Tích Phân Bất Định –Xác Định.Bài 1: Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ:( )( )23 222223 22222 266 11 65 95 65 96 82 5 1( 3)( 1)4 31( 1)4 5dxx xdxx x xx x dxx xx x dxx xx x x dxx xdxxdxx x x xx x− −+ + +− +− +− +− ++ + ++ +− + + ++−∫∫∫∫∫∫∫( )( )4424 3222102225 6 9( 3) ( 1)3 5121(1)x xx xxxdxxdxdxx xx dxxdxx x−++−+− +++∫∫∫∫∫333318( 1)4dxxxdxx x+−−∫∫ 2 Bài tập 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:( )222231cos2 sin 21 sin3cos 3sin(2 1)sin 3 cos3xxedxex x dxxdxxxdxxx xdx−+++∫∫∫∫∫( )2115 2222 1sinh .cosh52arcsin1xxxdxxdxx xx x dxe dxex xdxx−−−+−∫∫∫∫∫2222322 2211111sincos141xxxdxxedxedxx xxdxxxdxxxdxxdxx xx dx−+−+++−−∫∫∫∫∫∫∫∫23sin1 lnsin 2 xxdxxe xdx−∫∫ 3 Bài 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:22421114x xxxxdxxe e dxadxaxdxx+−−+−∫∫∫∫262221arcsin1arctan 21 4x xa axdxxe e dxxdxxx x dxx−+ − −−+∫∫∫∫Bài 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:( )2 223arcsinsin cosarctanln5 6lnxxx xdxx x xdxx xdxx xdxx x e dxxdxexdxx+ +∫∫∫∫∫∫∫( )222ln 12 5sinsinsin lncosxxxx x dxx x dxexdxxe xdxx dxxe xdx + + − +∫∫∫∫∫∫ 4 Bài 5: Tính các nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:2222222 3 43 64 52 815 2 11dxx xdxx xxdxx xxdxx xxdxx xdxx x+ +−−− +−− −− +−∫∫∫∫∫∫( )2211 2dxx x xdxx x+ −− −∫∫( ) 2224 21 224 3dxx x xx x dxx x dxxdxx x+ +−− −− +∫∫∫∫2222cossin 6sin 121sincos 4cos 1ln1 4ln lnxx xxdxx xe dxe exdxx xxdxx x x
Trang 1- 1 -
Tích Phân Bất Định –Xác Định
Bài 1: Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ:
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6 11 6
5 9
5 6
5 9
6 8
4 3
1
( 1)
4 5
dx
x x
dx
x x
dx
x x
x x
dx
x x
x x x
dx
dx x
dx
x x
− −
− +
− +
− +
− +
+ + +
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
4 4
2
4 3
2
2
2 10
2 2
2
( 3) ( 1)
3 5 1
2
1 (
1
)
x x
x
x dx x
dx
dx
x x
x dx x
dx
x x
−
+ +
−
+
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
3 3 3
3 1 8( 1) 4
dx x
x
dx
x x
+
−
−
∫
∫
Trang 2Bài tập 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:
2
2
2
2
3
1
cos 2 sin 2
1 sin 3
cos 3
sin(2 1)
sin 3 cos3
x
x
e
dx
e
x x dx
x
dx x
xdx
x
x xdx
−
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
2
11
2
2
2 1
sinh cosh
5
2
arcsin
1
x
x
x
dx x
dx
x x dx
e dx
e
x x
dx x
−
−
−
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2
2
3
2
2
1
1
1 1
1 sin cos 1
4 1
x x
x dx x e dx e
dx
x x x dx x x dx x x
dx x
dx
x dx
−
+
− + +
+
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
3
sin
1 ln
sin 2
x
x dx x
−
∫
∫
Trang 3- 3 - Bài 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:
2
2
4
2
1
1
1
4
x
x
x
dx
x
e e dx
a
dx
a
xdx
x
+
−
−
+
−
∫
∫
∫
∫
2 6
2
2
2
1
arcsin 1 arctan 2
1 4
x dx x
e e dx
x dx x
dx x
−
+
−
− +
∫
∫
∫
∫ Bài 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:
2 2
2
3
arcsin
sin cos
arctan
ln
5 6
ln
x
x
x xdx
x x xdx
x xdx
x xdx
x x e dx
x
dx
e
x
dx
x
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 2
2
sin sin
sin ln
cos
x
x
x
x x dx
x x
dx e
xdx x
e xdx
x dx
xe xdx
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Trang 4Bài 5: Tính các nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:
2
2
2
2
2
2
3 6
4 5
2 8
1
1
dx
x x
dx
x x
x
dx
x x
x
dx
x x
xdx
x x
dx
x x
+ +
−
−
− +
−
− −
− +
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
1
dx
x x x
dx
+ −
∫
∫
2 2
2
dx
x x dx
x x dx
xdx
x x
−
− −
∫
∫
∫
∫
2
2 2
2
cos sin 6sin 12
1 sin
ln
1 4ln ln
x
x x
xdx
e dx
e e xdx
xdx
∫
∫
∫
∫
Trang 5- 5 - Bài tập 6: Tính nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:
3
2
3
4
1
1
1
1
3
1
x
x dx
x
x
dx
x
x
dx
x x
dx
xdx
x x
−
+
+
−
+
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
3
3
3
2
1
1 2
2
x dx x dx
dx
x x x
dx
xdx x
−
+ + +
+
∫
∫
∫
∫
∫
Bài 7: Tính nguyên hàm các hàm vô tỷ sau:
Trang 6( )
5 2
3 2
2
2
2
4
2
1
1 1
4
1
1
dx
x x
dx
x x
dx
x x x
x
x dx
x
x
dx
x x
x k dx
−
+ +
− +
−
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2 2 5 2
2 6
2
4
1
1
1
x x dx
x dx
x x
x dx x dx
x x x
x dx x
+
− +
−
+
∫
∫
∫
∫
∫
Bài 10: Tính nguyên hàm:
2
3
2
cos
sin sin 2 sin 3 sin
tan sin cos
3sin 2cos
1 sin cos
x x xdx x
x
x x
dx
dx
+
3
2
sinh
sin cos
dx
x x
Bài 11: Tính tích phân xác định sau:
Trang 7- 7 -
4
5
2
3
3
2
0
sin 1
cos
1
arctan 1
x x x
x
x
π
π
π
−
+
−
−
Tích Phân Suy Rộng
Bài 1: Xét sự hội tụ của tích phân sau:
1
2
0
1
4
0
1
3
0
1
0
2
0
1
ln
1
sin
cos
x x
dx
x x
xdx
x
dx
x e e
dx
x
dx x
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
π
( )
3 0
1
4 3 0 2 1
2 3 4 1
0
0
5 2 3
0
1 ln
1 sin
cos
1
dx
x x x dx
x dx x dx
x x xdx
x dx x
x dx x
+∝
+∝
− +∞
+∞
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Trang 8Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau:
( )
1
2
3
2
2 3
2
2
2
2
0
2
1
2
6
0
2
2
2
1
2
1
2 2
1
( 1)( 2)
1
( 1)( 2)( 3)
(5 3)
( 2)(3 2 1)
( 1)
( 1)
1
2
3
1
12
1
2 3
t
e dt
dx
x x
dx
x x
dx
x
dx
x
dx
x x
dx
x x
x
dx
x x x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
−∝
+∞
−∝
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+ +
−
+
−
+ +
+
+ +
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
0
0
2 1
2 0
2 0
4 0
0
0
1
0
1
1 (ln 1) 1 cosh ( )
1 2
4 1
1 sinh
2
x x
x x
x
x x x
x
x
dx
e e
dx
e e
dx
x x
dx x
xe dx
dx e dx dx e dx x xdx
+∞
− +∞
+∞
+∞
+∞
−
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+
+ +
+
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Trang 9- 9 -
2 2
2
1
3
2
2 2
0
1
(1 )
1
1
dx
x x
dx
x x
xdx
x
dx
dx
x x
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−
+
−
+ +
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
1
2 1
2
1 2
2 1
3 3
1
3 5 0
(4 ) 1
1
1 2
dx
dx
x x dx
x x
x x dx x
−
−
− −
∫
∫
∫
∫
Bài 3: Tìm tất cả các giá trịα để tích phân suy rộng sau hội tụ:
3/
1
0
2
1
1
1
1
ln 1
arctan 3
(2 )
1
2
1
2
x
x
e
dx
x
dx x
dx
x x
x
dx
e x
dx
x x
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
α
α
α
α
α
1
0 1
0
3
7 5 1
3 1 1
0
ln 1
1
ln(1 )
( 1)
1
sin
1 cosh cos
x
x
x dx e
dx
x
dx
x x
dx
x x x
dx
+∞
+∞
+
−
−
− +
+
− +
−
∫
∫
∫
∫
∫
α
α α
α α
0
sin
dx
x
β
α
+∝
−
Trang 10Ứng Dụng Tích Phân
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
1 y=4x−x2 và Ox 2 y=ln ,x Oy x, = e
3 x= y2,y=1,x= 8 4 xy=4,x=1,x=3,y = 0
5 y= x y3, =8,x= 0 6 x2 + y2 =8,y2 =2x (tính riêng từng phần)
7 y=2x−x2,y= − x 8
2
2
x
y=x y= y = x
9
2 2
1
, 2 1
x
x
y =e y =e− x= >0 Bài 2: Tính độ dài đường cong:
1 y2 = x x3, = 4 2 y=2 x x, =0 1
3 y=e x x, =0 1 4 y=ln ,x x= 3 8
5 y=arcsin( )e−x ,x=0 1 6 1 2 1ln , 1
x= y − y y= e
Bài 3: Tính vật thể khi cho miền phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục toạ độ tương ứng:
1 3(0 ),
3
x
y= ≤ ≤x a ox 2 y=sin ,0x ≤ ≤x π,ox oy,
3 y=xsin ,0x ≤ ≤x π,ox oy, 4
2 2
y x
x y
Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay quanh các đường sau quanh trục tương ứng:
1 3(0 ),
3
x
y= ≤ ≤x a ox 2 y=xsin ,0x ≤ ≤x π,ox oy,
Trang 11- 11 -
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1
2
2 1
2
4 5 3
2.
3.
1
4 2
6 cos 1 sin
7 ( )
10.
12.(2 1)
y x
x x
x y
x
e
x y
+
−
′ = +
=
−
′ =
′ + = −
′
+ +
2
2 2
1
xy
x
−
′ ′
1 16.
1
y
xy
′ =
−
Trang 123
2
17.( ln )
18 sin 2
19.
2
y y
xy
x y
′
′ =
+
′
Trang 13- 13 -
1
cos sin 1
22.
cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1
3 sin(3 )
23.3 sin( ) ( 3 in( ) 0
3 sin(3 )
1 24.
1
x
y
y
y
x
−
′
−
+ +
′ = → ′ =
−
−
2
2
26.
1
2
ln
x
y
y
α
2 2
2 3
30.2( ) ( ) 1, :
(1 2 ) 2
32.(1 2 ) 2 (1 2 )
x
x x
α
′
+
Trang 142
2 2
33 cosln cosln
35 cos sin cos 2 ( )
2
1 arcsin
y
y
e
x
′
′
)
oulli
′ − − = → ′ = + +
Trang 15- 15 -
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
r
r
r
r
r
y y y x x y ax b x cx d x
y y y xe y xe ax b
y y y e y x e a
3 3
2
sin 2x
7 ,giai bang pp bien thien hang so
8 9 2 sin sin 2
1
1
x
x
x
y ax b e y a x b x
y y tgx
y y x x(= cosx - cos3x),
y a x b x y x a x b x
e
′′ + =
′′ + =
′′+ ′+ =
+
2
2
3 2
2 2
g pp bien thien hang so
1
2
t
x y xy y x pt Euler
x y xy y pt Euler
x x
x y xy y pt Euler
x y xy y x pt Euler
Trang 16
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ
2
2
2
4 6
2 3
2 1
2
1
5.
t
dx
dt
dy
dt
dx
dy
dt
dx
dt
dy
dt
= +
= +
= +
= − +
= + + −
, 4 2cos 7 sin
3 sin
dy
dt
= + +
Trang 17- 17 -
2
2
12 5
5 12
5 7.
3
0
0(1)
0
:
t t
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dt
= − − +
′′ + ′ + ′ =
′′ ′
cos 9.
sin
10.
6
x dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
=
= − +
= − +