Tham khảo TN Toán 2010 số 4

1.Viết phương trình của mặt phẳng P đi qua 3 điểm A ,B ,C 2.Viết phương trình thamsố của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng P.. Chứng minh rằng H t

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010

A.PHẦN BẮT BUỘC

CÂU I : ( 3 điểm)

Cho hàmsố y=(x−1)(x2 +mx m+ ) (1), với m là tham số thực

1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2

2.Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành Xác định tọa độ của tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp của m

CÂU II: (2 điểm)

Cho bất phương trình : 4x −2(m+2)2x+ 1+m2 +2m+ >2 0

1.Giải bất phương trình khi m=1

2.Tìm m để bất phương trình thỏa mãn với mọix∈¡

CÂU III: (1 điểm)

Chứng minh rằng ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

3S =2R2(sin3 A+sin3B+sin3C)

Trong đó S là diện tích tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

CÂU IV : ( 1 điểm)

Tính tích phân sau: 2 3

0

4sin

1 cos

xdx x

∏

+

∫

B.PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh được phép chọn một trong hai câu dưới đây:

CÂU Va: ( 3 điểm)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho 3 điểm:A(0,0,1) ;B(-1,-2,0) ;C(2,1,-1)

1.Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A ,B ,C

2.Viết phương trình thamsố của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P)

3.Xác định chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng BC

CÂU Vb: (3 điểm)

Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng sao cho ˆxOz =zOyˆ =α với0° < < °α 90 Gọi M là một điểm trên Oz có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (xOy) là H

1 Chứng minh rằng H thuộc đường phân giác của góc ˆxOy

2 Cho ˆxOy=β.Chứng minh

2

β α<

3 Cho OM= a Hãy tính độ dài MH theo , ,aα β

ĐAP AN Câu I:

1) Khảo sát hàm số (1) tương ứng với m= -2:

3 2

( 1)( 2 2)

• Tập xác định : D = R

• y' 3= x2 −6x=3 (x x−2)

0 ' 0

2

=



= ⇔  =x

y

x

• y'' 6= x−6

" 0= ⇔ = ⇒ =1 0

⇒ Điểm uốn : I(1, 0)

• BBT:

• Đồ thị:

Điểm đặc biệt :

2) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành Xác định toạ độ tiếp điểm

Ta có :y x= +3 (m−1)x2−m (1)

Đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành

2

x +(m-1)x -m=0 (2) 3x +2(m-1)x=0 (3)



⇔ 



có nghiệm

3

x

x

=





 = −

 Thay vào (2) :

3 3

2

( 4)(4 4 1) 0 4

1 2

m

m m

= ⇒ =

−

=





⇔

 = −

 Hoành độ tiếp điểm là :

1

1 2

= ⇒ =

= ⇒ = −

= − ⇒ = Vậy đồ thị (C) tiếp xúc Ox khi:

m= 0, m= 4, 1

2

m= − Toạ độ tiếp điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)

Câu II :

+

− + 1+ 2+ + >

4 2(x m 2).2x m 2 m 2 0

1) Giải bất phương trình khi m= 1:

Đặt t=2x Điều kiện t > 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

Khi m= 1, (*) trở thành :







< < −

> +

2 12 5 0 0 6 31

6 31

t

t

Nghĩa là: Bất phương trình 



< −

⇔

> +

2 6 31

2 6 31

x x







2

log (6 31) log (6 31)

x x

2) Tìm m để bất phương trình thoả ∀ ∈x ¡

Đặt f t( )= −t2 4(m+2)t m+ 2+2m+2

Bất phương trình thoả ∀ ∈x ¡ .



∆









 ∆









⇔

f (t) > 0 thoả t >0

'< 0

S ' = 0 0

2 ' > 0

t < t < 0 ( với t ,t là nghiệm của f(t) =0 )

' 0

S ' = 0 0

2 ' 0 (0) 0 0 2

af S



∆ <









⇔ 

∆ >

 ≥









 <







− +

⇔ < 7 7

3

m

Câu III:

Chứng minh rằng ∆ABC đều khi và chỉ khi:

3S 2 (sinr A sin B sin )C

Ta có:3S=2 (sinr2 3A+sin3B+sin )3C

2

3

abc a b c

Aùp dụng BĐT Côsi: a3+ + ≥b c3 3 33a b c3 3 3 =3abc

Vậy hệ thức chỉ thoả khi dấu “ = ” xảy ra

Câu IV:

Tính

π

= +

∫021 cos4sin3x

x

Ta có:

π

−

=

+

0

4sin (1 cos )

1 cosx x

x

π

π

π

∫

∫

2 0 2 0

2 0

4sin (1 cos ) (4sin 2sin2 ) ( 4cos cos2 ) 2

Câu Va:

A(0, 0, 1); B(-1, -2, 0); C(2, 1, -1)

1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B,C

Ta có VTP (P) là : uurn P =uuur uuuurAB AC, =(5, 4,3)−

⇒ Phương trình mặt phẳng (P):

5x – 4y + 3z – 3 = 0 2) Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G − ÷

1 1, ,0

3 3

Đường thẳng d đi qua G và d⊥ (P):

⇒ uuur uuurad = nP =(5, 4,3)−

Phương trình tham số của d là:

 = +





 = − −





=





1 5 3

1 4 3 3

2) Chân đường cao H hạ từ A xuống đường thẳng BC

Ta có:uuurBC=(3,3, 1)−

Phương trình tham số của BC là :

= − +



 = − +



 = −



1 3

2 3

Lấy H(-1 + 3t, -2 + 3t, -t) ∈ BC.

H là hình chiếu của A⇔uuur uuurHA BC =0

⇔ =

3(1 3 ) 3(2 3 ) 1(1 )

19 8 19 8

t t

Vậy H − − ÷

5 , 14, 8

19 19 19

Câu Vb:

O

M

J a

x

y z

1) Vẽ MI Oz và ⊥ MJ Oy ⊥

Ta có: ∆MOI = ∆MOJ

⇒MI MJ= Khi đó ∆MHI = ∆MHJ⇒HI HJ=

Và HI Ox⊥ , HJ Oy⊥

Suy ra H thuộc đường phân giác ·xOy

2) Ta có:0° <α,β < °90

2 và β = < = α

2

OI OI do IH MI<

β α

⇒ <

2

Tam giác OMI có OI =acosα

Tam giác OHI có

α

= = .cos cos cos

OH

Tam giác MOH có MH2 =OM2−OH2

2

2

cos cos 2 cos cos 2 cos

2

a

α β

β