Gọi M là một điệm bât kỳ trên đường thăng đi qua các trung điêm cua AB và AC.. Kẻ tiêp tuyên MK của đường tròn O.. Ching minh MK = MA... Giao điểm của OA và PQ là I.. AB va AC la hai tié
Trang 1PHONG GD-DT NINH HOA KY THI CHON HOC SINH GIOI HUYEN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3đ) Chứng minh đăng thức: \5- \J3- AJ29- 122/5 = cotg45”
, x- J4(x- 1) + xt /4(x- 1)
Bai 2: (4d) Cho biêu thức @ -_ J
J x - 4(x- 1) a) Tim diéu kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biêu thức Q
j-
xe]
yvx-l+xJy- 4
Bài 3: (3,58) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 =————————*———
xy
XÃ" }Z — y`¬XZ x(1- wz) y(1- xz)
voi x #y, yz #l,xz #Lx #0, y #0,z #0
1 1 1
thì *tytz =—+—+t-
x yz Bài 5: (3,75d) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 45°
sao cho các cạnh của góc này lân lượt căt AB, AC tại E, F
Chứng minh răng: Š„„„; < 77> AABC
Bài 4: (3.75) Chứng minh răng nếu
Bai 6: (2d) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điêm) Gọi M là một điệm bât kỳ trên đường thăng đi qua các trung điêm cua AB và
AC Kẻ tiêp tuyên MK của đường tròn (O) Ching minh MK = MA
Trang 2HUONG DAN CHAM MON TOAN
KY THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
2
jM5- \3- v29- 122/5 =5: \3- J(2x/5 - 3]
0,5d
=\N5- x6- 265
0,75d
2
= cotg45°
2b
0 yx- J4(x- 1) + fxt fax 1) Ị l
x - 4(x- 1) x- 1
_ flee )- 2Vx- 1414 (x- 1) +2Ve-141 x-2 0.754
2 2
CÁ x- 1-1) + lve 1 +1) 2
Nx-1-l[+Vx- 1+1 x.2
ee lx- 2| x- 1 0,754
Ó=
2
* Néux > 2 taco:
_Vx-1-14+vx-141 x-2 0,25
O=
_ Nx l +V}- 4
Ap dung bất đăng thức Côsi cho hai số không âm,
Trang 3
0,75d
0,5đ
y-4 TL
=> <— (vì y dương)
Suyra:M= * - + <t,1_3
Vậy giá trị lớn nhất của M là T * x=2,y=8 0,5đ
XM - yr _— y`-xz
x(1- yz) y(1- xz)
@ (x?y- xy”) - (x8 yz- ay*z) +(9°2- y2z) - (2732? - ay?z?) =0
= xy(x- y)- xyz(x?- y?) +2(x?- y?)- xyz?(x- y) =0 0,54
© xy+xz +yz =xyz(x+y) +xyz”
x yp Z
B
M
TEX
A" EO C
Kẻ MP 1L AB tại P, MQ L ÁC tại Q:
Ke Ex // AC, EC cat MQ tai K va cat MF tai N 0,25đ
Do Z EMF = 45° nén tia ME, MF nam gitta hai tia MP va MQ 0,25đ
]
và Szy < SAosy =7 So ark (Saren <Saoex VÌ có cùng chiéu cao nhung day EN béhon | 0,5d
day EK)
0,5đ
1 Suy ra: Sayer tS acen <5 Sapmo © Sver <5 Supmo (*) 0,5d
Trang 4
1 Chứng minh được: 5,,„„; 5 AMAB
ĐA/4O 2 Samac
— S spao == Sago (CF)
Tur (*) va (**) taco: Saver < sc
B
P
O
K
M
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC Giao điểm của OA và PQ là I
AB va AC la hai tiép tuyén nén AB = AC và AO là tia phân giác của <“ BÁC
= APAQ can 6 A va AO 1 PQ
MK? = (MP + OI?)— R’? (A MOI vu6ng tai I)
MK? = (MI + OL) — (OP? — PB?) (A BOP vuông tại B)
MK? = (MI? + OP) — [(OF + PP) — PA2] (AIOP vuông tai I va PA = PB) 0,25d MK? = MI? + OP — OF + (PA? — PP)
MK?=MI + AI? (AIAP vuông tai I) 0,25d
0,25d
0,25d