Tham khảo TN Toán 2010 số 13

Khảo sát hàm số đã cho.. Cho biểu thức P= cosA + cosB + cosC , trong đó A ,B ,C là các góc của một tam giác bất kỳ .Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.. T

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 Câu I :( 2,5 điểm)

1 Cho hàm số 2 1

1

x x y

x

− +

=

−

a Khảo sát hàm số đã cho

b Xác định điểmA x y ( với( ; )1 1 x1>1 ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất

2 Tìm tập giá trị của hàm số 2 3

1

x y x

+

= + và các tiệm cận của đồ thị của hàm số đó

Câu II:( 1,5 điểm)

1 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình :

2 9x ( 1).3x 1 0

a + −a + + − >a

nghiệm đúng với mọi x

2 Giải và biện luận phương trình :logx a+logax+loga x2 a=0

trong đó a là tham số

Câu III:( 2 điểm)

1 Cho biểu thức P= cosA + cosB + cosC , trong đó A ,B ,C là các góc của một tam giác bất kỳ Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất

2 Chứng minh bất đẳng thức :

1

0

sin

1 ln 2

1 sin

x x

dx

x x ≤ − +

∫

Câu IV: (2,5 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đường cao SH và mặt phẳng( )α đi qua điểm A vuông góc với cạnh bên SC Biết mặt phẳng ( )α cắt SH tại điểmH mà1

1: 1: 3

SH SH = và cắt các cạnh bên SB, SC, SD lần lượt tại B’ ,C’ ,D’

1 Tính tỉ số diện tích thiết diện AB’C’D’ và diện tích đáy hình chóp

2 Cho biết cạnh đáy của hình chóp bằng a.Tính thể tích của hình chóp S.AB’C’D’

Câu V : (1,5 điểm)

1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 2 2 2

(x a− ) +y =b với 0 < b < a

2 Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8

ĐAP AN Câu I :

1) a) Khảo sát hàm số:

1

y

x− +

=

−

• TXĐ :D R= \ 1{ }

2 2

2 '

( 1)

0

y x x



−

=

−

=

= ⇔

=

• Tiệm cận đứng:

x = 1 vì lim1 1

1

−

Ta có: 1

1

y x

x

= +

−

• Tiệm cận xiên:

y = x vì lim 1 0

1

−

• BBT:

• Đồ thị :

X

Y

O

(C )

1 2

1 I

- 1 3

b) Xác định A x y( , ) ( )1 1 ∈ C với x1 >1 sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm

hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận:

x= ⇒ = ⇒y I

1

1 ( , ) ( )

1

x

−

Ta có : AI2 =(x1−1)2 +(y1−1)2

2 2

1

1

1

x

−

2 2 2 2( 2 1)

⇒ Min AI2 =2( 2 1)+ khi :

1

4

2

1 1

2 1 1

1

2

x x

x

y











−

⇔ − = ±

= +

= −

Vậy : 1 41 , 24 41

 + +  thì Min AI = 2( 2 1)+ 2) Tìm tập giá trị của 2 3

1

x y x

+

=

+ và các tiệm cận của đồ thị hàm số đó:

• Miền xác định R

x y

−

= + + ,

1 ' 0

3

y = ⇔ =x

• Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:

• Miền giá trị của hàm số :( 1, 10}−

• Đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang:y= − ∨ =1 y 1

Câu II:

1) Tìm a để a.9x + −(a 1)3x+2 + − >a 1 0 đúng ∀x

Đặt t=3x Điều kiện: t > 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

2 9( 1) 1 0

at + a− t a+ − >

2

2

9 1

9 1

t a

t +t

⇔ >

+ + (*) ( vì t > 0 )

Xem hàm số : 29 1

9 1

t y

t +t

= + + trên (0,+∞)

9 2

( 9 1)

t t

t t

+ + Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

Bất phương trình đúng ∀x

⇔(*) đúng ∀ >t 0

⇔ a≥1

2) Giải và biện luận phương trình:

logx a+logax a+loga x2 a=0

Trường hợp 1 : a≤0: Phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2 : a = 1 : Phương trình trở thành :

log 1 log 1 log 1 0

x

⇔ < ≠

Trường hợp 3 : 0< ≠a 1

Điều kiện:x > ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠0 x 1 x 1a x a12

loga x loga xa loga a x

log1 log 1 1 log 1 2 0

Đặt t =loga x Điều kiện t≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ −0 t 1 t 2

Khi đó phương trình trở thành:

2

t t t

t t

3 3 3

t − ±

⇔ = (thoả điều kiện ) Vậy phương trình log 3 3 3 33

3

Tóm lại: a≤0: phương trình vô nghiệm

a = 1 : phương trình có nghiệm 0< ≠x 1

Câu III:

1) Cho P = cosA + cosB + cosC

Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất

• Ta có: 2 cos cos cos

A B A B

2

2

2

2sin cos 1 2sin

−

Dấu = trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

2

2

2

sin sin ( loại vì nhọn )

A B

A B

A B

−







A B

ABC C

=





⇔ = π ⇔ ∆

3



đều

Vậy Max P = 23 khi ABC∆ đều

• Ta có : 2sin cos 1 2sin2

1 2sin sin cos

1 2sin cos cos

1 2sin 2sin sin

1 4sin sin sin , , nhọn

A B C A B C

−

1

P

Giả sử tồn tại Min P = k ⇒ ≥P k ( số k > 1)

Khi đó LimP A→0 = ≥1 Limk k A→0= ⇒ ≥1 k( mâu thuẩn)

Kết luận :

Max P =32 , Min P không tồn tại

Câu III:

Chứng minh

1

0

sin 1 ln 2

1 sin

x x dx

x x ≤ −

+

∫

Ta có ∀ ∈x [ ]0,1 thì sin

x x ≤ x

+ + (*) Thật vậy: (*)⇔xsinx x+ 2sinx x x≤ + 2sinx

⇔ xsinx x≤

⇔x(sinx− ≤1) 0 đúng.

Vậy:

sin

x x dx x dx

x x ≤ x

1

0

1 0

1 1 1 ( ln 1 ) 1 ln 2

dx x

+

∫

Câu IV:

1.Ta có α ∩(SBD)=B D BD' '// và BD ⊥(SAC) nên ' '//(B D SAC) ' ' '

B D AC

• Ta có : ' ' 1 2

3

SH

B D

BD = SH =

2 ' ' 3

B D BD

• ∆SAC cân tại S có làH trực tâm, AC’ qua 1 H và 1 AC'⊥SC

⇒AC’ là trung tuyến vừa là đường cao

SAC

⇒ ∆ đều

3

2

AC AC

Ta có: ' ' ' 1 ' ' ' 1 2 3

AB C D

S = B D AC = BD AC

1 3 3

2BD AC 3 3 S ABCD

AB C D' ' ' 33

ABCD

S S

2) Cạnh đáy hình chóp bằng a 2

2

AB C D

Hình chóp SB’C’D’ có đáy là tứ giác AB’C’D’ và chiều cao là :

1 2 '

a

SC = SC =

3 2

Câu V:

1) Tính thể tích khi quay (C):(x a− )2 +y2 =b2 (0 < b < a) quanh Oy

C D

B

O

A

y

b

Ta có:(x a− )2 +y2 =b2

2 2 2

2 2

2 2 1

2 2 2

( ) ( )

x a b y

x a b y

x a b y

x a b y



⇔



Gọi V V lần lượt là thể tích của vật thể khi quay hình thang cong ABCO và 1, 2 ABDO quanh Oy

Suy ra thể tích cần tính là:

1 2

b

2 2 0

2

2

8

b

V V V

x dy x dy

dy

b y dy

0

= π

−

∫

∫ Đặt y = bsint ⇒dy b= cos t dt

Đổi cận : y b= ⇒ =t π

2

y= ⇒ =0 t 0

2 2 2 0

2 0

2 0

0

8 cos

4 (1 cos2 )

1

2

V b b t b tdt

b tdt

2

2

π 2

π 2

π 2

π 2

∫

∫

∫

2) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập thành từ 1, 3, 4,

5, 7, 8

Gọi số cần tìm có dạng: abcde

Số có dạng:abcd có số 1 A = 120 số54

Tương tự có 120 số với hàng đơn vị là 3 , là 4 , là 5 , là 7, là 8

Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị của các số abcde là:

120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 ) = 3360

Tương tự :

Tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn cũng là 3360

Do đó tổng tất cả các số abcde phải tính là:

3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 37.332.960