4 cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn:.. Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổ
Trang 1" CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC"
CHƯƠNG I(tiết 1)
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong
các dấu > , < , ≥, ≤ Ta có: A ≥ B ⇔A - B ≥ 0 A > B A - B > 0.
.Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức
.Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều
Nếu ta có: A > B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
.Nếu ta có: A > B ⇔C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương
.A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt
.A ≥ B là A > B hoặc A = B
.A ≠ B cũng là bất đẳng thức
.Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép Ví dụ: A < B < C
*Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu
đó là bất đẳng thức đúng Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là
" chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng "
II Các tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất 1: a > b và b > c ⇒ a > c.
Tính chất 2: a > b ⇒ a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c ⇔a - c > b.
Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
Tính chất 4: a > b ⇔ ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 )
Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ⇒ ac > bd
Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương ⇒ a n > b n
Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương ⇒n a > n b
Hệ quả: a > b ≥ 0: a2 ≥b2 ⇔a ≥ b⇔ a ≥ b
Tính chất 8: a > b, ab > 0
a
1
⇒ <
b
1
Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒a m> a n
0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ a m < a n
III Các hằng bất đẳng thức.
1) a2 ≥ 0 Dấu " = " xảy ra ⇔a= 0
2) −a2 ≤ 0 Dấu " = " xảy ra ⇔a= 0
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối
.
0
≥
a Dấu " = " xảy ra ⇔a= 0
.
a
a ≥ Dấu " = " xảy ra ⇔ a≥ 0
b
a
b
a+ ≤ + Dấu " = " xảy ra ⇔ab≥ 0
Trang 2b
a
b
a− ≥ − Dấu " = " xảy ra ⇔b(a−b) ≥ 0 ⇔a≥b≥ 0 ;a≤b≤ 0
4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn:
2
2
a + ≥ Dấu " = " xảy ra ⇔a=b.
b a b
a
b
4
1
1
+
≥
+ > 0 Dấu " = " xảy ra ⇔a=b.
( ) 4 2
2
2
ab b
a ab
b
+ Dấu " = " xảy ra ⇔a=b.
b
a
a
b
b
a
,
;
2
≥
+ > 0 Dấu " = " xảy ra ⇔a=b.
(a2 +b2)(x2 + y2)≥(ax+by)2. Dấu " = " xảy ra ⇔ay=bx.
5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng
Bất đẳng thức côsi
Cho n số dương a1,a2, a n. Ta có: 1 2 n 1 2
n
n a a a n
a a
a
≥ + + +
Dấu " = " xảy ra ⇔a1 =a2 = a n.
Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Cho hai bộ số: a1,a2, ,a n. và b1,b2, ,b n. Ta có:
).
)(
( )
2
2 1 2 2 2
2 1
2 2
2
1
Dấu " = " xảy ra
2
2 1
1
n
n
b
a b
a b
a
=
=
=
⇔
CHƯƠNG II
Trang 3MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
I PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC.
A Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
Lập hiệu số: A - B
Chứng tỏ A - B ≥ 0
Kết luận A ≥ B
B Ví dụ.
1) Ví dụ 1 Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2 +b2 +c2 + 3 ≥ 2 (a+b+c).
c b a c
b
a )(1 1 1) 9 ; , ,
Giải:
a) Ta có:
0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 (
2 2 2 )
( 2 ) 3 (
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
≥
− +
− +
−
=
+
− + +
− + +
−
=
−
−
− + +
= + +
− + + +
c b
a
c c b
b a
a
c b a c b a c b a c
b a
Do đó: a2 +b2 +c2 + 3 ≥ 2 (a+b+c).
b) Ta có: ( + + )(1+1+1) − 9
c b a c b
= 1 + + + + 1 + + + + 1 − 9
b
c a
c c
b a
b c
a
b
a
= ( + − 2 ) + ( + − 2 ) + ( + − 2 ).
a
c c
a b
c c
b a
b
b
a
= ( ) ( ) ( ) 0 ; ( , , 0 ).
2 2
2
〉
≥
− +
− +
−
c b a ca
a c bc
c b ab
b
a
Do đó: ( + + )(1+1+1) ≥ 9
c b a c b
2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1
Giải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
= (x2 − 5x+ 4 )(x2 − 5x+ 6 ) + 1
Dặt y= x2 − 5x+ 5, biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y2≥ 0
Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1
II PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Trang 4A Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng
A ≥ B ⇔A1 ≥ B1 ⇔ ⇔ ( * ) Mà ( * ) đúng thì A ≥ B
B Ví dụ
1 Ví dụ 1 Chứng minh các Bất đẳng thức:
a) a + b ≥ a+b .
y x
y
4 1
1
+
≥
Giải:
a) a +b ≥ a+b ⇔ (a + b) 2 ≥ (a+b) 2
⇔a2 + 2a b +bb2 ≥a2 + 2ab+b2
⇔ a b ≥ab⇔ ab ≥ab .( bất đẳng thức đúng ).
Vậy a + b ≥ a+b.
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0 Do đó:
0 4 ) ( 4
) ( 4 4
1
+
≥
+
⇔ +
≥
y x xy
y x y
x
y
x
0 )
( − 2 ≥
⇔ x y , ( bất đẳng thức đúng )
Vậy 1 1 4 .
y x y
x+ ≥ + Với x, y > 0.
2 Ví dụ 2 Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1
Chứng minh rằng: ( 1 +1)( 1 +1) ≥ 9
b a
Giải:
Ta có: ( 1 +1)( 1 +1) ≥ 9
b
ab b
a ab b
b
a
a
9 1 9
1
.
1
≥ + + +
⇔
≥ +
+
ab ab
b
a+ + 1 ≥ 8 ⇔ 2 ≥ 8
4 ) ( 4
1 ≥ ab⇔ a+b 2 ≥ ab
0 )
( − 2 ≥
⇔ a b ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh
C Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn:
a2 ≥b2 ⇔a≥b. Với a, b > 0
m > n ⇔a m> a n Với m, n nguyên dương, a > 1
Cần chỉ rỏ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương
III PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.
A Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức
B Ví dụ.
Trang 51 Ví dụ 1 Cho a + b > 1 Chứng minh rằng: a4 +b4>
8
1
Giải:
Do a+b > 1 ( 1 )
Bình phương hai vế: (a+b) 2> 1 ⇒a2 + 2ab+b2> 1 ( 2 )
Mặt khác: (a−b) 2 ≥ 0 ⇒a2 − 2ab+b2 ≥ 0 ( 3 )
Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: 2 (a2 +b2 )> 1
Suy ra: a2 +b2>
2
1
( 4 )
Bình phương hai vế của ( 4 ): a4 + 2a2b2 +b4>
4
1
( 5 )
Mặt khác: (a2 −b2 ) 2 ≥ 0 ⇒a4 − 2a2b2 +b4 ≥ 0 ( 6 )
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: 2 (a4 +b4 )>
4
1
Suy ra: a4 +b4>
8
1
2 Ví dụ 2 Chứng minh bất đẳng thức: 22 22 22 .
c
a a
b b
c a
c c
b b
a + + ≥ + + Giải:
Ta có: (x−y) 2 ≥ 0 ⇒x2 + y2 ≥ 2xy. Dấu " = " xảy ra ⇔ x= y.
áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
2
2
2
2
2
2
c
a c
b b
a
c
b
b
Tương tự : 2 2
2 2
2
a
b a
c c
b + ≥ ( 2 )
2
2
2
2
2
b
c
b
a
a
c + ≥ ( 3 )
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) Được:
.
) (
2 ) (
2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
b
c a
b c
a a
c c
b b a
b
c a
b c
a a
c c
b b a
+ +
≥ + +
⇒
+ +
≥ + +
Trang 6IV PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
A Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A ≥ B
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Chứng minh rằng:
n n
1
2
1 1
+
+
1
( Với n∈N,n> 1 ).
Giải:
Ta có:
1
1
+
2
1 1
n n
n = + Tương tự:
2
1
+
n > .
2
1
n
.
2
1 2
1
n
n ≥
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm.
2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng: 2 2 12
3
1 2
1 1
n
+ + +
n n
Giải:
Ta có: 2 2 12
3
1 2
1 1
n
+ + +
4 3
1 3 2
1 2 1
1
+ + + + +
n
n =
1
1 1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
1
+
− + +
− +
− +
−
n
1 1
1 1
+
= +
−
n
n
V PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG.
A Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí Như vậy, ta
đã dùng phương pháp phản chứng
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Cho a2 +b2 ≤ 2 Chứng minh rằng: a+b≤ 2
Giải: Giả sử a+b > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được:
2
a + + > 4 ( 1 )
Mặt khác ta có:
Mà: 2(a2 +b2 ) ≤ 4 ( giả thiết ), do đó a2 + 2ab+b2 ≤ 4 ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 )
Vậy phải có a+b≤ 2
2 Ví dụ 2 Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
0 2
; 0 2
;
0
a
Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai Thế thì ta có:
bc
a2 + 2 < 0; b2 + 2ac< 0; c2 + 2ab< 0
ab c
ac b
bc
a2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
⇒ < 0 ⇔ (a+b+c) 2< 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai Vậy
phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng ( đpcm )
VI PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ.
Trang 7A Kiến thức cơ bản.
Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1 Với a ,,b c > 0 Chứng minh rằng:
a) Nếu a< b thì:
b
a
<
c b
c a
+
+ b) Nếu a≥b thì: .
c b
c a b
a
+
+
≥ Bài toán 2 Với x ,,y z > 0 Chứng minh rằng:
a) .
) (
4 1
2
y x
xy ≥ + b) 1 1 4 .
y x y
x + ≥ + c) 1 1 1 9 .
z y x z y
x + + ≥ + +
* Chú ý:
Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ) Khi dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Cho a ,,b c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+
Giải:
Vì a ,,b c là ba cạnh của một tam giác nên a< b+c , theo bài toán 1a) ta có:
c b
a
2
c b a
a c
b a
a a
+ +
= + +
+
( 1 )
tương tự:
a c
b
+ < .
2
c b a
b
+ + ( 2 ).
b a
c
+ < .
2
c b a
c
+ + ( 3 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+
) (
+ +
+ +
c b a
c b a
2 Ví dụ 2 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
.
) (
1 8
1 4
4
1
2 2
Giải:
Vì a, b> 0 ⇒ 4a2 + 4b2> 0 và 8ab > 0 Theo bài toán 2b) ta có:
) (
1 )
( 4
4 8
4 4
4 8
1 4
4
1
2 2
2 2 2
3.Ví dụ 3 Cho a ,,b c > 0 Chứng minh rằng: 3 .
2
1 2
1 2
1
c b a a c c b b
a+ + + + + ≥ + + Giải:
Vì a ,,b c > 0 ⇒ 2a+b> 0; 2b+c> 0; 2c+a > 0
Theo bài toán 2c) ta có:
Trang 83 )
( 3
9 2
2 2
9 2
1 2
1
2
1
c b a c b a a c c b b a a c c b
b
VII PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau:
Bài toán 1 Chứng minh rằng:
a) a + b ≥ a+b Dấu " = " xảy ra khi ab≥ 0
b) a − b ≤ a−b Dấu " = " xảy ra khi b(a−b) ≥ 0
Bài toán 2 Chứng minh rằng nếu x,y≠ 0 thì:
+ ≥ + ≥ 2
x
y y
x x
y y
x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x= ±y.
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1) + ≥ 2
m
n n
m
2) + 1 ≥ 2
m m
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Chứng minh rằng: x+ y+z ≤ x + y + z .
Giải:
Từ bài toán 1a) ta có: x+ y+z ≤ x+y + z ≤ x + y + z .
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng: a1+a2 + +a n ≤ a1 + a2 + + a n
2 Ví dụ 2 Cho a,b≠ 0 Chứng minh rằng: 2 3 ( ) 4 0
2 2
2
≥ + +
− +
a
b b
a a
b b
a
Giải:
Đặt x=
a
b
b
a + , ta có: x ≥ 2 ( theo bài toán 2 )
2 2
2 2
2
+
−
= +
+
−
+
= + +
−
a
b b
a a
b b
a a
b b
a a
b b
a
= (x− 2 )(x− 1 ) ≥ 0 Vì
≥
−
≤
⇔
2
2
x
x
0 4 3
0 ) 1 )(
2
+
− +
⇔
≥
−
−
⇒
a
b b
a a
b b
a z
3 Ví dụ 3 cho a ≤ 1 ,a−c ≤ 2008 ,b− 1 ≤ 2009 Chứng minh rằng:
ab−c ≤ 4017
Giải:
Vì: a ≤ 1 ,b− 1 ≤ 2009 ⇒ a b− 1 ≤ 2009 ⇒ ab−a ≤ 2009
Mà: a−c ≤ 2008 Suy ra: ab−a + a−c ≤ 4017
Theo bài toán 1) ta có: ab−c = (ab−a) + (a−c) ≤ ab−a + a−c
Vậy: ab−c ≤ 4017
VIII PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG,
BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ.
Trang 9A Kiến thức cần nhớ.
Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của
tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ):
1) 2 (x2 +y2 ) ≥ (x+ y) 2 ≥ 4xy
2) 3 (x2 +y2 +z2 ) ≥ (x+y+z) 2 ≥ 3 (xy+ yz+zx)
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1 Chứng minh rằng: x4+ y4≥
8
1
Giải:
Áp dụng bài toán 1) ta có:
8
1 2
2
) (
2
) (
2 2 2
2 4
+
≥
+
≥ +
y x y
x y
2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng: a4 +b4 +c4 ≥abc(a+b+c)
Giải:
Áp dụng bài toán 2) ta có:
) (
) )(
( ) )(
( ) )(
(
4 4 4
2 2 2 2 2 2 4 4 4
c b a abc c
b a
ab ca ca bc bc ab a
c c b b a c b a
+ +
≥ + +
⇒
+ +
≥ +
+
≥ + +
IX PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG.
A Phương pháp.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X =
n
A
A
A1 2 và Y = B1B2 B n hoặc X = A1+ A2 + +A n và Y = B1+B2 + +B nvới
) , ,
2
,
1
(
,B i n
A i i = là đa thức, phân thức mà các biểu thức A , i B i có chung quy luật Dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức riêng A1 ≥B1, ,A n ≥B n ⇒ A i ≥B i
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Cho a ,,b c> 0 Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c.
a
c c
b b
a + + ≥ + + Giải:
Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng: a b
b
a
−
≥ 2
2
( 1 )
Ta có: 2 2ab a2 2ab b2
b
a ≥ ⇔ ≥ − (vì b > 0 )
0 ) ( 0
⇔a ab b a b ( bất đẳng thức luôn đúng ).
Vậy ( 1 ) được chứng minh !
a
c c b c
b ≥ 2 − ; ≥ 2 −
2 2
( 2 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm
2 Ví dụ 2 Cho a ,,b c > 0 Chứng minh rằng:
3
2 2
3 2
2
3 2
2
ca a c
c bc
c b
b ab
b
a
+ +
+ + +
+
+
Giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng:
3
2
2 2
ab b a
+
Ta có ( 1 ) ⇔ 3a3 ≥ ( 2a−b)(a2 +b2 +ab)
Trang 100 ) )(
(
0
2 2
2
3
2
2 2
3
3
2 3 2 2 2 3
3
≥
−
+
⇔
≥
−
−
+
⇔
−
−
− +
+
≥
⇔
b a
b
a
ab b a
b
a
ab b b a b a ab a
a
Vậy ( 1 ) đúng
Tương tự
3
2
2 2
bc c b
+
3
2
2
2
ca
a
c
+
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm.
X PHƯƠNG PHÁP XÉT TỪNG KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA BIẾN.
A Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Chứng minh rằng: x8 −x7 +x2 −x+ 1 > 0
Giải:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức
Cách 1 * Nếu x≥ 1 thì A = x7 (x− 1 ) +x(x− 1 ) + 1 > 0
* Nếu x < 1 thì A = x8 +x2 ( 1 −x5 ) + ( 1 −x) > 0.
Vậy ta có đpcm
Cách 2 A = x7 (x− 1 ) − (x− 1 ) +x2 = (x− 1 )(x7 − 1 ) +x2
* Nếu x≥ 1 ⇒x7 ≥ 1 ⇒ (x− 1 )(x7 − 1 ) ≥ 0, mà x2 > 0 Nên A > 0
* Nếu x < 1 ⇒x7< 1 (x− 1 )(x7 − 1 ) > 0, còn x2 > 0 Nên A > 0
2 Ví dụ 2 Cho a,b,c∈R, thoả mãn: a+b+c≥abc
Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 ≥abc
Giải:
Xét hai trường hợp:
1) a ≥ 1 ,b ≥ 1 ,c ≥ 1 ⇒a2 +b2 +c2 ≥a+b+c≥abc
2) Trong ba số a,b,c có ít nhất một số nhỏ hơn 1 Không giảm tính tổng quát, giả
sử c < 1 Ta có a2 +b2 +c2 ≥a2 +b2 ≥ 2ab ≥ abc ≥abc
XI PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
A Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán quen thuộc dẫ biết cách giải
B
A B
A B
A
n
n ≥ + + +
2
2 1
1
.
( h là hằng số, A1, ,A n,B1, ,B n là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách đổi biến m1 =B1,m2 =B2, ,m n = B n, sau đó biểu diễn A1 theo m1,m2, ,m n sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau:
Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì + ≥ 2
x
y y
x
B Ví dụ.
1 Ví dụ 1 Chứng minh rằng: ( x+ 2007)4 + ( x + 2009 )4 ≥ 2
