Tìm giá trị của m để 3 điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng.. Chứng minh rằng sinα = cosα.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là trực tâm.. Qua H vẽ một đường thẳng cắt các cạnh
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
Vòng I - Năm học 2010-2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 30/11/2010
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu I (4,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = P− x nhận giá trị nguyên
Câu II (6,0 điểm)
1 Giải các phương trình sau: x+ −11 x− =4 3
2 Tìm các số x, y, z biết x y z+ + −2( x+2 y− +1 3 z− + =2) 11 0
3 Cho a, b, c là 3 số thỏa mãn abc ≠0; a + b + c ≠0 và 1 1 1 1
a b c+ + = a b c
+ + Chứng minh rằng 20111 20111 20111 2011 20111 2011
Câu III (2,0 điểm)
Cho 3 điểm có toạ độ A(-1; 4); B(1; -2) và C(1 ; - 2)
2m m Tìm giá trị của m để
3 điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng
Câu IV (6,0 điểm)
1 Cho α là một góc nhọn thoả mãn sinα + cosα = 2
Chứng minh rằng sinα = cosα Tính α ?
2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là trực tâm Qua H vẽ một đường thẳng cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và K sao cho HI = HK Qua H vẽ đường thẳng khác vuông góc với IK và cắt cạnh BC tại D
a) Chứng minh BD HD
AH = HK .
b) Chứng minh D là trung điểm của cạnh BC
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh rằng nếu tg·ABC tg ·ACB = 3 thì GH// PD
Câu V (2,0 điểm)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n 4 + 4 n là hợp số
======== Hết ========
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
T-DH01-HGS9I-10
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Vòng I - Năm học 2010-2011
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 30/11/2010
(Hướng dẫn gồm 05 trang)
Câu Phần Nội dung Điểm
CâuI
(4đ)
1.
1 (. 1)( 1) 1
1
2 1
x x
+ +
+
=
−
Vậy P = 2
1
x x
+
− với x≥0, x≠1
0,5 0,5
0,5 0,5
2.
(2đ)
3 1
1
x
+
Để M nguyên thì 3
1
x− phải có giá trị nguyên.
Mặt khác khi x là số nguyên (thoả mãn điều kiện x≥ 0, x≠ 1) thì
x hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ
(nếu x không là số chính phương)
Để 3
1
x− là số nguyên thì x không thể là số vô tỉ, do đó x
phải là số nguyên, suy ra x - 1 là ước của 3
0,5
Ta xét các trường hợp:
+) x - 1 = 3 ⇒ x = 4 ⇒ x = 16 ∈Z và thoả mãn ĐKXĐ
+) x - 1 = -3 ⇒ x = - 2 < 0 (loại)
+) x - 1 = 1 ⇒ x = 2 ⇒ x = 4∈Z và thoả mãn ĐKXĐ
+) x - 1 = -1 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0∈Z và thoả mãn ĐKXĐ
0,75
Vậy với x = 16; x = 4 hoặc x = 0 thì biểu thức M = P - x nhận
Câu II
(6đ)
1.
(2đ) x+ −11 x− =4 3 (1)
0,5
T-DH01-HGS9I-10
Trang 3ĐKXĐ 11 4
4
x
x x
≥ −
≥
Ta có (*) ⇔ x+ = +11 3 x−4
Vì hai vế của phương trình đều dương, bình phương 2 vế ta được
4 1
4 1
x x x
⇔ = −
⇔ − =
5
x
⇔ = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm x = 5
0,25 0,25
2.
(2đ)
x y z+ + − x+ y− + z− + = (2)
(2) ⇔ x−2 x y+ −4 y− + −1 z 6 z− + =2 11 0
⇔ x−2 x+ + − −1 y 1 4 y− + + − −1 4 z 2 6 z− + =2 9 0
⇔ ( x−1)2+( y− −1 2)2+( z− −2 3)2 =0
0,25
0,5
2 2 2
⇒ − − = ⇔ − − = ⇔ − =
0,5
⇒
1
5
11
x y z
=
=
=
(tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
Vậy x = 1; y =5; z = 11
0,5
3.
(2đ)
a b
0 0 0
0,25
0,5
0,25 Nếu a = - b thì a2011 = -b2011
2011 2011 2011 2011 2011 2011
và 2011 20111 2011 20111
0,25
Trang 4Do vậy 20111 20111 20111 2011 20111 2011
Chứng minh tương tự với các trường hợp b = - c; a = - c
ta cũng có 20111 20111 20111 2011 20111 2011
Vậy với a, b, c là 3 số thỏa mãn abc ≠0; a + b + c ≠0 và 1 1 1 1
a b c+ + = a b c
+ + thì 20111 20111 20111 2011 20111 2011
0,25
0,5
CâuIII
(2đ)
Giả sử phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1; 4), B(1; -2) có dạng y = ax + b
Do đó ta có 4 = - a + b (1) -2= a + b (2)
0,5
Cộng đẳng thức (1) và (2) vế theo vế ta được 2b = 2 => b =1 Thay b = 1 vào (1) ta được a = -3
Vậy đường thẳng AB có phương trình là y = - 3x + 1
0,5
Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì đường thẳng AB phải đi qua điểm C => m -2 = -3 1
⇔ m + 3
2
m
= 3 ⇔ 5 3 6
m
m
= ⇔ =
Vậy m = 6
5 thì 3 điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng
0,5
CâuIV
(6đ) (1,5đ) 1.
sinα + cosα = 2 ⇔ (sin α +cos ) α 2 = 2
sin α 2sin os αc α cos α 2
1 2sin osα c α 2
1 sin os
2
c
α α
0,5
2
2
(sin α cos ) α 0
Suy ra sinα−cosα = ⇔0 sinα =cosα
0,5
Lại có sinα = cos (900-α ) => cos (900-α ) = cosα
=> 900 -α = α => α = 450
(Học sinh có thể tính bằng cách:
từ sin α =cos α suy ra sinα = 2
2 => α = 45 0 )
0,5
Trang 5(4,5đ)
a)
(1,5đ)
Ta có: ·HBD HAK= · (cùng phụ với góc C) (*)
·AHK =IHP· (đối đỉnh) (1)
Mà IHP BDH· = · (cùng phụ với góc DHP) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ·AHK = ·BDH (**)
Từ (*) và (**)⇒ ∆BDH : ∆AHK g g( − )
Suy ra BD HD
AH = HK (đpcm)
0,5
0,5 0,5
b)
(1,5đ)
Ta có: ·IAH =DCH· (cùng phụ với góc B) (***)
IHA AHK· +· = 180 0 (kề bù)
CDH BDH· +· = 180 0 (kề bù)
Do ·AHK =BDH· (câu a) nên ·IHA CDH=· (****)
Từ (***) và (****) ⇒ ∆CHD: ∆AIH (g - g)
Suy ra CD HD
AH = HI
Mặt khác HI=HK (giả thiết) => HD
HI = HD
HK
Do vậy BD
AH = CD
AH (cùng bằng HD
HI và HD
HK ) Suy ra DB = DC => D là trung điểm của BC
0,5
0,5
0,5
c)
(1,5đ) Ta có tg ·ABC = AP
BP
Do ·ACB BHP=· (cùng phụ với góc HBP) tg ACB tg BHP· · BP
HP
Ta có tg·ABC tg·ACB = AP
BP BP
HP= AP
HP
Suy ra tg·ABC tg·ACB = 3 => AP
HP = 3 (3) Mặt khác do G là trọng tâm của tam giác ABC, D là trung điểm
của BC nên A, G, D thẳng hàng và AD 3
GD= (4)
0,5
0,5
.G
A
Q K
I
H
C
Trang 6Từ (3) và (4) suy ra AP
HP= AD
Câu V
(2đ)
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì n có dạng:
n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0
+ Xét trường hợp n = 2k, ta có n 4 + 4 n = ( k ) 4 + 4 k lớn hơn 2 và chia hết cho 2
Do đó trong trường hợp n = 2k thì n 4 + 4 nlà hợp số
+ Xét trường hợp n = 2k+1, tacó:
( 2.4 ) (2 .2 ) ( 2.4 2 .2 )( 2.4 2 .2 )
= (n2 + 4k + 4k +2 .2k
n )(n2 + 4k + 4k -2 .2k
n )
= (n2 + 2.n.2k + 22k + 22k )(n2 – 2.n.2k + 22k + 22k)
= [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ]
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 và k là một số tự nhiên lớn hơn 0
Thì mỗi thừa số [( n +2k)2 + 22k ] và [(n – 2k)2 + 22k ]đều lớn hơn hoặc bằng 2
Do đó trong trường hợp n = 2k+1 thì n 4 + 4 ncũng là hợp số Vậy với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì n 4 + 4 n là hợp số
0,5
0,5
0,5 0,5
* Ghi chú: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
======== Hết ========