Bài giảng phương trình vi phân

Phương trình vi phân phân li biến số • Kx, y = 0 thoả mãn phương trình vi phân được gọi là nghiệm ẩn • y = fx, c thoả mãn phương trình vi phân được gọi là nghiệm tổng quát • y = ϕx tho

1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

BÀI 1 A CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

§ 1.1 Các phương trình vi phân và mô hình toán học

I ĐẶT VẤN ĐỀ

• Các quy luật trong vũ trụ đều được viết theo ngôn ngữ Toán học

• Môn Đại số đủ để giải rất nhiều bài toán tĩnh

• Tuy nhiên, hầu hết các hiện tượng tự nhiên đáng quan tâm lại liên quan

tới sự biến đổi và thường được mô tả bởi các phương trình có liên quan

đến sự thay đổi về lượng, đó là phương trình vi phân

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Định nghĩa. Phương trình chứa một hàm chưa biết và một hay nhiều đạo hàm

của nó được gọi là phương trình vi phân

Hình 1.1.4 Quá trình mô hình toán

Ví dụ 1. Suất biến đổi theo thời gian của dân số P ( t ) trong nhiều trường hợp

đơn giản với tỷ lệ sinh, tử không đổi thường tỷ lệ với số dân Nghĩa là:

trong đó, k là một hằng số dương Nhận thấy rằng nếu T > A, thì dT/dt < 0,

do đó nhiệt độ là một hàm giảm theo t và vật thể nguội đi Nhưng nếu T <

A, thì dT/dt > 0, và T sẽ tăng lên

Hình 1.1.1. Quy luật giảm nhiệt của Newton, Phương trình (2) mô tả một hòn đá nóng bị nguội đi trong nước

3

Vậy, một quy luật vật lý đã được diễn giải thành một phương trình vi phân Nếu ta đã biết các giá trị của k và A, thì ta có thể tìm được một công thức tường minh cho T(t), rồi dựa vào công thức đó, ta có thể dự đoán nhiệt độ sau đó của vật thể

Định nghĩa Bài toán giá trị ban đầu

( , )

dy

f x y

dx = , y(x0) = y0

III MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

1 Kiểm tra hàm số là nghiệm của phương trình vi phân

• 5(tr 23).y' = y + 2e−x, y = e x − e−x

+) y' = e x + e−x

+) y + 2e−x = e x + e−x = y'

• 7 (tr 23). Các hàm y1 = e xcosx, y2 = e xsinx, y'' − 2y' + 2y = 0

+) y′1 = e x (cosx − sinx)

+) y′′1 = − 2e x sinx

+) y′′1 + 2y1 = −2e x sinx + 2e x cosx

= 2e x (cosx − sinx) = 2 y′1

+) Tương tự có: y′2 = e x (sinx + cosx); y′′2 = 2e x cosx

2

y′′ + 2y2 = 2e x cosx + 2e x sinx = 2 y′2

2 Kiểm tra hàm số là nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện ban

3) Tìm nghiệm có dạng cho trước hoặc dự đoán nghiệm

• 15 (tr 23) Tìm nghiệm của phương trình y'' + y' − 2y = 0 dưới dạng y = erx

y = g(x, C) là nghiệm tổng quát (1) ⇔ g(x, C) thoả mãn (1) với C tuỳ ý

Định nghĩa Hàm y thoả mãn phương trình = ( )

x

dy

f x

d với điều kiện y(x0) = y0

được gọi là nghiệm riêng

Ví dụ 3. Bài toán người bơi

Hình 1.2.5 Bài toán về người bơi

Phương trình vi phân cho quỹ đạo của người bơi qua sông là = 0( − 2)

7

• 9(tr 35).

2

11

1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài 1B

§ 1.3 Trường độ dốc và các đường cong nghiệm

• Sự tồn tại, duy nhất nghiệm • Một số dạng toán cơ bản

d ⇒ y = f(x, y(x)) ⇒ y = ∫f x y x d( , ( )) x chưa phải là nghiệm

II Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lí 1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

với f(x, y), f y(x, y) liên tục trên hình chữ nhật R nào đó ⊃ (a, b) ở bên trong, khi

đó trên khoảng mở chứa a bài toán (1) có nghiệm duy nhất xác định trên I

y gián đoạn tại (0 ; 0)

• Có hai nghiệm thoả mãn: y1 = x2; y2 = 0

- Vi phạm giả thiết định lí có thể làm bài toán vô nghiệm

• y(0) = 1, không có c nào ⇒ vô nghiệm

- Có hay không phương trình vi phân không thoả mãn giả thiết và có duy nhất nghiệm?

1( , )

3

§ 1.4 Phương trình vi phân phân li biến số và ứng dụng

• Phương trình vi phân phân li biến số • Một số dạng toán cơ bản

I Đặt vấn đề

- ax2 + bx + c = 0 ⇒ = − ± ∆

2

b x

a nếu ∆ ≥ 0

- Có hay không cách giải đối với phương trình vi phân?

II Phương trình vi phân phân li biến số

• K(x, y) = 0 thoả mãn phương trình vi phân được gọi là nghiệm ẩn

• y = f(x, c) thoả mãn phương trình vi phân được gọi là nghiệm tổng quát

• y = ϕ(x) thoả mãn phương trình vi phân nhưng không thể nhận được từ nghiệm tổng quát với bất cứ C nào được gọi là nghiệm kì dị

A là lượng đô la trong quỹ tiết kiệm tại thời điểm t, tính theo năm

r là tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm

x

C

−+

=

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài 2A

§ 1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

• Dạng toán cơ bản

I Đặt vấn đề

• Phương trình đại số tuyến tính cấp một ax = b luôn giải được

• Liệu có thể xây dựng được cách giải đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp một hay không?

II Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

1 Định nghĩa dy

dx + P(x) y = Q(x) (1)

2 Phương pháp giải

• Tính thừa số tích phân ρ( )x =e∫P x dx( ) ,

• Nhân hai vế của phương trình vi phân với ρ(x),

• Đưa vế trái của phương trình được xét về dạng đạo hàm của một tích:

rồi giải theo y để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Ví dụ 1 Giải bài toán giá trị ban đầu 11 / 3

x dy x x

dx

• Định lý 1 cho ta biết mọi nghiệm của phương trình (1) đều nằm trong nghiệm

tổng quát cho bởi (3) Như vậy phương trình vi phân tuyến tính cấp một không

Ví dụ 4. Giả sử hồ Erie có thể tích 480 km3 và vận tốc của dòng chảy vào (từ

hồ Huron) và của dòng chảy ra (vào hồ Ontario) đều là 350 km3 / năm Giả sử

tại thời điểm t = 0 (năm), nồng độ ô nhiễm của hồ Erie – mà nguyên nhân là ô

nhiễm công nghiệp và nay đã được giảm bớt – bằng 5 lần so với hồ Huron Nếu dòng chảy ra đã được hoà tan hoàn toàn với nước hồ, thì sau bao lâu nồng độ

ô nhiễm của hồ Erie sẽ gấp 2 lần hồ Huron ?

• Phương trình vi phân phân ly biến số: dx rc r x

Ví dụ 5. Một bình dung tích 120 gallon (gal) lúc đầu chứa 90 lb (pao-khoảng 450g) muối hoà tan trong 90 gal nước Nước mặn có nồng độ muối 2 lb/gal chảy vào bình với vận tốc 4 gal/phút và dung dịch đã được trộn đều sẽ chảy ra khỏi bình với vận tốc 3 gal/phút Hỏi có bao nhiêu muối trong bình khi bình đầy?

90

120

III Dạng toán cơ bản

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

• 3 (tr 89) Giải phương trình y' + 3y = 2x.e−3x

• 9(tr 90) Giải: xy' − y = x, y(1) = 7

§ 1.6 Phương pháp thế và phương trình vi phân toàn phần

• Chẳng hạn, một máy bay xuất phát từ điểm (a, 0) đặt ở đúng phía Đông của

nơi nó đến, là một sân bay đặt tại gốc tọa độ (0, 0) Máy bay di chuyển với vận tốc không đổi v0 liên quan đến gió, mà thổi theo đúng hướng Nam với vận tốc không đổi w Như đã thể hiện trong Hình 1.6.4, ta giả thiết rằng phi công luôn

giữ hướng bay về phía gốc tọa độ

Hình 1.6.4 Máy bay hướng về gốc Đường bay y = f(x) của máy bay thỏa mãn phương trình vi phân

( 2 2)

0 0

+) Nhân tử tích phân ρ =e∫( 3 / )− x dx = x−3.

+) D x v x( 3 ) 42 x v3 4 C

x x

III Dạng toán cơ bản

1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất

• Phương trình vi phân toàn phần

• Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được

• Các dạng toán cơ bản

I Một số dạng phương trình vi phân (tiếp theo)

1) Phương trình vi phân toàn phần

a) Định nghĩa. Phương trình

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm F(x, y) sao cho

F x

ĐỊNH LÝ 1 Tiêu chuẩn để nhận ra phương trình vi phân toàn phần

Giả sử những hàm M(x, y) và N(x, y) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong hình chữ nhật mở R: a < x < b, c < y < d Khi ấy phương trình vi phân (1)

là toàn phần trong R nếu và chỉ nếu

∂ nếu và chỉ nếu phương trình (2) đúng trên R

Ví dụ 9 Giải phương trình vi phân (6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = 0

• M(x, y) = (6xy – y3) ; N(x, y) = (4y + 3x2 – 3xy2)

2 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được

Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát

đưa phương trình đã cho về phương trình vi phân cấp một

Ví dụ 10 Giải phương trình xy" + 2y' = 6x

Ví dụ 11. Giải phương trình yy" = (y')2

II Các dạng toán cơ bản

1 Giải phương trình vi phân toàn phần

x

§ 2.1 phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

II Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng

• Trong các bài toán ứng dụng, F x( ) tương ứng với tác động bên ngoài vào đó

2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Để phương trình vi phân là mô hình toán tốt cho bài toán toán lí nào đó thì nó phải có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện đầu tương ứng

Định lí. (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Các hàm p x q x( ), ( ) liên tục trên khoảng

mở I chứa điểm a, cho trước hai số b0 và b1 Khi đó phương trình

• Chứng minh Suy ra từ tính tuyến tính của phép tính vi phân

Ví dụ 3. y′′ + 4y =0 có các nghiệm y1= cos2x, y2 = sin2x, nên

= 1cos2 + 2sin2

Ví dụ 4 Chứng minh rằng các hàm y x1( )= e x,y2( )x = xe x là các nghiệm của phương trình vi phân y′′−2y′+ y = 0 Tìm một nghiệm thoả mãn các điều kiện ban đầu: y( )0 = 3,y′( )0 =1

• Dễ dàng kiểm tra được các hàm đã cho là nghiệm

• Nghiệm tổng quát của phương trình là y =C e1 x +C xe2 x

• Thay vào các điều kiện đã cho có:

( )( )

32

C C

• Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu là y =3e x −2xe x

III Dạng toán cơ bản

Chứng tỏ y1, y2 là nghiệm, sau đó tìm nghiệm riêng y = c1y1 + c2y2 thoả mãn các điều kiện ban đầu cho trước

21

C C

+) y = 2e−x + xe−x

• 11(tr 170) y'' − 2y' + 2y = 0, y1 = e x cosx, y2 = e x sinx, y(0) = 0, y'(0) = 5

+) y'1 = e x (cosx − sinx), ′′ y = (cosx − sinx − sinx − cosx) = −e1 x 2sinx

+) ′′y − 2y'1 1 + 2y1 = −2e x sinx − 2e x (cosx − sinx) + 2e x cosx = 0

+) y'2 = e x (sinx + cosx), ′′ y = e2 x (sinx + cosx + cosx − sinx) = 2e x cosx

+) ′′y − 3y'2 2 + 2y2 = 2e x cosx − 2e x (sinx + cosx) + 2e x sinx = 0

+) y = e x (C1 cosx + C2 sinx), từ y(0) = 0, y'(0) = 5,

y = e x (C1cosx + C2sinx + C2cosx − C1sinx)

05

C C

Phương trình Vi phân

Bài 3A

§ 2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (tiếp theo)

• Phương trình tuyến tính thuần nhất (tiếp theo)

• Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng

• Hai hàm không độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính

Định lí 2. Cho các nghiệm y x y1( ), 2( )x độc lập tuyến tính trên I của phương trình (3.1), khi đó:

• y =C y1 1+C y2 2 là nghiệm tổng quát của (3.1)

Định lí 3. Cho các nghiệm y x y1( ), 2( )x của phương trình (3.1) trên khoảng mở I, các hàm p x q x( ), ( ) liên tục

• Nếu y x y1( ), 2( )x phụ thuộc tuyến tính trên I thì W y ,( 1y2)= 0,∀x∈I

• Nếu y x y1( ), 2( )x độc lập tuyến tính trên I thì W y ,( 1y2)≠ 0,∀x∈I

• Có hai nghiệm độc lập tuyến tính khác là: cosh2x và sinh2x

• Có nghiệm tổng quát là y =acosh2x +bsinh2x

• Các nghiệm tổng quát này có thể biểu diễn qua nhau, chẳng hạn

Ví dụ 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′′−5y′+4y =0

• Phương trình đặc trưng r2 −5r +4 ⇔ r =1 hoặc r = 4

• Nghiệm tổng quát: y =C e1 x +C e2 4x

Ví dụ 7. Giải phương trình y′′−2y′+y =0 với điều kiện y( )0 =2, y′( )0 =3

• Phương trình đăc trưng: r2−2r + =1 0 ⇔ (r −1)2 =0 ⇔ r =1

2 Sử dụng phép thế v = lnx (x > 0) tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hàm số

• 53(tr 173) x2y'' + xy' − 12y = 0

§ 2.2 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến

tính

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

• Phương trình không thuần nhất bậc cao

• Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất cấp n

• Khi P x0( ) ≠ 0,∀ ∈x I, phương trình trên có dạng

• Nghiệm tổng quát y x( )=c e1 −3x +c2cos2x+c3sin 2x

b) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lí 2

• Các hàm p p1, 2, , p n và f liên tục trên một khoảng mở I ∋a

• Cho trước các hằng số b b0, 1, ,b n−1

• Khi đó phương trình (1.2) có duy nhất nghiệm trên khoảng mở I thỏa mãn các điều kiện ban sau

Phương trình (1.2) với điều kiện (2.1) được gọi là bài toán giá trị ban đầu cấp n

Chú ý Phương trình sau: x y2 ′′−4xy′+6y =0 có hai nghiệm = 2

c) Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

Định nghĩa Các hàm f f1 2, , ,f n được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên một

khoảng I nếu có các hằng số c i i, =1,n không đồng thời bằng 0 sao cho

( )+ ( )++ ( )= ∀ ∈

c f x c f x c f x x I

(hay có ít nhất một hàm là tổ hợp tuyếnt ính của các hàm còn lại)

Ví dụ 2. f x1( )=sin 2x, f2( )x =e x, f3( )x =sin cosx x là phụ thuộc tuyến tính vì

Định lí 3 Cho y y1, 2, ,y n là các nghiệm của (1.3) trên khoảng I

• Nếu y y1, 2, ,y n phụ thuộc tuyến tính trên I thì W ≡0, ∀ x∈I

• Nếu y y1, 2, ,y n độc lập tuyến tính thì trên I thì W ≠0, ∀x∈I

d) Nghiệm tổng quát

Định lí 4 Cho y y1, 2, ,y n là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) trên

khoảng mở I, các hàm p i liên tục Khi đó

= 1 1+ 2 2 ++ n n

y c y c y c y

là nghiệm tổng quát của (1.3), ở đó c c1, 2, ,c n là các hằng số tuỳ ý

Ví dụ 3. Giải phương trình y(3) +3y′′+4y′+12y =0 trong ví dụ 1, thoả mãn điều kiện y( )0 =2, y′( )0 =1, y′′( )0 =5

• Đã biết trong ví dụ 1: Nghiệm tổng quát: y =C e1 −3x +C2cos2x+C3sin2x

• Thay vào điều kiện đầu ta có

112

C C C

• Nghiệm cần tìm: y =e−3x +cos2x +2sin2x

3 Phương trình không thuần nhất bậc cao

a) Định nghĩa. Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n

• y p là nghiệm riêng của (3.1) trên I

• Khi đó nghiệm tổng quát của (3.1) là

• Dễ thấy y =3x là nghiệm riêng của phương trình đã cho

• Nghiệm tổng quát: y =C1cos2x+C2sin2x+3 x

• Thay vào điều kiện đầu ta có

{ =

1 2

52

C C

• Nghiệm cần tìm: y =5cos2x+2sin2x +3x

4 Dạng toán cơ bản

Cho ba nghiệm độc lập tuyến tính, tìm một nghiệm riêng của phương trình

vi phân tuyến tính thuần nhất cấp ba với hệ số hằng số

• 15(tr 184) y(3)

− 3y'' + 3y' − y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0, y''(0) = 0, biết

y1 = e x, y2 = xe x, y3 = x2e x +) Nghiệm tổng quát: y = C1e x + C2xe x + C3x2e x

221

C C C

C C

C C C

+) y = 1 29 2cos3( − −3sin3 )

• 13(tr 184) y(3) + 2y'' − y' − 2y = 0, y(0) = 1,

y'(0) = 2, y''(0) = 0, y1 = e x, y2 = e−x, y3 = e−2x +) Nghiệm tổng quát: y = C 1 e x + C2e−x + C3e−2x

+) y(0) = 1 ⇒ C1 + C2 + C3 = 1

+) y'(0) = 2 ⇒ C1 − C2 − 2C3 = 0

+) y’’(0) = 0 ⇒ C1 + C2 + 4C3 = 0

+) Giải hệ

( )( )

Phương trình Vi phân

Bài 3B

§ 2.3 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao với

C C C

• Sử dụng công thức Euler e ix =cosx+isinx và lập luận như trên ta có :

Định lí 3 Nếu phương trình (1.2) có các nghiệm phức bội k là a±bi thì nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng

C C

• Nghiệm cần tìm : y =e2x(cosx +3sinx)

C C

+) y = e 3x(3cos4x − 2sin4x)

• 25(tr 198) 3y(3) + 2y'' = 0, y(0) = −1, y'(0) = 0, y''(0) = 1

+) 3r3 + 2r2 = 0

C C C

Phương trình vi phân

Bài 4A

§ 2.5 Phương trình vi phân không thuần nhất với các hệ số bất định

Một vật thể với khối lượng m được gắn với một

đầu của một lò xo chịu được lực nén cùng với lực

căng; một đầu của lò xo được gắn với bức tường cố

định Giả thiết vật thể nằm yên trên một mặt phẳng

nằm ngang không có ma sát, do đó nó chỉ có thể

chuyển động sang trái hay sang phải mỗi khi lò xo nén

lại hay căng ra Ký hiệu x là khoảng cách của vật thể

so với vị trí cân bằng (vị trí khi lò xo không bị kéo

căng) Ta có x >0 khi lò xo bị kéo căng và x <0 khi lò xo bị nén lại Khi đó ta có

phương trình điều khiển chuyển động của vật thể là

( )

mx′′+cx′+kx =F t

( ) 0

F t ≠ có chuyển động cưỡng bức, F t =( ) 0 có chuyển động tự do

• Cần thiết nghiên cứu phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp cao

II Phương trình vi phân không thuần nhất cấp n

• Ta đã biết cách tìm y c, nhiệm vụ còn lại là tìm y p

Hình 2.4.1 Hệ chất

điểm