SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 Trong số này chúng ta sẽ làm quen với hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài viết của bạn Trương Thị Thuỳ Trang lớp 10A13[r]
Trang 1SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13
Trong số này chúng ta sẽ làm quen với
hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài
viết của bạn Trương Thị Thuỳ Trang
lớp 10A13
1 Hệ gồm một phương trình bậc
nhất và một phương trình bậc hai
Hệ này có dạng
a x b y c 0 (1)
ax by cxy dx ey f 0 (2)
Phương pháp chung ñể giải hệ này là
từ (1) rút một ẩn thế vào (2)
VD1 Tìm m ñể hệ sau có nghiệm
x 4y 8
x 2y m
+ =
HD Từ phương trình thứ hai của hệ ta
có x= −m 2y, thế vào phương trình
ñầu ta ñược 8y2−4my m+ 2− =8 0 (*)
Hệ ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*)
có nghiệm, tức là ∆ =' 64 4m− 2≥0
4 m 4
2 Hệ gồm hai phương trình bậc hai
Với hệ dạng
ax by cxy dx ey f 0
a x b y c xy d x e y f 0
ta thường cố gắng ñưa về dạng gồm
một phương trình bậc nhất và một
phương trình bậc hai
VD2 Tìm giao ñiểm của hai ñường
tròn (C ) : (x 1)1 − 2+ −(y 2)2 =4 và
2
(C ) : x +y − −x 5y=0
HD Xét hệ
x y 1 0
x y x 5y 0
− − =
x y 1 (y 1) y (y 1) 5y 0
= +
2
x y 1 x 1, y 0
x 3, y 2
y 2y 0
= +
Vậy hai ñường tròn ñã cho cắt nhau tại hai ñiểm A(1; 0), B(3; 2)
3 Hệ ñối xứng loại 1
Hệ phương trình ñối xứng loại 1 hai ẩn
x, y có dạng F(x; y) 0
G(x; y) 0
=
=
trong ñó F(x; y)≡F(y; x),G(x; y)≡G(y; x) ðể giải, người ta thường ñặt S = x + y và
P = x.y, với ñiều kiện S2 ≥4P, và lưu
ý ñến ñịnh lí Viét ñảo
VD3 Giải hệ
x xy y 4
x xy y 2
+ + =
HD ðặt S = x + y, P = x.y, với ñiều
kiện S2 ≥4P, hệ ñã cho trở thành
P 0
=
hoặc S 3
P 5
= −
=
(loại) Do ñó
x y 2
xy 0
+ =
=
x 0, y 2
x 2, y 0
Vậy hệ phương trình
ñã cho có hai nghiệm (2; 0), (0; 2)
VD4 Cho hệ phương trình
x y 6
+ =
+ =
1) Tìm m ñể hệ có nghiệm
2) Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ, tìm giá trị nhỏ nhất của F = x + y – 2xy
HD 1) Hệ phương trình ñã cho tương
ñương với
x y 6
m
xy 18
2
+ =
= −
Vậy x, y là hai nghiệm của phương trình
t 6t 18 0 (*)
2
Lop10.com
Trang 2Hệ ñã cho có nghiệm khi (*) có
nghiệm, tức là ' m 9 0 m 18
2
∆ = − ≥ ⇔ ≥
Chú ý: Dễ thấy m≤0 thì hệ ñã cho vô
nghiệm Với m > 0 thì phương trình
ñầu của hệ là phương trình ñường tròn
(C) tâm O(0;0), bán kính R= m
Còn phương trình thứ hai của hệ là
phương trình ñường thẳng ∆ Hệ
phương trình ñó có nghiệm khi (C) và
∆ có ñiểm chung, tức là d(O, )∆ ≤R
2) Với m 18≥ thì hệ ñã cho có nghiệm
(x; y), và F = x + y – 2xy = m – 30
Do ñó F 18 30≥ − = −12 Dấu “=” xảy
ra khi m = 18 Vậy minF = –12
4 Hệ ñối xứng loại 2
Hệ ñối xứng loại 2 hai ẩn x, y có dạng
F(x; y) 0
F(y; x) 0
=
=
Ta thường biến ñổi hệ
này thành F(x; y) F(y; x) 0
F(y; x) 0
=
ý, với hệ phương trình ñối xứng loại 1
hay loại 2, nếu (x; y) = (a; b) là nghiệm
thì (x; y) = (b; a) cũng là nghiệm
VD5 Gải hệ
HD Hệ
2x 3x y 2
3(x y)(x y 1) 0
− = −
TH1
= =
TH2
2
y 1 x
= −
hệ
này vô nghiệm
Vậy hệ phương trình ñã cho có hai
nghiệm (1; 1), (2; 2)
5 Hệ ñẳng cấp bậc hai
Hệ ñẳng cấp bậc hai có dạng
ax bxy cy d
a x b xy c y d
ðể giải ta thường biến ñổi hệ về dạng
Ở (1) ta ñặt x = ty, ñược
2
y.(At +Bt+C)=0
+ Xét trực tiếp y = 0
+ Với y khác 0, ta có At2 + Bt + C = 0, tìm ra t, từ ñó tìm ra x, y
Cũng có những trường hợp hệ loại này ñược biến ñổi ñưa về hệ ở mục 1 Sau ñây là một số bài tập mời các bạn tham khảo
1 Giải các hệ phương trình
2
x y 1 xy
2 x y xy 0
x 2y 1
x xy 3y y 0
x y x y 2
xy 1
x 1 4 y 2
y 1 4 x 2
x 4xy y 1
y 3xy 4
+ = +
=
+ + − =
− + = −
2 Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm
2 2
3 Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ
x y 2a 3
+ = −
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x.y
4 Biện luận theo m số nghiệm của hệ
x y 2x 2
x y m
− + =
+ =
Chúc các bạn thành công!
Lop10.com