Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

- Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn rút một ẩn theo ẩn kia; - Thay vào phương trình bậc hai của hai ẩn ta được phương trình bậc hai theo một ẩn; - Giải phương trình bậc hai theo một

Trang 1

Nhiệt liệt chào mừng quý thầy cô

về dự tiết học hôm nay của lớp 10B3

Trang 2

Kiểm tra bài cũ : Cho hệ phương trình :

x 4y 7



 Hãy nêu các cách mà em biết để tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho ?

Hướng dẫn trả lời :

- Phương pháp thế

- Phương pháp cộng đại số

- Sử dụng định thức

- Sử dụng đồ thị

- Sử dụng máy tính cầm tay

2x y 5

x 4y 7

 







2 2

2x y 5







x y xy 2





2 2

x 3x 2y

y 3y 2x

  





 



Nếu ta thay một trong hai phương trình hoặc cả hai phương trình của hệ

bởi phương trình bậc hai của hai ẩn, chẳng hạn

:

ta được hệ phương trình bậc hai của hai ẩn

Trang 3

Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

của hai ẩn

Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn

Hệ phương trình

Trang 4

Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

của hai ẩn

1) Cách giải : 2 2

2x y 5







- Phương pháp thế

- Phương pháp cộng đại số

- Sử dụng định thức

- Sử dụng đồ thị

- Sử dụng máy tính cầm tay

2x y 5

x 4y 7

 







Vậy từ các phương pháp mà các em biết ta có thể sử dụng phương pháp nào để giải hệ trên ?

Nếu sử dụng phương pháp thế thì ta phải làm sao ?

- Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn

rút một ẩn theo ẩn kia;

- Thay vào phương trình bậc hai của

hai ẩn ta được phương trình bậc hai

theo một ẩn;

- Giải phương trình bậc hai theo một ẩn

tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc

nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại

I Hệ gồm một phương trình bậc nhất

và một phương trình bậc hai của hai ẩn

Trang 5

1) Cách giải :

theo một ẩn;

2 2

2x y 5 2x y 2xy 25

 







2) Ví dụ :

VD1 : Giải hệ phương trình sau :

2 2

y 5 2x

 



 



y 5 2x

 



 



2

y 5 2x 10x 30x 0

 



 



x 0

y 5 2x

y 5

x 0

x 3

y 1

  

 

  



  

    

  



  

 





 



Vậy hệ có hai nghiệm (x;y) là : (0;5) và (3;-1)

* Nhận xét : trong một hệ phương trình hai ẩn nếu có một phương trình bậc nhất thì ta có thể dùng phương pháp thế

2 2

x y 3







x xy y 4 b) (I)

x y xy 2

   



  



2 2

x 3x 2y

y 3y 2x





 trở thành những hệ nào ?

Hoạt động nhóm : Nếu thay x bởi y và thay y bởi x thì

3 hệ phương trình:

Trang 6

theo một ẩn;

2 2

2x y 5 2x y 2xy 25

 







2) Ví dụ :

2 2

x y 3

(*)







(I)

x y xy 2





2 2

(A)







2 2

y x 3

(**)

y x 5

 







(II)

y x yx 2



 2 2

y 3y 2x

(B)

x 3x 2y

  





 

 Hoạt động nhóm :

Em có nhận xét gì về

hệ (*) và (**); hệ (I) và (II); hệ (A) và (B) ?

Hệ đối xứng loại 1

F(x, y) 0

G(x, y) 0











II Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn

1) Hệ đối xứng loại 1 :

a) Dạng :

trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x

thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi

Mỗi phương trình của hệ không thay

đổi

Trang 7

theo một ẩn;

2 2

2x y 5 2x y 2xy 25

 







2) Ví dụ :

a) Dạng :

2

xy 2 P



 



X 3X 2 0

X 2





     



x 1 x 2

hay

y 2 y 1

 

 

 

 

 

x, y là nghiệm phương trình :

Vậy hệ có nghiệm :

S x y, P xy   

2

S  4P 0 

2

S  4P 0 

b) Cách giải : Biến đổi hệ xuất hiện x + y, xy.

+ Đặt ( Điều kiện : )

và đưa hệ đã cho về hệ theo hai biến S, P

+ Giải hệ tìm S, P thỏa điều kiện : + Từ S,P ta suy ra x,y là nghiệm phương trinh:

c) Ví dụ : VD2: Giải hệ phương trình:

x xy y 4

(I)

x y xy 2

   



  



Hoạt động nhóm :

S x y, P xy   

Bằng cách

trên về theo hệ theo S, P ?

F(x, y) 0

G(x, y) 0









 trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x

2

X  SX P 0  

Trang 8

theo một ẩn;

2 2

2x y 5 2x y 2xy 25

 







2) Ví dụ :

a) Dạng :

S x y, P xy   

2

S  4P 0 

2

S  4P 0 

b) Cách giải : Biến đổi hệ xuất hiện x + y, xy

+ Giải hệ tìm S, P thỏa điều kiện : + Từ S,P ta suy ra x,y là nghiệm phương trình:

x xy y 4

(I)

x y xy 2



  

 Hoạt động nhóm :

2

S  4P 0 

F(x, y) 0

G(x, y) 0











Trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x

S x y, P xy   

Bằng cách

trên về theo hệ theo S, P ?

S x y, P xy   

x  xy y   (x y)   xy S   P

2

S P 2





( Điều kiện : ) Khi đó :

nên (I) trở thành : Đặt

2

X  SX P 0  

Trang 9

- Sau đó thay vào phương trình bậc hai

của hai ẩn ta được phương trình bậc

hai theo một ẩn;

2 2

2x y 5 2x y 2xy 25

 







2) Ví dụ :

a) Dạng :

S x y, P xy   

2

S  4P 0 

2

S  4P 0 

b) Cách giải : Biến đổi hệ xuất hiện x + y, xy

x xy y 4

(I)

x y xy 2

   



  



Hoạt động nhóm :

2

S  4P 0 

F(x, y) 0

G(x, y) 0











Trong đó nếu thay x bởi y và thay y bởi x

S x y, P xy   

x  xy y   (x y)   xy S   P

2

S P 2





( Điều kiện : ) Khi đó :

nên (I) trở thành :

Đặt

Hãy giải tiếp hệ tìm S,P

Sau đó tìm nghiệm của hệ (I) ?

2

X  SX P 0  

Trang 10

VD2: Giải hệ phương trình : (I)

x y xy 2





S x y, P xy   

2

S  4P 0 

Bài giải :

x  xy y   (x y)   xy S   P

2

S P 2





Đặt

( Điều kiện : )

Khi đĩ :

nên (I) trở thành : S2 S 6 0

P 2 S

 

 



S 2

P 0

S 3

P 2 S

P 5

  

    



   

    





   







 



( nhận )

( loại )

S 2

P 0











X 2







Với ta cĩ :

Vậy hệ phương trình cĩ hai nghiệm (x;y) là :

(0;2) và (2;0)

x y (x y) 2xy S 2P

x y (x y)(x y xy) S(S 3P)

?:Em hãy cho biết hệ phương trình sau

x xy y 4

x y xy 2

   



  



cĩ phải hệ đối xứng loại 1 khơng ?

y  t

x xt t 4

x t xt 2

   



  



Đặt hệ trở thành :

là hệ đối xứng của hai ẩn x,t

Bằng cách đặt ẩn phụ cĩ thể chuyển

hệ trên thành hệ đối xứng loại 1 khơng ?

x y 2

xy 0







 suy ra x, y là nghiệm của phương trình

Trang 11

2) Ví dụ :

a) Dạng :

b) Cách giải :

c) Ví dụ :

F(x, y) 0 (1)

G(x, y) 0 (2)











a) Dạng :

thì (1) trở thành (2) và (2) trở thành (1)

2 2

x y 3

(*)







(I)

x y xy 2





2 2

(A)







2 2

y 3y 2x

x 3x 2y

  





 



 



 



Trang 12

2) Ví dụ :

a) Dạng :

c) Ví dụ :

F(x, y) 0 (1)

G(x, y) 0 (2)











a) Dạng :

Thì (1) tở thành (2) và (2) trở thành (1)

y x (a) (x y).h(x, y) 0

h(x, y) 0 (b)







y x (a)

F(x, y) 0 (1)











h(x, y) 0 (b)

F(x, y) 0 (1)











+ Lấy (1) trừ (2) ( hoặc (2) trừ (1) )

ta được phương trình :

+ i)

ii)

từ đó tìm x,y

VD4: Giải hệ phương trình :

2 2

x 3x 2y (1)

(A)

y 3y 2x (2)







2 2

x y 3x 3y 2y 2x (x y)(x y) (x y) 0 (x y)(x y 1) 0

y x (a)

y 1 x (b)





   



2

y x

(a1)

x 3x 2y (A)

y 1 x

(b1)

x 3x 2y

 

 

 





 

 



 

  



Bài giải : Lấy (1) trừ (2) ta đươc :

c) Ví dụ :

Trang 13

VD4: Giải hệ phương trình :

2 2

x 3x 2y (1)

(A)

y 3y 2x (2)







2 2

x y 3x 3y 2y 2x

(x y)(x y) (x y) 0

y x (x y)(x y 1) 0

y 1 x





        



2

y x

(a1)

x 3x 2y (A)

y 1 x

(b1)

x 3x 2y

 

 

 





   

 

  



Bài giải : Lấy (1) trừ (2) ta đươc :

2

(a1)

x 3x 2y x 3x 2x

x 0

y x

y 0

y x

x 0

x 5

y 5

 



     







 



Vậy hệ phương trình (A) có bốn nghiệm (x;y) là : (0;0) , (5;5) , (-1;2) và (2;-1)

* Chú ý :

Nếu hệ phương trình đối xứng có nghiệm

là (a;b) thì cũng có nghiệm là (b;a)

2

(b1)

y 1 x

y 2

y 1 x

x 2

 

 



 







 

















5y x

2y

5x y

2x

2 2











2

3 3

; 2

3 3

VD5: Cho hệ phương trình

Biết rằng hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm và

2 trong 4 nghiệm đó là (2;2) và

Tìm các nghiệm còn lại mà không cần giải hệ phương trình ?

Nghiệm còn lại là : 3 3 3 3

;

2 2

   

 

 

và (0;0)

Trang 14

- Từ phương trình bậc nhất của hai ẩn rút một ẩn theo ẩn kia;

- Sau đó thay vào phương trình bậc hai của hai ẩn ta được phương trình bậc hai theo một ẩn;

- Giải phương trình bậc hai theo một ẩn tìm ẩn ấy và thay vào phương trình bậc nhất của hai ẩn tìm ẩn còn lại

Hệ phương trình đối xứng loại 1 của hai ẩn :

S x y, P xy    S2  4P 0 

2

S  4P 0 

y x (a) (x y).h(x, y) 0

h(x, y) 0 (b)







y x (a) F(x, y) 0 (1)









 h(x, y) 0 (b) F(x, y) 0 (1)











+ Lấy (1) trừ (2) ( hoặc (2) trừ (1) ) ta được phương trình :

+ i) ii)

từ đó tìm x,y

Hệ phương trình đối xứng loại 2 của hai ẩn :

từ đó tìm x,y

Hệ phương trình

bậc hai của hai ẩn

Bài tập về nhà : + Giải lại các bài đã giải tại lớp và các bài tập trong sách giáo khoa

+ Tham khảo thêm các bài tập trong sách bài tập

2

X  SX P 0  

Trang 15

Các em nhớ học bài và làm bài tập nhé !!!

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	4,56 MB