Bài giảng môn học phương trình vi phân (đại học thủy lợi)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO tiếp... Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a... Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng... Phương trình tuyến tính cấp n thuần nhất..

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP CAO ( tiếp)

2 3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

a DẠNG A( x )y" B( x )y' C( x )y F( x ) + + =

• F x ( ) ≡ 0 phương trình thuần nhất

• F x ( ) ≠ 0 phương trình không thuần nhất

• Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số

hằng A y" + B y' + C y F( ) = x

VD3: Nhận dạng PTVP tuyến tính cấp hai thuần

nhất, không thuần nhất, có hệ số hằng :

a) e y" (cos x )y' (x + + + 1 x )y tan x = −1

b) e y" (cos x )y' (x + + + 1 x )y = 0

c) y" + 3 y' − 2 y tan x = −1

d) y" = yy'

b ĐỊNH LÝ 1: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Giả sử p, q và f là các hàm liên tục trên khoảng

mở D chứa điểm a Khi đó phương trình

y" p( x )y' q( x )y + + = f ( x )

có duy nhất (một và chỉ một) nghiệm trong khoảng

D thỏa mãn các điều kiện y( a ) b , y'( a ) b = 0 = 1

c Sự độc lập tuyến tính của hai hàm

f(x) và g(x) được gọi là độc lập tuyến tính

trên D nếu W(f,g) = f g 0 , x D

f ' g' ≠ ∀ ∈ f(x) và g(x) được gọi là phụ thuộc tuyến tính

nếu chúng không độc lập tuyến tính

VD4:

a) Chứng tỏ y1( x ) = e2 x , y2( x ) = e3x độc lập tuyến tính ∀x ∈!

b) Chứng tỏ y1( x ) = x , y2( x ) = x ln x độc lập tuyến tính ∀ x > 0

c ĐỊNH LÝ 2 : A x y" B x y' C x y ( ) + ( ) + ( ) = 0 ( ) 1

Nếu y1 và y2 là hai nghiệm (riêng) của PT (1) thì Y c y ( x ) c y ( x ) = 1 1 + 2 2 cũng là nghiệm của PT(1)

Nếu y1 và y2 là hai nghiệm độc lập tuyến

tính thì nghiệm tổng quát của PT(1) là

1 1 2 2

Y c y ( x ) c y ( x ) = +

VD6 Cho PTVP x2 y" − xy'+ y = 0

y1( x ) = x , y2( x ) = x ln x

Chứng minh y( x ) = C1y1( x ) +C2 y2( x )

= C1x + C2x ln x

là nghiệm tổng quát

2.4 Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng

y x = e ( C + C x )

< 0 r1,2 = a ± b i y x( ) = ea x( C1 cos b x + C2 sin b x )

VD7 Giải phương trình vi phân

a) 2 y" − 7 y' + 3 y = 0

b) y" + 2 y' y + = 0 ; y( ) 0 = 5 , y'( ) 0 = − 3c) y" − 4 y' + 5 y = 0

Giải

2.5 Phương trình tuyến tính cấp n thuần nhất

+ xk−1ea x( Ck cos b x + Dk sin b x )

VD8 Giải phương trình vi phân

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP CAO

( tiếp)

2.6 PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng không thuần nhất:

b ĐỊNH LÝ 3 : Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất :

c ĐỊNH LÝ 4 : Nguyên lí chồng chất nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

2.7 Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính cấp n không thuần nhất:

Điều kiện: Chỉ áp dụng khi hàm F(x) là tổ hợp tuyến

tính (hữu hạn) của tích của các hàm: đa thức của x,

hàm mũ eax , cos bx hoặc sin bx

VD12: a ) y ′′ + = y 2 e xx 2 b ) y ′′ + = y x cos x sin x 2 + 2

VD13: Giải phương trình vi phân

VD 14 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

( 2.5) Trang 232: 3, 5, 9, 11, 13,

17, 31, 33, 35, 37

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CẤP CAO

( tiếp)

2.7 Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính cấp n không thuần nhất:

VD16 Tìm nghiệm riêng của phương trình