Một học sinh nữ và một học sinh nam CÂU IV: 1.. Tìm giá trị để bất phương trình trên được nghiệm đúng với giá trị của x.. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = tg2x + tg2y PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh đ
Trang 1THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I:
a Khảo sát hàm số (C) có phương trình: 2 4 8
2
y
x
= +
b Từ đồ thị hàm số (C) suy ra đồ thị của hàm số :
2
y
x
=
+
c xét đồ thị họ (Cm) cho bởi phương trình 2 4 2 8
2
y
x
=
+ Xác định tập hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ (Cm) đi qua
CÂU II:
Tính tích phân 2 3
0
4 cos
1 sin
x dx x
∏ +
∫
CÂU III:
Một lớp học có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi làm công tác phong trào “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đó phải có ít nhất:
1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam
2 Một học sinh nữ và một học sinh nam
CÂU IV:
1 Cho bất phương trình: 9α x +4.(α −1).3x + >α 1
a Giải bất phương trình khi α =2
b Tìm giá trị để bất phương trình trên được nghiệm đúng với giá trị của x
2 Giải hệ phương trình:
sin5sinx y−−7 coscosy x− ==6 00
3 Cho cos2x + cos2y = 1 ( x, y ∈R).
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = tg2x + tg2y
PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh được chọn một trong hai câu sau
CÂU Va:
Cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung của hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau .Cho AB= a.Lấy điểm M di động trên Ax và điểm N trên By sao cho đoạn MN có độ dài d không đổi
1 Đặt AM= x; BN= y Tính thể tích của tứ diện ABMN theo a, x và y
2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích đó
3.tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn MN
CÂU Vb:
Trong mặt phẳng Oxy,cho điểm (2, )3
2
M
1 Viết phương trình đường tròn (C)có đường kính OM
2 Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại
A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 6 đvdt
Trang 23.tìm toạ độ tâm I của đường tròn (T) nội tiếp tam giác OAB Viết phương trình đường tròn đó
DAP AN
Câu I:
a.Khảo sát hàm số : 2 4 8
2
= +
y
x (C)
• TXĐ:D R= \{ 2}−
•
2 2
4 '
( 2)
+
=
+
y
x
' 0 0
4
=
= ⇔ = −x
y
x
• Tiệm cận đứng: x = -2 vì lim2 4
2
+
• Chia tử cho mẫu: 2 4
2
= + +
+
y x
x
⇒ Tiệm cận xiên: y= x + 2 vì lim 4 0
2
+
• BBT:
• Đồ thị:
(C )
(C 1 ) (I)
X Y
( III) - 4
O
4 2 ( C 1 )
- 2
- 4
b.Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số :
2 1
2
+ +
=
+
y
x ( )C1
Ta có :
Trang 3nếu x > -2 -y nếu x < -2
y
y =
Do đó đồ thị( )C suy từ (C) như sau:1
- Nếu x > -2 thì ( ) ( )C1 ≡ C
- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được ( )C1
c Xác định tập hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ ( )C ï đi qua: m
2 4 2 8
2
=
+
y
x ( )C m
Gọi
0
( , ) ( ),
2
+
m
x vô nghiệm với mọi m ⇔x0 = −2 hoặc 2 2
m y x x x vô nghiệm theo m
2
2
2
0 2
0
x +4x +8
y < (nếu x >-2)
x +2
x +4x +8
y > (nếu x <-2)
x +2
⇔
⇔ M miền (I) giới hạn bởi (C) với x > -2M miền (III) giới hạn bởi (C) với x< -2∉∉
Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C)
Câu II:
Tính :I = 2 4cos3
1 sin 0
π
∫ + x dx
x
Ta có: 4cos3 4cos (1 sin2 )
−
=
= 4 cosx (1-sinx)
= 4 cosx –2 sin2x
Suy ra:I =(4sinx+cos 2 ) 0x π2 = 2
Câu III:
Có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất:
1) 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam:
Trường hợp 1: Số cách chọn 2 nữ và 3 nam: 2 3
10× 10
Trường hợp 2: Số cách chọn 3 nữ và 2 nam: 3 2
10× 10
Suy ra số cách chọn 3 nữ và 2 nam là:2 3 2
10× 10
C C =10.800 (cách) 2) 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam:
Số cách chọn không phân biệt nam, nữ: 5
20
C
Số cách chọn toàn nam hoặc toàn nữ: 5
10
C
Suy ra số cách chọn có ít nhất 1 nam hoặc 1 nữ là:
Trang 45 5
20−2 10
C C =15.000 (cách)
Câu IV:
1 Cho 9α x+4(α−1).3x+ >α 1
a) Giải bất phương trình khi α =2
Đặt t =3x Điều kiện: t > 0
Khi đó bất phương trình trở thành :
2
4( -1) 1
α t + α t + α > (*) Khi α =2: (*) trở thành: 2
2t + + >4t 2 1 luôn đúng ∀ >t 0 Nghĩa là nghiệm của bất phương trình làx∈¡
b) Tìmα để bất phương trình đúng ∀x.
Ta có : (*) 2
4 1
f (t)
4 1
+ +
t
Ta lại có :
2
( 4 1)
+ +
t t , ∀ >t 0
=> y = f(t) là hàm giảm trên (0,+∞)
Do vậy bất phương trình đúng ∀x
f (0)
1
α α
⇔ ≥
⇔ ≥
2 Giải hệ phương trình : sinx - 7cosy = 0 (1)
5siny - cosx - 6 = 0 (2)
Vì cosx ≤1 và siny ≤1 nên :
5siny−cosx− ≤6 0
Do vậy (2) cos 1
sin 1
= −
x y
x = π + k2π
(k,m ) π
y = + m2π 2
Dễ dàng thấy x và y ở trên thoả (1)
Do vậy nghiệm của hệ là:
x = π + k2π
(k,m ) π
y = + m2π 2
3 Cho cos2x + cos2y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A tg x tg y= 2 + 2
Vì cos2x + cos2y = 1 nên0 cos 2 ,cos 2≤ x y≤1
Ta có:
2
1 cos 2 1 cos 2
1 cos 2 1 cos 2
2
2
A
Mặt khác: Khicos 2 cos 2 1
2
3
=
A
Trang 5Do đó 2
3
=
MinA
Câu Va:
a.V ABMN
Ta có : By AB By Ax⊥⊥ ⇒By⊥( , )B Ax
Vậy :
1 . 3
1 . 1
a x
=
A
a
y y
d
x
x
B
M
N
b Giá trị lớn nhất của V ABMN
• ABM có BM
• NBM có d
Ta có: d2−a2 =x2+y2 ≥2xy
Vậy:
1 1 (. 2 2) 1 ( 2 2)
ABMN
Nên V ABMNlớn nhất là: 1 ( 2 2)
12a d −a khi
2
x y= = −
Câu Vb:
a Phuơng trình đường tròn (C) đường kính OM
=> Tâm là trung điểmE1,34÷
của OM và R=
5
OM =
=> Phương trình đường tròn ( 1)2 3 2 5 2
x− +y− ÷ = ÷
b Cách 1:
Gọi k là hệ số góc của (D) => phương trình (D) là ( 2) 3
2
y k x= − +
• (D) cắt nửa trục dương Ox tại A
-3 2 2
k
Trang 6• (D) cắt nửa trục dương Oy tại B⇒B0,32−2k÷
Điều kiện: 3 2 0
2− k> và k < 0 ⇔k < 0
Ta có :
2
2
2
3 2
2
9 - 6k + 4k = -12k ( do k < 0 )
4
9
4 3
4
OAB
k
k
k
− +
⇔ − ÷ =
⇔
−
⇔ =
Vậy phương trình (D) là 3( 2) 3
y=− x− +
3 3
4
y
−
Cách 2:
Giả sử A(a, 0), B(0, b) (a, b > 0) ( ) :D x y 1
a b
Yêu cầu bài toán
3 1
2
OAB
a
+ =
Vậy phương trình (D): 3x + 4y –12 = 0
3 Cách 1:
Ta có A(4, 0), B(0, 3)
Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OAB thuộc phân giác trong của góc O⇒ ∈I đường thẳng
y = x
Gọi I (a, a) ta có d( I, AB) = d( I, OA)
3 4 12
5
a
+ −
⇔ 7a−12 5= a(vì a > 0)
⇔ = ∨ =a 6 a 1, loại a= 6 vì lúc đó I là tâm đường tròn bàng tiếp ∆AOB
Vậy I(1, 1) và r = a = 1
⇒ Phương trình đường tròn là:(x−1) (2+ −y 1)2 =1
Cách 2:
Ta có I thuộc đường thẳng y = x
=> I(a, a) (với a > 0)
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Trang 7
1 (3 4 5) 2
S
r
P
+ +
Ta lại có: d(I, OA) = r
=> a = 1
Vậy phương trình (C):(x−1) (2 + −y 1)2 =1
Ghi chú: Khối B, D, V không có câu Ic , IVb, Va.3,Vb.3