ĐỀ, ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN (2011-2012)

Họ làm với nhau được 30 phút thì người thứ nhất phải đi làm việc khác, người thứ hai phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Từ một điểm M trên cung nhỏ. AC hạ MD và ME lần lượ[r]

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức P

1

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Câu 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình sau: x9 7  x2

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: x2y 3x4y 96

Câu 3: (4 điểm) Hai người làm chung một công việc thì sau 1 giờ 12 phút

hoàn thành Họ làm với nhau được 30 phút thì người thứ nhất phải đi làm việc khác, người thứ hai phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc Hỏi mỗi người làm một mình hoàn thành công việc đó trong bao lâu

Câu 4: (4 điểm)

Cho  ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Từ một điểm M trên cung nhỏ

AC hạ MD và ME lần lượt vuông góc với BC và AC

a) Chứng minh rằng các điểm M, E, D, C cùng thuộc một đường tròn b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và ED Chứng minh rằng MJ  IJ

Câu 5: (2 điểm) Cho  ABC (AB < AC), đường cao AH, trung tuyến AM

thoả mãn góc BAH = HAM = MAC Hãy tính các góc của  ABC

Câu 6: (2 điểm) Cho A

1

    

Chứng minh rằng A > 20

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9

Câu 1:

Biến đổi thành P    

(0.25đ)



(0.25đ)

(0.5đ)

1

x



(0.5đ)

b) Biến đổi P

1

x



Để P nhận giá trị nguyên thì x 1 Ư(2)

Câu 2:

Chuyển vế và bình phương 2x11 2 x9 x2 49 (0.5đ)

 19  x x 9 x 2

(0.25đ) Với điều kiện x 19 bình phương hai vế được

343 49x x 7

b) Đặt A  x 2y, B 3x4y (A, B  N) (0.25đ)

Ta có A.B = 96, biến đổi x, y theo A, B ta có  

B - 2A 1

y = 3A - B 2

x 









(0.5đ)

Do x > 0 nên B > 2A => 2A2 < 96 => A2 < 48 (0.25đ)

Do y > 0 nên B < 3A => 3A2 > 96 => A2 > 32 (0.25đ)

Câu 3:

Gọi thời gian người 1, người 2 làm một mình hoàn thành công việc là x, y (giờ)

Trong 1 giờ mỗi người làm được số công việc là    

CV và CV

Lập luận được phương trình:

6

Sau 30’

1

2



h hai người làm được

5

Sau 45’

3

4



h người hai làm được

3

Lập luận được phương trình

Từ đó tính được y

9 4



; x

18 7



(0.25đ)

Câu 4:

a) MD  AC => MDC = 900 => M, D, C thuộc

đường tròn đường kính MC (0,75đ)

ME  BC => MEC = 900 => M, E, C thuộc

đường tròn đường kính MC (0,75đ)

=> 4 điểm M, D, E, C thuộc đường tròn đường

b) Hạ MK  AB => các tứ giác MDEC, MDAK

nội tiếp, do đó EDC = EMC, ADK= AMK

Lại có KAM = MCE =>  AKM  CEM => EMC = KMA

Suy ra ADK = EDC => K, D, E thẳng hàng (1đ)

 MDE  MAB (MBA = MCD = MED; MAB = MDE cùng bù MCB)

=>

=

AI DJ , kết hợp MAI = MDJ =>  AMI  DMJ => AIM = DJM

=> Tứ giác MJIK nội tiếp => MJI + MKI = 900 => MỊ = 900

Câu 5:

Gọi N là TĐ của AB => MN // AC (1)

=> MAC = AMN

 ANH cân tại N => HAB = AHN N

A

M B

K

J

E

O

B

A

C M

=> AMN = AHN => tứ giác AMHN nội tiếp trong đường tròn (0,75đ)

=> AHM = ANM = 900

Từ (1), (2) => AB  AC => BAC = 900

Do đó BAH = HAM = MAC = 300

Từ đó tính được các góc ABC = 600, ACB = 300 (0,5đ) Câu 6:

A

1

2

(0,5đ)

 A

 A  2 2 1   3  2  4  3   121  120

(0,5đ)

 A  2 1  121  2 1 11    20

(0,5đ)