là bao nhiêu ?
b) Lập bảng tần số
c) từ bảng tần số hãy biểu diễn bằng biểu đồ hình chữ nhật ?
3 Thống kê mức tiêu thụ điện ở 20 gia đình sau : ( đơn vị là kw/h )
200
110
180
130
190 140
180 200
150 120
136 136
100 100
95 96
96 100
120 120 a) Tất cả các giá trị của dấu hiệu là bao nhiêu?
Trang 2b) lập bảng tần số ?
4 Sau cuộc điều tra trình độ văn hoá tại một nhà xuất bản thu kết quả sau: 30% cán bộ học hết cấp THCS
20% cán bộ học hết cấp PTTH
50% cán bộ học hết đại học
biểu đồ hình quạt từ số liệu điều tra trên
5 Thống kê số học sinh một số lớp của một THCS ta có bảng số liệu sau:
a) Hãy lập bảng "tần số "với các giá trị của dấu hiệu
b) Căn cứ vào bảng tần số, vẽ biểu đồ hình chữ nhật
II Hướng dẫn giải
1 a) Dấu hiệu mà điều tra quan tâm là:
Chiều cao của học sinh nữ của lớp 7A
Có tất cả 18 giá trị
b) có 10 giá trị khác nhau trong 18 giá trị của dấu hiệu đó
c)
2 a) Dấu hiệu là tổng số điểm thi của mỗi học sinh
Có tất cả 24 giá trị
b) Bảng "tần số"
c) Biểu đồ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Trang 33 Có tất cả 20 giá trị của dấu hiệu
Có tất cả 12 giá trị khác nhau : 95, 96, 100, 110, 120,130,136,140,150,180,190,200 Tần số của các giá trị này lần là : 1; 2; 3 ; 1; 3; 1 ; 2; 1 ; 1; 2; 1 ; 2
4 Số cán bộ học hết cấp THCS là :
30% 100 = 30 =@
Số cán bộ học hết cấp PTTH là :
20% 100 = 20 =@
Số cán bộ học hết đại họclà :
50% 100 = 50 =@ Với số liệu trên ta lập biểu đồ đoạn thẳng:
Biểu đồ hình quạt
PTTH 20% THCS30%
Đh 50%
Biểu đồ đoạn thẳng
y
x
o
đh ptth thsc
50
30 20
^
>
5.a) Bảng tần số
b) Biểu đồ hình chữ nhật
II Số trung bình cộng Mốt:
A 1 Kiến thức cơ bản
1 Số trung bình cộng của một dấu hiệu (Kí hiệu ) được tính từ bảng tần só X
theo các bước sau:
Nhân từng giá trị với tần số A ứng
Cộng các tích vừa tìm
Chia tổng đó cho số các giá trị (tổng các tần số)
2 Công thức số trung bình cộng
Giả sử dấu hiệu X có k giá trị là x1 , x2 , x3, , xk và k tần số là f1 , f2 , , fk thì ta có công thức:
x f1 1 x f2 2 x f k. k
X
N
3 ý nghĩa của số trung bình cộng
3 2 1
Số học sịnh
Số lớp y
x o
^
>
Trang 4Số trung bình cộng đại diện cho dấu hiệu , đặc biệt là khi muốn so X
sánh các đơn vị cùng loại Nếu dấu hiệu có khoảng chênh lệch quá lớn thì khó có X
thể "đại diện" cho các giá trị của dấu hiệu đó
4 Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng "tần số"
B.Bài tập
1 Đo chiều cao của 50 em lứa tuổi 14 - 15 ta các số liệu sau (đơn vị : cm)
Hãy tín số trung bình cộng của các giá trị của dấu hiệu trên Tìm mốt của bảng trên
2 Theo dõi vận tốc của một đoàn tàu hỏa trong 10 giờ , kết quả sau :
Số thứ tự giờ
tàu chạy
Quãng
tàu đi
Từ bảng số liệu trên hãy :
a) Lập bảng tần số
b) Tính vận tốc trung bình của tàu hỏa
3 6 đội bóng tham gia giải bóng đá.Mỗi đội đều phải đá đi và về với từng đội khác
a) Có tất cả bao nhiêu trận trong toàn giải
b) Số bàn thắng trong các trận đấu của toàn giải ghi trong bảng sau:
Tìm số bàn thắng trung bình trong một trận của cả giải
c) Tìm mốt
4 Cho bảng " tần số" các giá trị của dấu hiệu X
Giá trị (x) Tần số(n)
x1
x2
x3
xk
n1
n2
n3
nk
a) Tính số trung bình cộng
b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu tăng lên 2 lần thì số trung bình cộng thay đổi thế nào?
c) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu tăng lên 5 đơn vị thì số trung bình cộng thay đổi thế nào?
Trang 5II Hướng dẫn giải:
1
Giá trị (x) Tần số(n) Các tích 138
140 142 144 146 148 150 152
11 6 9 7 5 5 4 3
1518 840 1278 1008 730 740 600 456
n = 50 Tổng 7170 X =7170
143, 4
50
Mốt là 138 cm
2 Giải A tự bài 1 = 57,5(km/h)X
3.a) có tất cả 90 trận
b) Giải A tự bài 1 = 3 bànX
c) Mốt của bảng tần số là 3
4
a) x f1 1 x f2 2 x f k. k
X
N
b) Gọi là số trung bình cộng mới Y
1 1 2 2
(2 ).x n (2 ).x n (2x k).n k
Y
N
N
X
Vậy số trung bình cộng mới tăng lên 2 lần
c) Gọi là số trung bình cộng mớiZ
B Tam giác
I Các trường hợp bằng nhau của tam giác
I 1 Kiến thức cơ bản:
H hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c - c- c)
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
2 H hợp bằng nhau thứ hai của tam giác : cạnh -góc cạnh (c -g- c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
3 H hợp bằng nhau thứ ba của tam giác : góc- cạnh -góc (g-c-g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
I 2 Bài tập
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
5
Z
N
X
Trang 61 Quan sát hình và chọn ra kết quả đúng về 2 tam giác bằng nhau:
a) SPT và RST
b) SPT và QPT
c) RQT và RST
d) RQT và RST
e) STP và RTQ
2 Trong các hình !W đây, hình nào không chứa hai tam giác bằng nhau ?
a) Hình chữ nhật d) Hình bình hành
b) Hình vuông e) Hình thang
c) Hình thoi
3 CD là trung trực của AB , giao điểm của CD và AB là M Xét 3 mệnh đề
* CAM = CBM
* CMA là một tam giác vuông
* ABC là một tam giác có CA = CB
Hãy chọn mệnh đề đúng
b) 1 và 2 d) Cả 3 mệnh đề trên đều đúng
4 Cho 2 tam giác ABC và ABD có AB = BC = CA = 3 cm; AD = BD = 2 cm (C,D nằm khác phía đối với AB)
Chứng minh rằng CADA CBDA
5 Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng Chứng minh rằng AC // BD
6 Cho ABC có OA = OB Tia phân giác góc O cắt AB ở D Chứng minh rằng
a) DA = DB
b) OD AB
7 Để chứng minh 2 đoạn thẳng (2 góc) bằng nhau ta làm thế nào?
I 3 iW dẫn giải
1 Chọn e : STP và RTQ
2 Chọn e : Hình thang
3 Chọn d : Cả 3 mệnh đề trên
4 (Hình bên)
CAD và CBD có
CD : Cạnh chung
AC = BC (gt)
AD = BD (gt)
Do đó CAD = CBD (c.c.c) CADA CBDA ( cặp góc A ứng)
5 AOC = BOD ( c-g - c )
( Cặp góc có cạnh A ứng )
A A
Hai thẳng AC và BD tạo với AB
hai góc so le trong bằng nhau AAAB
nên AC //BD
7) a) trong AOD và BOD
OD là cạnh chung
( OD là tia phân giác góc D )
A1 A2
OA = OB ( gt )
Do đó AOD = BOD DA = DB ( cặp góc A ứng )
b) AOD = BOD câu a A1 A2 90o
o
d
c
b a
Trang 7Vậy OD AB
8 a) Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra các cặp cạnh A ứng bằng nhau, các cặp góc A ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau Vì vậy để chứng minh hai đoạn thẳng ( hay hai góc bằng nhau ) ta làm theo các 'W sau :
KW 1 : Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc ) đó là hai đoạn thẳng (hay hai góc ) thuộc tam giác nào
KW 2 : chứng minh hai tam giác đó bằng nhau
KW 3 : suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc ) A ứng bằng nhau
II.tam giác cân - định lí py ta go
II.1.Kiến thức cơ bản.
1.Định nghĩa : tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
- Hai cạnh bằng nhau là hai cạnh bên
- Cạnh còn lại là cạnh đáy
Đặc biệt : tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
2.Tính chất :
Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau
Đặc biệt : Trong tam giác vuông cân ,mỗi góc nhọn bằng 450
Trong tam giác đều mỗi góc bằng 600
3.Dấu hiệu nhận biết
Tam giác có 2 góc bằng nhau là tam giác cân
Đặc biệt : Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều
Tam giác có hai góc bằng 600 là tam giác đều
Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đêu
4.Trong 1 tam giác vuông bình 3 A cạnh huyền bằng tổng bình 3 A hai cạnh góc vuông
Đảo lại : Nếu một tam giác có bình 3 A một cạnh bằng tổng bình 3 A hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông
ABC có a2 + b2 = c 2
II.2 Bài tập
1 a) Tính góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng 800 ,bằng a0
b) Tính góc đỉnh của một tam giác cân biết góc ở đáy bằng 500 , bằng a 0
2 Tính các góc còn lại của một tam giác cân biết biết tam giác cân này có một góc bằng
a) 1100
b) a0
3 Cho ABC vuông tại A ,trên cạnh BC lấy 2 điểm M và N sao cho BM = BA ;
CN = CA Tính AMAN ?
4 Một cây tre cao 9 m ,bị gãy ngang thân ,ngọn cây chạm đát cách gốc 3m Hỏi
điểm gãy cách gốc bao nhiêu ?
5 Tìm số đo các góc của tam giác ACD trên hình bên
c
a
c
d b
a
Trang 86 Tính chéo của một mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 10dm ; chiều rộng 5
dm
II.3 : Hướng dẫn giải:
1 a) Đáp số : 1800 800 0 1800 0
50 ;
a
b) Đáp số : 1800 - 50 0.2 = 800 ; 1800 - a0 2
2.a) Góc 1100 không thể là góc ở đáy của tam giác cân vì nếu vậy thì tổng 2 góc lớn hơn 1800 Vậy góc 1100 là góc ở đỉnh mỗi góc ở đáy = 350
b) Nếu 900≤ a <1800 thì góc ở đỉnh là a , mỗi góc ở đáy là (1800 - a) : 2
Nếu a< 900 thì
Góc ở đỉnh có thể là a mỗi góc ở đáy là (1800 - a) : 2
Góc ở đáy có thể là a góc ở đỉnh là (1800 -2 a)
3 Góc MAN = 450
4 Điểm gẫy cách gốc 4 m
5 Có AA 90 ; 0 AD 22,5 ; 0 AACD 67,5 0
6 Độ dài chéo mặt bàn là 125 11, 2( dm)
III Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
III 1 Kiến thức cơ bản:
1 Hai cạnh góc vuông
2.Cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy
3.Cạnh huyền - góc nhọn
4 Cạnh huyền và một cạnh góc vuông
III 2 Bài tập:
1 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác Chứng minh tam giác ABC cân
Giải
Vẽ MH AB ; MK AC
HAM = KAM (cạnh huyền - góc nhọn)
MH = MK
HAM = KAM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
BA CA
Vậy tam giác ABC cân tại A
2.Cho ABC = ADC Khẳng định nào sau đây là không đúng
a) AC là trung trực của BD
b) AABCDACA
c) AB =AD
d) AC là phân giác góc BAD
Giải:
Khẳng định không đúng là b)
3.Xem hình sau cho biết khẳng định nào !W đây là đúng
a) ABC = ADC (c.c.c)
b) ABC = ADC (c.g.c)
c) ABC = ADC (g.c.g)
K H
M
A
c b
d c
b
a
Trang 9d) ABC = ADC (cạnh huyền cạnh góc vuông)
Giải:
Khẳng định đúng là d)
Chủ đề 2 : Biểu thức đại số
I Ví dụ về biểu thức đại số - giá trị của một biểu thức đại số
I 1 Kiến thức cơ bản
1 Biểu thức đại số là biểu thức trong đó chứa các số hoặc các chữ và các phép toán giữa các số , các chữ đó
2 Những chữ trong biểu thức đại số có thể là một hằng số = dùng các chữ a, b,c ) có thể là biến 01= dùng các chữ x ,y,z )
3 Biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên , biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức phân
4 Muốn tính giá trị của một biểu thức đại số khi biết giá trị của các biến trong biểu thức đã cho , ta thay giá trị của các biến vào rồi thực hiện phép tính
5 Một biểu thức nguyên xác định tại mọi giá trị của biến Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của biến làm cho mẫu số bằng 0
I 2 Bài tập
1 Viết biểu thức diễn đạt các ý sau:
a) Tổng lập 3 A của 2 số x và y
b) Lập 3 A của tổng 2 số x và y
c) Hiệu lập 3 A của 2 số x và y chia cho 2 lần tích của chúng (x 0;y 0)
d) Lập 3 A của hiệu 2 số x và y chia cho tổng 2 số đó (x y 0)
2 Trong các biểu thức ở bài tập trên biểu thức nào là biến thức nguyên ? Biểu thức nào là biểu thức phân
3 Tìm các giá trị không thích hợp của các biến x và y trong các biểu thức sau:
2 1 6 1 3 2 1
4.Xác định giá trị của biến để các biểu thức sau có nghĩa:
2 2
5 Tính giá trị của biểu thức:
2
2
2
x
6 Tính giá trị của biểu thức:
( 0)
7 Tìm các giá trị của biến để :
a) Biểu thức (x+1)(y2 - 6) có giá trị bằng 0
b) Biểu thức (x2 -12x + 7 ) có giá trị lớn hơn 7
8 a) Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:
C = (x + 2)2 + (y- )1 2 - 10
5
b) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức:
d
c b
a
Trang 10B = 22 22 3
2
I 3 Hướng dẫn giải.
1 a) x3 + y 3
b) (x + y )3
3 3
3
2
xy
2 Biểu thức nguyên :a) và b)
Biểu thức phân :c) và d)
3 a) x = 1; y = 1
)
b
Giá trị không thích hợp của hai biến là : y = 0 ; x = 3
c) Giá trị không thích hợp là x = y
4
2
2
0
x
y
5a) M = -3 tại x = -1
b) N= 5 tại x = -1; y = 1
6.) P = 1/7 (y 0)
7 a)
1
6
12
)
0
x
y
x
b
x
8 a) GTNN của C = -10 khi x= -2 ; y =1/5
b) GTLN của B = 3/2 khi x = y = 0
II)đơn thức
II.1 Kiến thức cơ bản
1.Đơn thưc là biểu thức đại số,hoăc một biến hoặc một tích giữa các số và các biến.
ví dụ: -5;x; 3 2 2 đơn thức
3 ; ;
3
2 Đơn thưc thu gọn là đơn thức gồm tích của hệ số với các biến đã viết thành
lũy thừa với số mũ nguyên !A
ví dụ:đơn thức 3xy thỉ 3 là hệ số ; xy là phần biến số
3 Bậc của đơn thức :
Bậc của đơn thức đối với một biến là số mũ của biến đó trong dang thu gọn của đơn thức
Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó
Trang 11Số thực khác 0 là đơn thức bậc 0 số 0 coi là đơn thức không có bậc.
Ví dụ đơn thức 3xy2
Bậc của biến x là 1, của biến y là 2,của đơn thức là 3
4.nhân hai đơn thức.
Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các biến vơi nhau
b ý :khi nâng đơn thức lên lũy thừa bậc n(nN) thì hệ số của đơn thức nâng lên lũy thừa bậc n còn số mũ của mỗi biến nhân lên với n
Ví dụ:(3 2y) 2 3 2 4y2 9 4 2
5.Đơn thức đông dạng:
+ Hai đơn thức đông dạng là hai đơn thức,sau khi thu gọn có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
Chảng hạn:5x yz2 và 7x yz2 là hai đơn đông dạng
+Mọi số đều là các đơn thức đồng dạng
+Để cộng (trừ).hai đơn thức đồng dạng ta cộng (trừ) các hệ số với nhau, giữ nguyên phần biến
II.2 bài tập.
1)Trong các biểu thức sau, hãy chọn đúng mục có biểu thức là đơn thức
a) 2 b) c)x+y
3
x
a
2
4xy
2)Thu gọn rồi tính giá trị của các đon thức sau với x= 1 ; y = -1 ; x = -2
a) (xyz)(xyz2)(yz) ;
b) 3x2 (xy2z)(3xyz)2
3) Tìm các số a,b ,c biết ab = 2 ; bc = 6 ; ac = 3
4) Trong 3 cặp các đơn thức !W đây , cặp nào là 2 đơn thức đồng dạng :
a) 3xy2z4 và -5xyz;
b) -4xz2 và x2z ;
c) ax3 và - 4ax3
5 ) Cộng và trừ các đơn thức:
a) 3a2b + (-a2b) + 2 a2b-(- 6a2b )
b) (-7y2) + (-y2) -( -8y2) ;
c) 5an + (- 2a)n + 6an
6 Viết đơn thức 64 x6 y12 !W dạng lũy thừa của một đơn thức
II 3 Hướng dẫn giải:
1 Đơn thức là b)
2 a) -16 b) -216
3 Vậy a = 1 ; b = 2 ; c = 3;hoặc a = - 1 ; b = -2 ;c = -3
4.Hai đơn thức đồng dạng là c)
5.a) 10 a2b
b) 0
c) 11 ( 2) n a n
6 64 x6 y12 =(±8 x3 y6)2 =(4 x2 y4)3 =(±2 xy2)6
III Đa thức
III.1 Kiến thức cơ bản
1 Đa thức là tổng của các đơn thức mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của
đa thức
Mỗi đa thức là một biểu thức là một biểu thức nguyên