Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.. Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng x =1 và A không thuộc trục hoành
Trang 1Câu I:
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 2
1
x x y
x
=
−
2 Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
Câu II:
1 Giải hệ phương trình :
6 6
1
x y
2 Giải và biện luận phương trình :
25x +2mx+2−52x2+4mx m+ +2 =x2+2mx m+
trong đó m là tham số
3 Giả sử x và y thì các số thay đổi thoả mãn :x > 0 , y > 0 và x+y=1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P 1x 1y
Câu III:
Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện :
cos cos cos sin sin sin 1
A B C − A B C =
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
Câu IV:
Cho họ đường cong(C ) có phương trình : m 22 2 2 1
25
m +m =
−
trong đó m là tham số , m≠0 và m≠ ±5
1 Tùy theo các giá trị của m ,hãy xác định khi nào thì C là Elip và khi nào thì m m
C là Hyperbol?
2 Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng x =1 và A không thuộc trục hoành Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn luôn có bốn đường cong của họ (Cm) đi qua A Hỏi trong số bốn đường cong (C ) đó có bao nhiêu Elip và bao nhiêu m
Hyperbol ?
Câu V:
1 Trên mặt phẳng cho thập giác lồi ( hình mười cạnh lồi ) A A1 2 A Xét tất cả 10 các tam giác mà ba đỉnh của nó là đỉnh của thập giác.Hỏi trong số các tam giác đó , có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác ?
2 Tính tích phân : 4 6 6
0
sin 4
π
+
∫
Trang 2DAP AN (ĐỀ SỐ 1) CÂU I:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1
y
x
=
−
• TXĐ: D = R\{1}
2 2 '
2 ( 1)
0 ' 0
2
x x y
x
x y
x
−
=
−
=
• Tiệm cận đứng:
x = 1 vì lim1x = ∞
→
Ta có: 3 1
1
y x
x
= + +
−
• Tiệm cận xiên:
y = x + 3 vì lim 1 0
1
x
−
→ ∞
• BBT:
• Đồ thị:
Trang 3cận là nhỏ nhất.
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là: I(1,4)
Gọi M 1 a, 4 a 1 ( )C
a
• Xét a > 0
Ta có:
2
2 2 2
2 2 2
IM
min(IM) 2 2 2
a
Do tính đối xứng nên có 2 điểm M thoả điều kiện bài toán:
1 42 42
2 42 42
M M
CÂU II:
1) Giải hệ:
Trang 43 3 3 3 (1)
x y
− = −
Ta có (1): ⇔ x3−y3 3− (x y− ) =0
x y
x xy y
=
Với x = y thế vào (2) ta có:
−
Với 2x +xy y+ 2 3 0− = (*) Từ (2) ⇒ x y, ≤1
Nên (*) ⇔x2 =xy= y2 1= Không thỏa (2) loại trường hợp này Vậy hệ có nghiệm là: 1 , 1 ; 1, 1
62 62 62 62
2) Giải và biện luận:
Nếu 2 2x + mx m+ >0thì vế trái < 0 và vế phải > 0
Nếu 2 2x + mx m+ <0 thì vế trái > 0 và vế phải < 0
Vậy phương trình ⇔ x2 2+ mx m+ =0 có V' m= 2−m
Biện luận:
3) x > 0, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất
Trang 51−x 1−y
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
'
2 1 2
−
−
−
⇔ =
P
P
x
Bảng biến thiên:
min
p = khi 1
2
x= =y
CÂU III:
Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
cos cos cos sin sin sin 1
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
Ta có:
(1)
Trang 6( )
4cos cos cos 4sin sin sin 2
sin sin sin 1 cos cos cos 2 cos cos cos 1 sin sin sin 0
2
2sin cos 0
2sin cos cos 2 cos cos cos
−
0 2
sin cos
1
2 2
2 2
2
π π
π π
−
−
−
=
=
A B
B A C
C tg
A A
C
C
Vậy tam giác ABC vuông
CÂU IV:
2 2 25
C m
m +m =
−
1) (C m là elip )
5
m
m m
(C m là hyperbol)
5
m
m
2) Lấy A(1, a) thuộc đường thẳng x = 1 và A không thuộc Ox nên a khác 0
Ta có: ( ) 1 2 1
2 2 25
a
A C m
−
Trang 7( 26) 25 0 (1)
Đặt t m= 2 thì (1) là f t( )=t2−(a2+26)t+25 0=
Có: 1 (25) 25 2 0 vì a 0
25 0
= >
P
Nên f(t) = 0 có 2 nghiệm ,t t thỏa 01 2 25
< < <
⇔ < < <
⇔ < < <
Vậy với mỗi điểm A(1, a) luôn có 4 đường cong thuộc họ (Cm) đi qua, trong đó có 2 elip và 2 hyperbol
CÂU V:
1) Số tam giác bất kỳ có 3 đỉnh là 3 đỉnh của thập giác là
3 120
10
C =
Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác là:
10 x 6 = 60 (do 1 cạnh có 6 tam giác)
Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là: 10
Vậy có : 120 – 60 – 10 = 50 tam giác thỏa yêu cầu của đề bài toán
2) (Khối D)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) = sin6 x+cos6x
Ta có:
sin cos
sin cos 1 3sin cos
1 sin cos 4
5 3 cos 4
8 8
x
+
= −
= +
Vậy ( ) 5 3cos 4
8 8
f x = + x
⇒ Nguyên hàm ( ) 5 3 sin 4
8 32
F x = x+ x c+
2) (Khối A)
Tính 4 68sin 4 6
sin cos 0
x
π
Ta có:
Trang 84 8sin 4
5 3cos 4 0
x
x
π
Đặt t = 5 + 3cos4x ⇒ = −dt 12sin 4xdx
Đổi cận:
2 4
x π t
8 8
ln ln 4
t
