Bài giảng môn học phương trình vi phân (đại học thủy lợi)

ĐỊNH NGHĨA 2: Nghiệm của phương trình vi phân là hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của biến độc lập trên khoảng nào đó... ĐỊNH LÝ 1: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Giả sử fx,y

CHƯƠNG 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.1 Phương trình vi phân cấp 1

ĐỊNH NGHĨA 1: dy

f ( x, y )

dx = là phương trình vi phân cấp 1 trong đó y = y x ( ) là hàm chưa biết

VD1:

a) dy

dx = y b) y' − y = x c) x dy − y dx = 0

ĐỊNH NGHĨA 2: Nghiệm của phương trình vi phân là hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của biến độc lập trên

khoảng nào đó

VD2: PTVP y' = y có

nghiệm y = Cex , ∀x ∈!

C ∈!

Các loại nghiệm:

Nghiệm tổng quát : F x,y,C ( ) = 0

Nghiệm riêng : F x,y,C ( 0 ) = 0

Nghiệm kì dị ( là nghiệm không nằm trong nghiệm tổng quát)

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU:

dy

f ( x, y )

dx =

y x ( )0 = y0 (điều kiện ban đầu )

Các trường hợp có thể xảy ra:

nghiệm duy nhất

vô nghiệm

vô số nghiệm

quát dẫn đến C = 0 Do đó, có nghiệm riêng duy nhất ln y = x

ĐỊNH LÝ 1: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Giả sử f(x,y) và đạo hàm riêng D f x, yy ( ) liên tục

trên hình chữ nhật R chứa điểm (a,b) trong mặt phẳng 0xy Khi đó, với khoảng mở I chứa điểm a,

bài toán giá trị ban đầu: dy f x, y , y a ( ) ( ) b

một và chỉ một nghiệm xác định trên I

1.2 Phương trình vi phân phân ly biến số

DẠNG: dy H x, y ( )

dx =điều kiện H( x,y ) g( x ) f ( y ) =

VD5: Nhận dạng phương trình phân li biến số:

VD6: Giải phương trình vi phân dy

VD7: Giải phương trình vi phân

y' = x

VD 9 Giải PTVP y' = sin x + y ( )

Ví dụ 11: Giải bài toán giá trị ban đầu

2 xy dy 4 x 3 y

y 1 ( ) = −1

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

(1.4) Trang 71, 72: 13-18; 25-28

(1.6) Trang 114: 1, 3, 5, 7, 8, 15, 16, 17, 18

CHƯƠNG 1:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

( tiếp)

1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

VD 13: Giải phương trình vi phân

( x2 1 ) dy 3 x y 6 x

dx

Công thức nghiệm tổng quát của PTVP (2):

CÁCH GIẢI y' + P( x ) y = Q( x ) yn

• y = 0 là nghiệm của phương trình

• y ≠ 0 Chia hai vế phương trình cho yn:

y−n y' + P( x ) y1−n = Q( x )

• Đặt v = y1−n, chuyển về phương trình tuyến tính cấp một đối với v:

v' + 1− n ( ) P( x ) v = 1− n ( ) Q( x )

VD 16: Giải phương trình vi phân

4 3

Chú ý: Phương trình Bernoulli đối với x:

+) Phương trình vi phân Bernoulli đối với x(y)

+) x = 0 là nghiệm của phương trình

+) x ≠ 0 Chia hai vế của phương trình cho x2

Trong đó P y ( ) 1 ; Q y ( ) 1

y

+) Giải phương trình (2): v yln y Cy = +

+) Nghiệm tổng quát của PT (1) là:

x yln y Cy + =

1.8 Phương trình vi phân toàn phần:

VD 19: Giải phương trình vi phân

(6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = 0

Giải

2.1 Phương trình vi phân cấp 2 :

DẠNG F( x ,y,y',y" ) = 0

trong đó y là hàm số cần tìm, x là biến độc lập

Điều kiện ban đầu : y x( )0 = y , y x0 ′( )0 = y1

Nghiệm tổng quát : G x, y,C ,C( 1 2 ) = 0

Nghiệm riêng : G x,y,C( 10 ,C20 ) = 0

VD1: Phương trình vi phân y′′ + =y 0 có :

Nghiệm tổng quát : y x( ) = C cos x C si1 + 2 nx

Với điều kiện ban đầu : y( )0 =1, y'( )0 = −2

Nghiệm riêng : y x( ) = cos x − 2 sin x

2.2 PTVP cấp hai giảm cấp được

PT(2): dy p y,C ; p( 1) 0

dy dx

p y, C

→ x = P y,C( )1 + C2

VD2 Giải phương trình vi phân cấp hai

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

(1.6) Trang 115-116: 46, 47, 48, 49, 50, 51