Ôn thi phần Lượng giác

[ sửa ] Định nghĩaXem thêm các hàm lượng giác [ sửa ] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị: Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: với Các

[ sửa ] Định nghĩa

Xem thêm các hàm lượng giác

[ sửa ] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).

[ sửa ] Tổng và hiệu của góc

Xem thêm Định lý Ptolemaios

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler

với

và

[ sửa ] Công thức góc bội

[ sửa ] Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy

[ sửa ] Tổng quát

Nếu T n là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet D n (x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

Hay theo công thức hồi quy:

sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x)

cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x)

[ sửa ] Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3(x)

cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x)

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

[ sửa ] Công thức góc chia đôi

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu

được:

Dẫn đến:

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản

hóa:

Suy ra:

Nếu

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa

sin(x) và cos(x) thành hàm của t Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng

[ sửa ] Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra

[ sửa ] Biển tổng thành tích

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:

[ sửa ] Dạng số phức

với

[ sửa ] Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

[ sửa ] Đẳng thức số

[ sửa ] Cơ bản

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:

Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:

hay dùng công thức Euler:

Một số đẳng thức khác:

Dùng tỷ lệ vàng φ:

[ sửa ] Nâng cao

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

[ sửa ] Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm: