Tìm giá trị của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau CÂU II: 1.. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC
Trang 1THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I:
Cho hàm số : 2 2 2
1
x mx y
x
=
+ , (m là tham số )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1
2 Tìm giá trị của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau
CÂU II:
1 Tìm tất cả giá trị của tham số a để hệ sau có nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện x > 4:
3
x y
+ =
+ + + ≤
2 Giải phương trình : 3 5x+ =x 6x+2
CÂU III:
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
3cos44 4sin22
3sin 2cos
y
+
=
+
2 Cho tam giác ABC có các góc A ,B ,C thoả mãn hệ thức :
2 2 2
sin 2A+sin 2B+sin 2C =2cos cos cosA B C
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
CÂU IV:
Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo ) và ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thoả mãn điều kiện : AB= a; AD=AF=a 2 ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF ( H thuộc AC ,K thuộc BF)
1 Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF Tính tỉ số
DI
DF
2 Tính độ dài đoạn HK
3 Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK
CÂU V:
Trong khai triển của
10
1 2
3 3x
+
thành đa thức:
9 10
0 1 9 10 ,( k )
a +a x+ +a x +a x a ∈¡ Hãy tìm hệ số a lớn nhất (0 k ≤ ≤k 10)
ĐAP AN Câu I:
Cho hàm số : 2 2 2
1
x mx y
x
=
+
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1:
1
y
x
=
+
Trang 2• TXĐ :D R= \ 1{ }−
2 2
2 '
y
x +
= +
0
y x
=
= ⇔
= −
• Tiệm cận đứng :
x = -1 vì xlim1
1
y x
x
= + +
+
• Tiệm cận xiên :
y = x + 1 vì lim 1 0
1
x→∞x =
+
• BBT:
• Đồ thị:
X
Y
O ( C )
2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng: x + y + 2 = 0 bằng nhau
Ta có: 2 2 2
1
x mx y
x
=
+
' 2 2 22 2
y
x
=
+
y' 0= ⇔ x2 +2x+2m− =2 0 (1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
3
2
Toạ độ điểm CĐ M x y1( , )1 1 và điểm CT M x y2( , )2 2 cho bởi:
Trang 31 2
2
'( )
'( ) '( )
'( )
u x
v x
u x
v x
Gọi (D): x + y +2 = 0, ta có:d M D( 1, ) =d M D( 2, )
3
2
x x loại
m
x x
⇔
=
So với điều kiện 3
2
m< nhận 1
2
m =
ĐS : 1
2
m=
Câu II:
Tìm tất cả các giá trị a để hệ có nghiệm (x, y) thoả x > 4
3
x y
2
3 3
x
≤
= −
Hệ có nghiệm thoả x > 4 ⇔ (1) có nghiệm 4< ≤x 9 ( vì khi đó luôn tính được y ) Đặt t = x∈(2,3} Khi đó:
(1)⇔ ≥a t + +5 t − +6 12t
Xem hàm f t( )= t2 + +5 t2 − +6 12t (t∈(2,3})
3 '( )
f t
−
f t
−
+ − + ( hai vế 0≥ )
2
( 6 12) (3 ) ( 5)
t
Vậy '( ) 0,f t > ∀ ∈t (2,3}
Trang 43
5
2
f ’(t) t
f (t)
Vậy (1) có nghiệm thoả
( )
a f t
⇔ ≥ có nghiệm 2< ≤t 3
5
a
⇔ >
2 Giải:3x +5x =6x+2
Xem (C) : y=3x +5x và ( )∆ : y = 6x + 2
( )∆ chỉ cắt (C) tại 2 điểm: A(0, 2) và B(1, 8)
⇒ Phương trình có 2 nghiệm:x= ∨ =0 x 1
Câu III :
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
3cos 4sin 3sin 2 cos
y
+
=
+
Ta có :y 3(1 sin )3sin4 2 x2(1 sin )2 4sin22 x 3sin3sin44 x 2sin2sin22 x 32
2
3 3
x− x+ = x− + > ∀x
nên hàm số có miền xác định là R.
• Đặt t =sin ,2 x x R∈ ⇒ ∈t [ ]0,1
Hàm số trở thành: 22 [ ]
t t
t t
− +
− +
(3 2 2)
t
t t
− +
− +
• Trên đoạn [0, 1] ta có:
(0) ; (1)
f = f = , giá trị cực trị f = 13 85
Do đó :
Trang 5[ ] [ ]
8 ( ) 5
R 0,1
4 inf( )
3
R 0,1
Maxy Maxf t
Miny M t
Cách khác :
Ta có
2
3 3
y
Ta có :
2 3
Max
y ⇔ x− = ⇔ x = ± và y Max = 85
Vày Min ⇔sin2 x=1 Khi đó 4
3
Min
y =
2 Chứng minh rằng ∆ABC đều nếu:
2cos cos cos
sin 2A+sin 2B +sin 2C = A B C
Ta có: theo bất đẳng thức x2 +y2 ≥2xy
sin 2 sin 2 sin 2A sin 2B A B
Tương tự :
sin 2 sin 2 sin 2B+sin 2C ≥ B C (2)
sin 2 sin 2
sin 2A+sin 2C ≥ C A (3)
Cộng (1), (2), (3) ta được:
sin2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 sin 2 2 cos cos cos sin 2 sin 2 sin 2
Vì sin2A + sin2B + sin2C = 4sin2Asin2Bsin2C
sin2A.sin2B.sin2C = 8sinAsinBsinCcosAcosBcosC
Vậy giả thiết chỉ thoả khi trong (1), (2), (3) xảy ra dấu =
sin 2A sin 2B sin 2C ABC
Câu IV:
1 Vẽ đoạn FS BC và FS BC// =
⇒ BCSF là hình bình hành
⇒ CS//BF
⇒(ACS) chứa AC và song song BF.
Khi đó ADSF là hình bình hành vì AD // SF
Gọi I AS DF= ∩ thì I là giao điểm của DF và (ACS).
Trang 6
E
F
C
S D
H
B K I
A
Khi đó:DF DI =12
2 Vẽ AK BF⊥
Ta có AC BF⊥ ⇒BF ⊥(ACK)⇒BF HK⊥
• ∆ABFcó . 2. 6
3 3
AF AB a a a AK
• ∆ABKcó 2 2 2 0 6 2 3 2 3
BK = AB −AK = − = ⇒BK =
• Ta có AC HK⊥ và AC BK⊥ nên AC⊥(BHK).
2
2
9 3
3
AC HB
⇒ = − = − = −
3 Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK
Ta có: 3
TP
V r S
=
3
1 . 1 1. . .
1. . 3. 3 3
AHK
= + + + =
=
Vậy:
3 2
3
18 ( 2 1) 2( 2 1) 3
a
a r
a
Câu V:
10
10
+ = + + +
Trang 7Tìm Max a (0k ≤ ≤k 10)
Ta có :
a C − =
=
Đặt 10
10!2 ( ) 2
!(10 )!
f k C
− với k=1,10 10!2( 1)
( 1)
( 1)!(11 )!
k
f k
−
Xét f k(f k( )1)=211k − >1 1
22 3
k<
( ) ( 1)
f k f k
⇒ > − Khi 22
3
k <
(0) (1) (7)
⇒ < < <
Và f k(f k( )−1) =211k − <1 1
Khi
22 3
k >
( ) ( 1)
f k f k
⇒ < − Khi 22
3
k >
(10) (9) (8)
⇒ < <
Ta có f f(8)(7)=2118 − = < ⇒1 34 1 f(8)< f(7)
Vậy
10
7 7
7 1 10
K
Max a =a = C
