PHÒNG GIÁO DỤC .... THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS .... Vẽ đường kính EOF.. Gọi M là giao điểm của AF với BC.. Gọi M là một điểm nằm trong ABC và P là chu vi của tam giác đó
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS NĂM HỌC 2010 -2011
Môn : TOÁN – LỚP 9
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
A_Phần trắc nghiệm : (2điểm)
Chọn đáp án trong các phương án trả lời sau:
Câu 1: (1điểm)
Biểu thức 42 3 4 2 3 có giá trị là:
a) 2 3 ; b) 3 ; c) -2 3 ; d) 2
Câu 2 : (1điểm)
Số đo góc A trong hình vẽ là:
a) 550 ; b) 650 ; c) 750 ; d) 850
B_Phần tự luận : (18điểm)
Bài 1: (4điểm)
a) (2điểm) Tìm x ; y ; t thoả mãn hệ phương trình:
1
2
2
t xy
y x
b)(2điểm) Giải phương trình :
x2 – 2x – 4y + y2 + 5 = 0
Bài 2: (5điểm).
Cho biểu thức :
) 1 ( 2
1 1
2 )
1 ( 2
1
3
2
a a
a
a
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của a để A>0
c) Tìm a để A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3 : (5điểm).
Cho ABC ( cả 3 góc đều nhọn ) nội tiếp đường tròn tâm o Đường phân giác của góc A cắt BC tại D cắt (o) ở E Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I Vẽ đường kính EOF Gọi M là giao điểm của AF với BC
a) Chứng minh AID cân
b) Chứng minh AF AM = AE AD
c) Chứng minh M đối xứng với D qua I
Bài 4: (4điểm)
Gọi M là một điểm nằm trong ABC và P là chu vi của (tam giác) đó
Chứng minh : P AM BM CM P
2
-HẾT -A
B
E
F
O
20 0
30 0
CHÍNH TH C
ĐỀ CHÍNH THỨC ỨC
Trang 2ÁP ÁN : thi h c sinh gi i môn toán
ĐÁP ÁN : Đề thi học sinh giỏi môn toán ĐÁP ÁN : Đề thi học sinh giỏi môn toánề thi học sinh giỏi môn toán ọc sinh giỏi môn toán ỏi môn toán
A_ Phần trắc nghiệm :
Câu 1 : d)
Câu 2 : b)
B_ Phần tự luận :
Bài 1:
1 )
2 (
2 1
2
2
y x
t xy
y x
2 2 2
2 00
1 2
2
t y
y x
t y y
y x
Từ phương trình (2) : Vì 2 0
t và ( 1)2 0
t y
0
1 0
0 ) 1 (
2
2
t
y t
y
Thay y=1 vào phương trình (1) x=1 Vậy nghiệm của hệ là :
(x=1 ; y=1 ; t = 0)
b) x2 – 2x – 4y + y2 +5 = 0
( x2 - 2x +1) + ( y2 + 4y +4) =0
( x – 1 )2 + ( y – 2 )2 = 0
2
1 0
) 2 (
0 ) 1 (
2
2
y
x y
x
2
1
2 )
1 ( 2
1 )
1 ( 2
1
a
a a
) 1 )(
1 ( 2
2 )
1 ( 2
1 1
2 2
a a a
a a
a a
1
1 )
1 )(
1 (
1 )
1 )(
1 ( 2
2 )
1
(
1
2 2
2 2
a a a
a a
a a
a a
a a
4
3 ) 2
1 (
2
a a
1
1
a
1
1
a = 0 hay A đạt GTNN la -1 khi a = 0
Bài 3: Vẽ hình đúng , ghi được giả thiết và kết quả được
Điểm 1 1
0,25 0.25 0,5
0,5
0,5
0,75 0,75 0,5 0,5 0,5
1
0,5 1 1,5
0,5
(1) (2)
E
A
I
F
0
A
B
C N
M
Trang 3Chứng minh :
a) C/m AID cân
Sđ IAD
2
1
Sđ(AB + BE) (góc giữa 1 tiếp tuyến và 1dây cung )
Sđ ADI =
2
1
Sđ(AB + EC) (góc có đỉnh nằm trong đường tròn mà EB
= EC ) ( Vì AD là phân giác)
IAD = IDA hay IAD cân tại I
b) C/m AF.AM =AE AD
EOF là đường kính
EB = EC EF BC
EAF = 1V (Góc nội tiếp chắn giữa đường tròn)
M = E ( Góc có cạch tương ứng vuông góc)
AE
AM AF
AD
c) C/ m : M đối xứng với D qua I
AEF = FAX ( cùng chắn cung AF )
Mà FAX = IAM (đđ) M = A1 IAM cân tại I
IM = IA mà IA = ID IM = ID
I ;M ; D thẳng hàng M đối xứng với D qua I (đpcm)
Bài 4 : Sử dụng bất dẳng thức về cạch trong tam giác ta có:
BA < MA + MB
BC < MB + MC
AC < MA + MC
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có :
BA + BC + AC < 2( MA + MB + MC) hay P < 2( MA +MB +MC)
2
P
< MA + MB + MC (1)
Kéo dài BM cắt AC tại N Ta sẽ C/m : MB + MA < CB + CA
Thật vây : AM < AN + MN
BN <BC + CN
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta có :
AM + BM < AN + MN + BC +CN
Hay AM + BM + MN < AC + BC + MN AM + BM < AC + BC (a)
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
1 0,5 0,5
0,75
0,75 0,75
0,75 0,5
0,5
Trang 4Tương tự MB + MC < AB +AC (b)
MA + MC < BA + BC (c)
Cộng vế với vế của (a) ,(b) ,( c) ta có:
MA + MB + MC < AB + BC + CA hay MA + MA + MC < P (2)
Từ (1) và(2) ta được
2
P
< MA + MB + MC < P
