Giải hệ bất phương trình bậc hai hai ẩn nhờ phương pháp tham biến.Phương pháp: Chuyển hệ bất phương trình về hệ phương trình nhờ biểu diễn qua tham số... Yêu cầu bài toán không thay đổi.
Trang 1Vấn đề 1 Giải hệ bất phương trình bậc hai hai ẩn nhờ phương pháp tham biến.
Phương pháp:
Chuyển hệ bất phương trình về hệ phương trình nhờ biểu diễn qua tham số
Bài 1 Giải hệ bất phương trình: x y 12 2
( Đề thi TTPHHSG Khối 10 Tỉnh ĐakLak – 1999)
Giải
Để ý
Do x y 1 nên: x + y = 1 – m với m 0 (1)
Lúc này hệ là:
2
x y 1 m
x y 1 m
xy 1 m
Điều kiện để hệ có nghiệm là: (1 – m)2 4[(1 – m)2 – 1]
3 1 m 2 4
1 2 m 1 2
Với điều kiện (1) ta có 0 m 1 2
3
Lúc đó ta có x, y là hai nghiệm của phương trình
t2 – (1 – m)t + (1 – m)2 – 1 = 0
Vậy nghiệm của hệ là:
2
2
3
2
2
3
Trang 2Bài 2 Ở bất phương trình thứ hai của hệ của hệ trong bài 1 ta thay dấu “=“ bởi dấu “” thì ta có
hệ mới sau: x y 12 2
Yêu cầu bài toán không thay đổi
Giải
Từ (1): y = 1 – m – x
Thay và (2): x2 – (1 – m - x)2 + x(1 – m – x) 0
x2 – (1 – m)x + (1 – m)2 – 1 0 (4)
Ta có 1 m2 4 1 m 21 4 3 1 m 2
Trường hợp 0
2
3
Với điều kiện (3) ta có m 1 2 m 1 2
Lúc đó bất phương trình (4) thỏa mãn với x0
Vậy nghiệm của hệ là 0
0
x x
y 1 m x
Trường hợp 0
2
Với điều kiện (3) ta có 0 m 1 2
3
Lúc đó bất phương trình (4)
2
2
Trang 3*) Với 1 m 4 3 1 m 2
*) Với x 1 m 4 3 1 m 2
2
Vậy nghiệm của hệ là:
Hướng phát triển bài toán
Nếu thay bất phương trình (2) bởi bất phương trình x2 + y2 + xy < 0 thì trường hợp 0
bất phương trình vô nghiệm Nên ta chỉ xét trường hợp 0, cách lấy nghiệm tương tự
Bài 3 Giải hệ bất phương trình:
x 2xy y 0 (1) 2x 3xy y 1 (2)
Giải a) Nếu x = 0 thì hệ là:
2
2
y 0
hệ vô nghiệm
b) Nếu x 0 đặt y = t x Điều kiện t 0
Vì t = 0 thì y = 0 lúc đó hệ là
2 2
1
hệ vô nghiệm Thay y = tx vào bất phương trình (1) ta có: x 2 – 2tx2 – t2x2 0
Trang 4 (1 – 2t – t2)x2 0 t2 + 2t – 1 0
Thay y = tx vào phương trình (2) ta được: 2x2 – 3tx2 + t2x2 = 1
(2– 3t + t2)x2 = 1 (3)
a) Nếu: 2– 3t + t2 0 1 t 2 thì hệ vô nghiệm Vì vế phải của (3) luôn dương
b) Nếu: 2– 3t + t2 > 0 t < 1 hoặc t > 2
Thì từ điều kiện (*) ta có t 1 2 hoặc t > 2
Vậy nghiệm của hệ là:
2
2
1 t
t > 2
x
t 3t 2 y
t 3t 2
hoặc
2
2
1 t
t > 2
x
t 3t 2 y
t 3t 2
Hướng phát triển bài toán
Nếu ở bất phương trình (1) ta thay dấu “” bởi dấu “” thì cách lập luận không thay đổi, chỉ có
sự thay đổi ở điều kiện (*)
Bài 4 Giải hệ bất phương trình:
Giải
Rõ ràng về mặt hình thức đây là bài toán phức tạp hơn Ta thực hiện việc giải bài toán như giải hệ phương trình đẳng cấp
a) Nếu x = 0 thì hệ là:
2
2
y 0
Thì hệ có nghiệm x 0
y
Trang 5b) Nếu x 0 đặt y = tx Điều kiện t 0
Vì t = 0 thì y = 0 x = 0 (vô lí)
Do đó ta có thể viết lại hệ là:
x 3xy 2y m, m 0 (2)
Thay y = tx vào phương trình (1) ta có: 3x2 - 2tx2 – t2x2 0
t2 + 2t – 3 0
t 1
(*)
Từ bất phương trình (2) ta có x2 – 3tx2 + 2t2x2 = m (3)
a) Nếu 2t2 – 3t + 1 < 0 1 t 12
Thì hệ vô nghiệm vì không thỏa mãn điều kiện (*)
b) Nếu 2t2 – 3t + 1 = 0
1
t 2
t 1
Từ Điều kiện (*) ta có t = 1 Lúc đó m = 0
Phương trình (3) thỏa mãn
c) Nếu 2t2 – 3t + 1 > 0 t 1 t 1
2
Từ phương trình (2) ta có x2 2 m x 2 m
Vậy nghiệm của hệ 2
2
1
m x
2t 3t 1 m
y t 2t 3t 1
2
1
m x
2t 3t 1 m
2t 3t 1
Vấn đề 2 Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình, hệ bất phươngtrình có nghiệm duy nhất.
Lưu ý khi giải:
- Chú ý đến tính đối xứng giữa hai ẩn x và y
Trang 6- Nếu cặp (x0; y0) là một nghiệm thì cặp (- x0; - y0) cũng là nghiệm của hệ hoặc(y0; x0) cũng là nghiệm…
- Tìm điều kiện cần lưu ý x0 = y0 ( x0 = -x0 và y0 = - y0)… Từ điều kiện cần ta tìm được giá trị của tham số
- Thay trực tiếp giá trị tham số vào hệ để có điều kiện đủ
Bài 5 Xác định giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
( Đề thi TTPHHSG Khối 10 Tỉnh ĐakLak – 2000)
Giải
Ta thấy nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ thì (-x0; -y0) cũng là nghiệm
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là 0 0 0
Lúc đó hệ phương trình là: m 0 m 0m 0
Điều kiện đủ với m 0
a) Trường hợp m > 0
Ta có x 0
y 0
là một nghiệm của hệ
y 0
cũng là một nghiệm của hệ Suy ra hệ không thể có nghiệm duy nhất
Vậy m > 0 không thỏa mãn
b) Trường hợp m = 0
2
x y 0
x 0
y 0
y 0
Trang 7Vậy m = 0 hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 6 Xác định giá trị tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
x y m
Giải Nhận thấy nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0 = y0
Lúc đó hệ là: 0
4 0
2 2
m x
m 0 m
x
Điều kiện đủ với m 0
*) Trường hợp m > 0
Do x0 = y0 nên hệ phương trình là:
0
0 0
2
m
Vậy nghiệm của hệ là một khoảng Hệ không thể có nghiệm duy nhất
*) Trường hợp m = 0
Lúc đó hệ phương trình là: x y 04 4 2 2 (1)
Mà x4 + y4 2x2y2 2x2y2 x2y2 x2y2 0 x 0
y 0
Với x = 0 từ bất phương trình (1) y 0
Từ bất phương trình (2) y 0 x 0
y 0
Tương tự với y = 0 ta cũng có x 0 x 0
y 0
Vậy m = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất
Vấn đề 3 Áp dụng điều kiện S 2
4P tìm tham số để hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm.
Trang 8Lưu ý khi giải:
- Biến đổi hệ chỉ chưa tổng x + y và xy
- Gọi S = x + y và P = xy Tacó hệ theo S và P
- Khử một trong hai biến S hoặc P ta được phương trình bậc hai của cùng một ẩn
Bài 7 Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình: x y xy m2 2
(Trích Bộ đề tuyển sinh Đại học- Đề 1/II)
Giải
Ta có hệ phương trình là:
2
x y xy m
Đặt PS x y
xy
Lúc đó hệ là 2
S
S P m (1) 2P m (2)
Điều kiện S2 4P (*)
Từ (*) và (2) ta có S2
4P m + 2P 4P 2P m kết hợp phương trình (1)
Ta có 2(m – S) m S m
2
(3) Mặt khác từ hệ phương trình ta có: S2 – 2(m – S) – m = 0
S2 + 2S – 3m = 0 Gọi f(S) = S2 + 2S – 3m
Ta cần tìm m để f(S) có nghiệm thỏa mãn điều kiện (3)
Giả sử f(S) có hai nghiệm S1; S2 và S1 S2
Ta có f(S) có hai nghiệm thỏa mãn S m
2
1 2
m S S2 m
Trang 9a) Trường hợp 1: 1 2
0
2 m
2 2
2
1 3
Vô nghiệm
b) Trường hợp 2: S1 m S2
2
2
2
4
Vậy 0 m 8 thì hệ phương trình có nghiệm
Bài 8 Xác định m để hệ phương trình x y xy 12 2
x y y x m
có nghiệm Giải
Ta có hệ phương trình
x y xy 1
xy x y m
Đặt S x y
P xy
Điều kiện S2
4P (*)
Lúc đó hệ phương trình là: S P 1 (1)
SP m (2)
Từ (1) ta có SP = S(1 – S) S(1 – S) = m S2 = S – m (3)
từ (*) và (3): S – m 4P = 4(1 – S) 5S m + 4 S m 4
5 (4)
Ta cần tìm m để f(S) = S2 – S + m có nghiệm thỏa mãn (4)
Giả sử S1, S2 là hai nghiệm của f(S), S1 S2
a) Trường hợp 1: m 4
5 < S1 S2
Trang 10m 4
1 m 4
2
1 4m 0
2 m 4 5
b) Trường hợp 2: S1 m 4
5 S2
5
m228m 4 0 14 10 2 m 14 10 2 Vậy m14 10 2 thì hệ phương trình có nghiệm