Các kĩ thuật xử lý tích phân

Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân... LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ..[r]

HUẾ

TOÁN

12 BINH PHÁP LƯU HÀNH

NỘI BỘ

CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN

BÀI 2 TÍCH PHÂN 2

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 2

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM 3

Dang 1: Tích phân hữu tỉ 3

1 Phương pháp 3

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 4

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 7

Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức 10

1 Phương pháp 10

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 11

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 14

Dạng 3: Tích phân lượng giác 18

1 Phương pháp 18

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 20

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 24

Dạng 4: Tích phân từng phần 27

1 Phương pháp 27

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 27

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 32

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 38

1 Phương pháp 38

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 39

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 42

Dạng 6: Tích phân siêu việt 44

1 Phương pháp 44

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 44

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 48

Dạng 7: Tích phân hàm ẩn 54

1 Phương pháp 54

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 56

3 Bài tập rèn luyện tốc độ 61

Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 67

1 Phương pháp 67

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 68

3 Bài tập rèn luyên tốc độ 70

BÀI 2 TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa tích phân

Cho f x  là hàm số liên tục trên đoạn a, b  Giả sử F x  là một nguyên hàm của f x  trên đoạn a, b 

Hiệu số F b    F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn a, b  của hàm số

chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x  liên tục và không âm trên đoạn a, b ,  thì tích phân b ( )

III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn a, b  Giả sử hàm số x   t có đạo hàm liên tục trên đoạn   ,  sao cho        a,   b và a   t  b với mọi t     ; . Khi đó:

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Dang 1: Tích phân hữu tỉ

Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số , A B M N i k, ,

Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản

Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách sẽ gắn gọn hơn

+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Cho

5 2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có:

5

5 2 2

Khi thấy những bài tích phân có dạng

n m

A m 3 B m 2 C m 1 D m 3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

0 2

a x



b là phân số tối giản Giá trị

của a b bằng 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

0 0

5 5

1 1

dln

5

5 1 1

ln 1

Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được: A B 2 A 1; B 3

số nguyên tố Giá trị của T a b c d e bằng     

111

m k n

Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau

Ví dụ 2: Tính tích phân

3 0

16.3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

d

x I

A 4.

5

7

8.3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

11

A m2 1 m2 1 1

.3

C m2 1 m2 1 1

.3

D m2 1

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Đổi biến thành

3 3

d 1

2 2

Câu 7: Cho tích phân 2 2

3 a

Giải được a 0  (sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE)

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính

Nhập vào màn hình

3 A



1 sinkxdx coskx C



cot sin kx dx  k kx C



1.2 Một số lớp bài toán thường gặp

Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác

Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C rồi ta đưa về dạng 4 nếu C  0

Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Cho tích phân 2

2 cos x cos 3xdx a b.

A 0 B 2 C 1 D 1

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

4 4

K cos xdx cos x.cos xdx 1 sin x cos xdx

Đặt t  sin x suy ra dt cosxdx, x 0   t 0, x   t 1

Ví dụ 6: Cho tích phân 6

3 0

C 2 2

F x 2

I x cos x dx xdx cos xdx xdx cos xd sin x

Câu 8: Cho tích phân 3

0 0

A I F 3 F 1 B I F 6 F 3 C I F 9 F 3 D I F 4 F 2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

e e k

3 2

e 1

ln xdx x ln x   xd ln x e   dx 1   

 

e 1

v 2

A 1 B 0 C 4 D 2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

Ta có:

2 0

I  x e x được viết dưới dạng I ae b  với a, b là các số hữu tỉ

Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

I  x e  e x = 5e 3 2e1= 3e 1

 Vậy a và 3 b  1

Đặt

2

2 2

 (a, b, c là các số nguyên) Khi đó a+b+c bằng

hướng dẫn giải ĐAP AN D

dv v tan x cos x

Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên  a b;

Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)

+) Cho f x( ) 0  tìm nghiệm trên  a b;

+) Xét dấu của f x( ) trên  a b; , dựa vào dấu của f x( ) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

2 1





1 cos 2xdx 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

0 0

0

0 0

0

-

-

-+ +

+ +

+

+ + +

+∞

3 1

-1

- 3 -∞

3 0

Dạng 6: Tích phân siêu việt

1 Phương pháp

2 Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Xét tích phân 2

2 1

.e dx

ux , tích phân I được biến đổi thành dạng nào sau đây:

A

2 1

2 e du

2 1

1

e d2

u

2 1

1

e d2

u

2 1

2 e du

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

2 1

1

e d2

2 2

A I 0 B

2020

22019

2019

22019

2018

22018

Lời giải

Tính tích phân

2 2018 2

2de.2

x x

f t t

f x x





 

2 2

d

f x x

f x x

lnd

ln2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

A 10 B 8 C 12 D 6

Lời giải ĐÁP ÁN B

Ta có

2 2 1

1dln

x x x

2 2

a b

   2

Từ  1 và  2 ta có

3

58

a b a b

a b

4

Xét

1

2 2 0

0

ed

1d

Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt tln x , suy ra dt 1dx

Câu 9: Cho tích phân

e 1

3 1d

3 1d

x x

t t x

Xét

3 1 0

de

2d

2 3

3213

a b

2018 2019

I 



Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Từ giả thiết 3f x xf x x2018, nhân hai vế cho x2 ta được

Nhân hai vế cho e x để thu được đạo hàm đúng, ta được

Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm trên   , thỏa mãn f x' 2018f x 2018x2017 2018e x với mọi

x và f  0 2018 Giá trị f  1 bằng

A 2018e2018 B 2017e2018 C 2018e2018 D 2019e2018

Lời giải ĐÁP ÁN D

Nhân hai vế cho e2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được

2



e

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Nhân hai vế cho

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Giả sử F x  là nguyên hàm của hàm số f x 

Ví dụ 10: Cho hàm số f x  liên tục trong đoạn  1;e , biết e    

1 1

Ví dụ 13: Cho f x  là hàm liên tục trên đoạn  0;a thỏa mãn    



trong đó b, c là hai số nguyên dương và b

c là phân số tối giản Khi đó b c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

2d

2 0



Từ giả thiết f x f  2xe2x24x x2 f  2 1.

       

 

   

2 2

Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2f   x f x cos x

Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên   1; 2

Từ giả thiết, thay x bằng 1

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

3

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A

 

   

2 4

2 1

2 2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

2 2

e

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A



Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

D 

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Câu 4: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn 1     2

f x f x

muốn vậy ta phải đánh giá theo AM GM như sau:

Câu 5: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f x  liên tục trên  1; 2 , thỏa mãn

Hàm dưới dấu tích phân là  