PHƯƠNG TRÌNH một số ví dụ về hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI HAI ẩn (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨNDẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI.. Sử dụng phương pháp thế  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia..

§5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

1 Phương pháp giải.

Sử dụng phương pháp thế

 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia

 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn

 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này

ï = ïî

ì =ïï

íï ïî

=-Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y là ( ); ) 1; 3 và (5; 5- )

b) Hệ phương trình tương đương

-ïï =ïïï

-ïïïî

x y

ì =ïïïí

ï =ïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y là ; ) 11; 3

Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một

phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế

-ïíæ ö

ïïç - ÷÷- + =

ï ç ÷

ï çè ÷øïî

x y

ïïïí

ï ïïî (thỏa mãn)

=-Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y là ( ); ) 1;1 và 2; 3

é = Þ =ê

ê

ê = Þ =ê

x

é =êê

-ê =ê

* Với x =0 thay vào (3) ta có: y + = vô nghiệm.2 2 0

 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.

 Giải hệ (I') ta tìm được S và P

 Tìm nghiệm (x y bằng cách giải phương trình: ; ) X2- SX+ = P 0

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).

 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II)  ( , ) ( , ) 0 (3)

êìïêï =

êïîë

 Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x y thì (0; 0) y x cũng là một nghiệm 0; 0)của nó

2 2 2 2

ìï = ïïí

-ï = +ïïî

 Với S = +2 2;P =2 2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

23

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

x x

é

êê

2 2 2

2

23

23

ï + ïî

02S 0

2

32S 3

2S 3

S

S S

S

P P

ì ïï

=-íï =ïî

xy

ì + ïï

X

é =ê

- = Û ê

ê

ì ïï

xy

ì + =ïï

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x y =; ) ( )3; 3

Vậy với m =21 thì hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4: Cho (x y là nghiệm của hệ phương trình ; ) 2 2 2 21

Bài 3.56: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

Û ê = Þ =-ë Vậy nghiệm của hệ: ( ; )x y =(0; 0), (3; 3), ( 1; 2), (2; 1)- - .

ìï = - +ïí

· Với m =1 hệ trở thành:

2

2 2 2

 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

 Khi x  0, đặt y= Thế vào hệ (I) ta được hệ theo tx k và x Khử x ta tìm được phương trình bậchai theo k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x y ; .)

Dễ thấy x =0 không thoả hệ

Với x ¹ 0, đặt y= , thay vào hệ ta được tx 22( 22 1) 1 (*)

Thay vào (*) thì

Với t =1 , ta có x2 1 é = Þ =ê x 1 y 1

= Û ê Þ

Dễ thấy x =0 không thoả hệ

Với x ¹ 0, đặt y= , thay vào hệ ta được tx

Với m =16 : Phương trình (**) trở thành44k+88= Û0 k=- 2 Vậy m =16 thỏa mãn

Với m ¹ 16: Phương trình (**) có nghiệm Û D ³'k 0

Lời giải:

Bài 3.59: Ta thấy x=0 không thoả hệ phương trình

Xét x ¹ 0 Đặt x=ky và thay vào hệ ta được: 2 2 2 2

54 417 145 0

14518

t tt

t

é

ê =ê

êêê

Bài 3.60: Dễ thấy x =0 không thoả hệ

Với x ¹ 0, đặt y= , thay vào hệ ta được tx 22(3 2 2)2 11(*)

k k

é

ê êÛê

=-=ê

Thay vào (*) ta được:

.( )4

a) Tìm số nghiệm của hệ phương trình với m =1

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

( 4 1)(1 3 ) 4

b) Ta có : (I) 

2 2

4( 4 1) (1 3 )(1 3 ) 4

Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

x y

ìïï =ïïïíï

ï ïïïî

=-Vậy hệ phương trình có nghiệm là 5; 3

Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với

7 1318

x y

ìï

-ï =ïïïí

-ïï =ïïî

x y

ìïï =ïïïíï

ï =ïïïî

(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y là ; ) 7 13 7; 13 , 7 13 7; 13 , 1 1;

33

ìï ïïí

ï ïïî

=-Giải hệ (2): ( ) 2

66

3 62

x y

ìïï ïïïíïï

ï ïïî

=-Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3; 2 3 , ) (- 3; 2 3- ) , 6 3 6;

2

2 2

2 2

x y

ì =ïï

íï =ïî

Dễ thấy x =0 hoặc y = thì hệ phương trình vô nghiệm Xét 0 xy ¹ 0 ta có

Hệ phương trình tương đương với ( )

ïïî

2 2 ( )4

x

VN x

ê =êê

-ê =ê

a) Hệ phương trình tương đương với (x y 2 1)(x2 2y 2) 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x y =; ) ( )0;1

b) Cộng hai phương trình của hệ ta có

32

ìï + + =ïí

x x

1

3 2x

x

x x

y y

ì =ïï

íï ïî

=-Giải hệ (4): ( )4 2 (2 ) (2 )2 3 2

22

x

x x

y y

ì =ïï

+ Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà trong mỗi phương trình không thể phân tích được thànhtích(như ở câu b) ta là như sau: ta tìm số thực a sao cho x2+2xy- 7x- 5y+ +9 a(x2+xy+y2) =3a

Û = hoặc a =- 1 Từ đó ta có lời giải như trên(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế)

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

Suy ra hệ phương trình tương đương với 2

ìï ïïí

Ta có ( )

( )2 2

ìï

-ï =ïï

Û íïï

ï = ïî

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y là ; ) 2 2; 2 2

Hệ phương trình (1") tương đương

ì =ïï

íï ïî

=-Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình vô nghiệm

 TH2: Với 2y+ x- 2y= Û -0 2y= x- 2y: Dễ thấy khi y > thì phương trình vô nghiệm 0

ìï = ïïï

ï =ïïïî

ìï = +ïïï

ï ïïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y là ; ) 11 5 5; 3 5

4+2y =2y+ +2 2yÛ 2y - 4y+ = Û2 0 y= 1

Vậy phương trình có nghiệm là (x y =; ) ( )2;1

Nhận xét: Việc nhân vào với - 2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thấy rằng đối với biến y thấy có sự tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta nhân với phương trình hai một số thực a

khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được

Û - = - = Û íï =

ïîThay x=1; y= vào hệ thấy thỏa mãn2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x y =; ) ( )1; 2 .

b) Phương trình thứ hai nhân với - 3 rồi cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x y =; ) ( )0; 0 .

Nhận xét: Các biến x y, trong mỗi phương trình độc lập với nhau do đó ta sẽ chọn a bằng cách lấy

phương trình thứ nhất(hoặc phương trình thứ hai) nhân với a rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho

đưa về dạng phương trình (ax+b)n=±(a y' +b')n

Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ.

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

2

2

24

a b

ì =ïï

íï =ïî

b) Hệ phương trình tương đương với ( )

31

15

x y y x y y

ìïï - =ïï

ïïí

ïï - =ïï

ïïîĐặt

y z

ìïï ïïïíï

=-ï ïïïî

2 2

ì + =ïï

ì + ïï

TH1: ( ) ( )a b =; 2;1 khi đó ta có

2 2

1

12

x

y y

x

y y

= Û ê = Þ =ëVới a=- -b 3 thay vào phương trình (1) suy ra ( )2 2 2

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x y là ; ) ( )0; 0 và ( )1; 0

Ví dụ 9: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

S P

ì ïï

a b ab

ì + =ïï

+ï

íï ³ ïî

a b

ì =ïï

íï

=-ïî và

5272

a b

ìïï ïïïíï

=-ï =ïïïî

Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ: ( ; ) 1 3 5; 3 , 3; 11 , 3; 2

x y u

y

éì =ïïêíêï

é= ïêî =ê

- + = Û ê= Û êìïê =

ë ïêíï =

êïîëVậy, hệ phưong trình có nghiệm là (4,9 , 9, 4 ) ( )

Û íï

Vậy hệ có nghiệm là (4; 4 )

c) Điều kiện: 0

0

x y

ì ³ïï

íï ³ïî

ì + =ïï

íï =ïîGiải hệ ta được nghiệm là ( ) (8,8 ; 8, 8 - )

Lời giải:

Bài 3.65: · Giả sử hệ có nghiệm ( ,x y0 0)Þ (y0- 2,x0+ cũng là nghiệm của hệ phương trình Vậy hệ có 2)nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0=y0- 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi a = +2 6.

Bài 3.66: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

u v

ì =ïï

íï =

ïî hoặc

12

u v

ì =ïï

íï =ïî

Từ đó giải được các nghiệm của hệ là ( ) ( ) (0; 0 , 2;1 , - 1; 2- ).

51

a b

ìïï ïïïíï

ï ïïïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

x x

x x

ìïï + + =ïï

ï

Û í

ïï + + =ïï

a b

ì =ïï

íï =

ïî hoặc

512

a b

ì ïï

c) Nếu x =0 thay vào hệ Þ y=0Þ x= = là một nghiệm của hệy 0

Với x ¹ 0 ta có hệ đã cho 2

2 2

x

ìïï + = ïïï

-Û í

ïï + = ïï

-ïî

2 2

2 1 (1)(2 1) 6 3 (2)

= Þ Û + = phương trình vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có ba cặp nghiệm: ( ; )x y =(0; 0), (1; 2), (2; 2)

Bài 3.68: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

b) Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (6x2- 12x+ +8) (9y2+12y+27)=35

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

Thử lại ta thấy thỏa

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( , )x y = -( 2, 3),( 3, 2)- .

Bài 3.69: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

4

4

21

421

Ta thấy x=0 (y=0) không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với

24

2 116

x

y

ïï =ïïïíï

ïï =ïïïî

u u u

é =êê

Û ê=

ê ê

Ta có hệ phương trình:

( )3

22

Vậy phương trình có nghiệm là x =2

Nhận xét : Khi gặp phương trình có chứa các đại lượng a+f x( ) ( ), f x và b- f x( ) (hoặc b+f x( ) )

thì ta đặt u= a+f x v( ), = b- f x( ) (hoặcv= b- f x( ) ) và đưa về hệ phương trình ( )

a) Đặt

3

3 3 3

= - = Û ê =ë Suy ra 1

3

u v

ì ïï

=-íï =

ïî hoặc

31

u v

ì =ïï

íï ïî

( )

12

-ê =ê

Vậy phương trình có nghiệm là x =1

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình sau

a) x2- x+ =1 1 8- x

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

ìï + =ïí

+ = Û + = Û ê =- Þ =-ë (thỏa mãn)Với x= -3 y ta có y2+2 3( - y)= Ûy y2- 3y+ = (vô nghiệm)6 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x =0 và x =- 1

ï - =ïïî

Lấy (1) trừ (2) ta có:y3- tt3= -2y 2

Vậy phương trình có 3 nghiệm 2; 1 5; 1 5

tương tự đối với phương trình chứa căn bậc n

· Khi gặp phương trình có thể đưa về dạng f n( )x + =b a af x n ( )- b ta đưa về hệ đối xứng loại 2 bằng

cách đặt t=f x( ),y=n af x( )- b ta có hệ t n n b ay

ìï + =ïí

ìï + = +ïí

x x

x x

Chú ý: Đây là phương trình bằng sau khi đặt u= f x( ),v=g x( ) đưa về hệ hương trình còn ẩn x mà có

kiện ẩn phụ hay không

Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình sau

ì =ïï

Û íï =

ïî suy ra

32

xy

ì = +ïï

- + = Û ê =ë

Suy ra hệ phương trình (**) có nghiệm (x y là ; ) ( )1; 2 và ( )2;1

Thử x=1,x= vào thấy thỏa mãn phương trình2

Vậy phương trình có nghiệm là x=1,x=2

Vậy ta có:

3 3

ïî hệ vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có hai ngiệm x=1;x=16.

Bài 3.71: Tìm số nghiệm của phương trình sau

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: 3 17 ; 5 13

ê =ê

ê ê

ê =êë

Bài 3.72: Tìm số nghiệm của phương trình sau

ìï + =ïí

- = Û íï + - =ïïî Û =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1.

Bài 3.73: Tìm số nghiệm của phương trình sau: (4 3 3)3 3 3

Xét x ¹ 0 phương trình tương đương với ( )3 23 2

î

ìï + + =ïí

- + + = - Û - = Û ê =ë (loại x =0)Với

b) Phương trình đã cho tương đương với 3 3x+ +4 2x+ = +3 (x 1)3

Đặt y+ =1 33x+ Ta có hệ phương trình 4

3 3

ïîTrừ hai phương trình của hệ, vế theo vế, ta được

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x=1,x=- 2.