Tích phân và phương trình vô tỉ

Biến đổi hệ thành.[r]

PHẦN BÀI TẬP TÍCH PHÂN

Bài 1: Tính tích phân

3 2

2 1

21

dx A

3 4

x dx x

cos 2(1 sin 2 ).cos( )

ln(x x dx)



0cos 2 sin cos



Bài 15: Tính tích phân I =

4 6 0

tan2

x dx cos x





Bài 16: Tính tích phân :

1 3 2

ln11

x x

sin sin 2 os

Bài 26: Tính tích phân: I =

2 0

4 sinx cos 22sin 1

dx x

PHẦN BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bài 1: Giải hệ phương trình

422

Bài 6: Giải hệ phương trình:

Bài 15: Giải bất phương trình:  2    2

4 x1  2x10 1 3 2 x

Bài 16: Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình m2x m  x 1 có nghiệm trên đoạn

0; 2

Bài 17: Giải phương trình: 2 33 x 1 3 1 5 x 8 0

Bài 19: Giải phương trình : 2x22 5 x31

Bài 20: Giải phương trình sau :2x25x 1 7 x3 1

Bài 21: Giải phương trình :x3 3x22 x23  6x0

Bài 22: Giải hệ phương trình:

Bài 28: Giải bất phương trình:  x 3 x1 x 3 x22x 34

Bài 29: Giải hệ phương trình:

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TÍCH PHÂN

Bài 1: Tính tích phân

3 2

2 1

21

dx A

3

2 2

3 4

2

3 4

ln(1t dt)



Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du = 2

2,1

dt t

x dx x

11

tanx

dx cos x

Đặt t = 2 tan x 2 thì dt = 2 2

tancos 2 tan

xdx

Đổi cận : Với x = 4

 thì t = 3 , x = 3

 thì t = 5

Ta được

5 3

cos 2(1 sin 2 ).cos( )

2

1

2 22

Ta tính

3

1

2 1

2 1 tan u1

du

2 tan u 22

1u2

12ln 6 ln 2 2

Bài 14: Tính tích phân: 2  4 4 

0cos 2 sin cos

2

2 0

1cos 2 1 sin 2

tan2

x dx cos x

13

dx 2tdt : Đổi cận khi x = -2 thì t = 0 ; khi x = -1 thì t = 1

Bài 17: Tính tích phân:

2

2 0

sin 2 2sin cos

2 cos 2sin sin 2sin 1

ln11

x x

ln11

x x

1ln2

I  t tdt

.( 1)1

x

xe x e

dx xe





Đặt t=x e x

x

xe x e

dx xe







1 1

( 1)

e t

dt t







1 1

11

e

dt t

Khi đó

3 0

sin sin 2 os

4 1

ln 11

xdx dt

1

2t dt

=

3 2 80

t

 =

1

Bài 26: Tính tích phân: I =

2 0

4 sinx cos 22sin 1

dx x

(x − π

4)sin(x − π

4)dxĐặt t=cos(x − π

Suy ra: I=4

64

10

a a

b a

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4; -7).

Bài 2: Giải hệ phương trình

2 2

11

422

u v

u v

x y

x y

x y

x y

Phương trình (1) trở thành : 2t 2 – t – 6 = 0

2 /3 t/m2

12

x y

t m x

+) ĐK: x  ( 2; 2) \{0}

+) Đặt y 2 x2,y0Ta có hệ: 2 2

22

 



Xét hàm số : f(x) =

x x



> 0  x 0

+ x = 3  f(3) = 6 , có nghiệm duy nhất khi – m > 6  m < - 6

Bài 6: Giải hệ phương trình:

KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y  

Bài 7: Giải bất phương trình : √2 x2−3 x − 2

Bài 8: Giải hệ phương trình :

4 3 2 2

3 2

11

*Đặt ẩn phụ

2 3

*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3)

*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)

Bài 9: Tìm ađể hệ phương trình sau có nghiệm :

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  m 2

Bài 14: Giải hệ phương trình:

 Thay (4) vào (2) ta được: 4y 9y  5 y1=>x=2(tmdk)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y)

x 

2 2

2

2 10 1 3 2 1 3 2

1 3 21

S    



Bài 16: Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình m2x m  x 1

có nghiệm trên đoạn 0;2.

v  Vậy 33x  1 2 Nghiệm của p.trình đã cho là x = -3

Bài 18: Giải phương trình sau: x212 5 3  x x25

2 6 - 6 f(x)

f'(x)

Bài 21: Giải phương trình :x3 3x22 x23  6x0

Nhận xét : Đặt y x2 ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Trường hợp x y 0 thế vào (2) không thoả mãn.

Trường hợp x2  y 1 thế vào phương trình (2): 2y3 3 2 y1 0 3  

 

  ; mà f(1) 0

Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất y 1

Với y 1 x2  2 x 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2;1);( 2;1).

Bài 23: Giải phương trình

Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ là ( x ; y )=(1; 1) .

Bài 24: Giải bất phương trình:

x2

Bài 26: Giải hệ phương trình

2

2 3 2 3 02(2 ) 3 ( 1) 6 ( 1) 2 0

Nếu x = − 1 thì y = 0 Cặp (x; y) = (− 1; 0) không phải là nghiệm của hệ.

Với x ≠ − 1, chia 2 vế của (*) cho (x + 1) 3 , ta được

t t  t 

 t = −

12

x x

1

6 (thỏa điều kiện ban đầu).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (−

Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 2  x < 3

Bài 28: Giải bất phương trình:  x  3 x 1 x 3  x2  2x 3 4

Bài 29: Giải hệ phương trình:

16

263

u v