Chu de tu chon Toan 10Chu de 2

Bæ sung thªm c¸c kiÕn thøc vÒ sù biÓu diÔn mét vect¬ theo c¸c vect¬ kh«ng cïng ph¬ng.. HÖ thøc Sal¬.[r]

Trang 1

chủ đề 2 vectơ và các phép toán (8 tiết)

1 Mục tiêu

• Về kiến thức: HS củng cố, khắc sâu các kiến thức cơ bản về vectơ và các phép toán Bổ sung

thêm các kiến thức về sự biểu diễn một vectơ theo các vectơ không cùng phơng Khái niệm hệ trục tọa độ và tọa độ của vectơ và của điểm Hệ thức Salơ Biểu thức tọa độ của các phép toán

• Về kỹ năng: Biết cách giải một số dạng toán về vectơ Biết dùng vectơ nh là một phơng pháp để

giải các dạng toán hình học: Chứng minh hai đờng thẳng song song, 3 điểm thẳng hàng, 2 điểm trùng nhau…

2 chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

GV: Chuẩn bị hệ thống các bài tập hợp lí, phù hợp với năng lực thực tế của học sinh.

HS: Giải quyết trớc các bài tập về tập hợp ở SGK ĐS lớp 10, nắm vững các kiến thức về các phép

toán tập hợp

3 dự kiến phơng pháp dạy học.

Sử dụng phơng pháp vấn đáp – gợi mở có phối hợp hoạt động nhóm và phân bậc hoạt

động các nội dung ghi bảng

4 tiến trình bài học.

Phân phối thời lợng: Tiết 1,2: Phần A – Định nghĩa vectơ, vectơ –không

Tiết 3, 4: Phần B – Tổng và hiệu các vectơ

Tiết 5, 6: Phần C – Tích một vectơ và một số

Tiết 7, 8: Phần D –Hệ tọa độ, tọa độ của vectơ và của điểm

Ngày 13/10/2006 – Tiết PPCT: 04,05

Hoạt động 1

A Định nghĩa vectơ, vectơ không.

1) Kiến thức cơ bản:

• Vectơ là đoạn thẳng có hớng

• Hai vectơ gọi là cùng phơng nếu chúng cùng giá hoặc có giá song song

• Hai vectơ cùng phơng thì có thể cùng hớng hoặc ngợc hớng

• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hớng và cùng độ dài

• Vectơ có điểm đều và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ không 0



2) Các dạng toán thờng gặp.

Dạng 1 Cách xác định một vectơ, hớng của vectơ, độ dài vectơ

Phơng pháp Để xác định một vectơ chúng ta dựa vào phơng, hớng và độ dài của vectơ đó Chúng

ta có thể dựa vào tính chất hình học của các hình

Bài số 1 Cho 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.

a) Khi nào thì hai vectơ AB

và AC

 cùng hớng

b) Khi nào thì hai vectơ AB



và AC

 ngợc hớng

c) Khi nào ta có AB

 = BC



Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: AB



và AC

 cùng hớng khi nào? Vẽ hình biểu diễn?

H2: AB



và AC

 ngợc hớng khi nào? Vẽ hình biểu diễn?

H3: Khi nào ta có AB

 = BC



?

• Gợi ý trả lời H1:

AB và AC

 cùng hớng khi và chỉ khi A nằm ngoài đoạn BC

• Gợi ý trả lời H2: AB



và AC

 ngợc hớng khi

và chỉ khi A nằm giữa B và C

• Gợi ý trả lời H3: AB

 = BC

 khi và chỉ khi B

là trung điểm của AC

Bài số 2 Cho ABCD là hình thoi có O là tâm đối xứng.

B

A

D

C

O

Trang 2

a) Tìm các vectơ khác 0



và cùng phơng với AB

 b) Tìm các vectơ khác 0



và cùng hớng với AO



H1: Các vectơ khác 0 và cùng phơng với AB

H2: Các vectơ khác 0 và cùng hớng với AO

• Gợi ý trả lời H1: BA, CD, DC

  

• Gợi ý trả lời H2: OC, AC

 

Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau.

Phơng pháp: Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng cùng hớng và có cùng độ

dài

Bài số 3 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lợt là trung điểm của BC và AD I là

giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của CN và DM

Chứng minh: AM               NC, DK NI 

H1: Để chứng minh AMNC

 

ta cần chứng minh điều gì?

H2: Hãy chứng minh điều đó?

H3: Tơng tự, chứng minh DK NI

 

• Gợi ý trả lời H1: Ta chứng minh AMCN là hình bình hành

Do MC//AN và MC = AN nên AMCN là hình bình hành Suy ra AMNC

 

Ta có: BM = ND và BM // ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra DKNI

 

Bài số 4 Cho hình thoi ABCD cạnh a và góc A 60  0

a) Chứng minh ABDC, AD BC

   

b) Tính độ dài các vectơ AC, BD

 

theo a

H1: Hớng của các vectơ AB



và CD



?

H2: So sánh độ dài của các vectơ AB



và CD



?

H3: Vậy có điều gì?

H4: Tính độ dài đoạn BD, AC?

H5: Vậy ta kết luận đợc?

• Gợi ý trả lời H1: Ta có AB//CD đồng thời B và

C nằm cùng phía đối với đờng thẳng AD nên

AB và CD

 cùng hớng

• Gợi ý trả lời H2: Chúng có độ dài bằng nhau

• Gợi ý trả lời H3: Vậy AB

 = CD



• Gợi ý trả lời H4: Ta có ABD đều nên BD=a

Đờng chéo AC của hình thoi có độ dài bằng hai lần độ dài đờg cao của tam giác đều cạnh a nên

AC a 3 .

• Gợi ý trả lời H5: AC a 3; BD a

Dạng 3 Véctơ 0



và tính chất đặc biệt của nó.

Phơng pháp: Để chứng minh AB0

 

chúng ta lu ý: AB 0  A B; AB 0   AB 0

B

A

C

D

M

N

B

A

D

C

O

Trang 3

Bài số 5 Cho hai vectơ a



và b

 không cùng phơng và đều khác 0

 Từ điểm O bất kì dựng

OA a

 

Từ A dựng ABb

 

Tiếp đó từ O dựng OCb

 

rồi từ C dựng CDa

 

Chứng minh

BD 0

 

H1: So sánh OA



và CD



?

H2: Vậy tứ giác AOCD là hình gì?

H3: So sánh AD



và OC



H4: Mà theo cách dựng ta có điều gì?

Có OAa

 

và CDa

 

 OA



= CD



• Gợi ý trả lời H2: AOCD là hình bình hành

Do AOCD là hình bình hành nên

AD = OCb

 

• Gợi ý trả lời H4: Theo cách dựng ta lại có

AB b

 

 ABAD B D  BD 0

Bài số 6 Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng MNQP

 

HD: So sánh về phơng, hớng, độ dài của MN



và QP



?

Có MN và QP cùng song song với đờng chéo

AC nên MN//QP M và Q cùng nằm trên nửa

mp bờ BD không chứa N, P nên ta có: MN

 và

QP cùng hớng.

Lại có MN = QP (vì cùng bẳng nửa độ dài AC)

Suy ra MNQP

 

Bài tập ra thêm về nhà:

Số 1 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu ABDC

 

thì ADBC

 

Số 2 Cho hình bình hành ABCD Dựng AMBA, MN DA, NP DC, PQ BC  

       

Chứng minh

AQ 0

 

Rút kinh nghiệm và bổ sung

Ngày 20/10/2006 – Tiết PPCT: 06,07

Hoạt động 2

B Tổng – Hiệu các vectơ.

1) Kiến thức cơ bản.

• Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có: AB BC AC

  

• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB AD AC

  

• Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có: AB AC CB

  

• Công thức trung điểm:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IAIB 0

  

• Công thức trọng tâm tam giác:

O

C

D

P

D

Q

A

M

Trang 4

Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi GA GB GC    0

• Tính chất:

 

a) a b b a

c) a 0 0 a a

  

   

   

Dạng 1 Tính tổng, hiệu các vectơ.

Phơng pháp: Dùng định nghĩa tổng, hiệu các vectơ, các tính chất và quy tắc ba điểm, quy tắc

hình bình hành, quy tắc trừ; công thức trung điểm, công thức trọng tâm

Bài số 1 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lợt là trung điểm của BC và AD Tính

các tổng sau: NC MC; AM CD; AD NC 

     

H1: So sánh NC



và AM



?

H2: Vậy ta có NC MC

 

=?

H3: Từ NC



= AM

 , tính AM CD

 

?

H4: Tính ADNC

 

?

Do AN//MC và AN = MC nên AMCN là hình bình hành Do đó NC



= AM



• Gợi ý trả lời H2: NC   MC AM MC AC    

AM CD NC CD ND   

Do NC



= AM

 nên ta có ADNC AM AD 

   

 ADNC

 

= AE

 với E là đỉnh của hình bình hành ADEM

Bài số 2 Cho ABC Các điểm M, N và P lần lợt là trung điểm của AB, AC và BC Tìm các hiệu:

AM AN; MN NC;MN PN;BP CP   

       

H1: Vận dụng quy tắc trừ, tìm AM AN

 

?

H2: So sánh NCvà MP

?

H3: Từ NC MP

 

Tính MN NC

 

?

H4: Tính MN PN

 

?

H5: Tính BP CP

 

?

AM AN NM 

  

• Gợi ý trả lời H2: NC MP

 

MN NC MN MP PN   

MN PN MN NP MP   

• Gợi ý trả lời H5: BP CP BP PC BC 

Dạng 2 Các bài toán liên quan đến a b 

và a b 

B

A

C

D N

A

Trang 5

Phơng pháp:

Trớc hết tính a  b AB,a b CD 

   

sau đó tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD

Bài số 3 Tam giác ABC vuông tại B có AB = 3cm, BC=4cm Hãy tính độ dài của AB AC

 

H1: Xác định vectơ tổng?

H2: Tính AD?

Dựng hình bình hành ABDC, có tâm đối xứng là

I Ta có: AB AC AD

  

Có AD = 2AI, AI AB2BI2  13. Vậy AB AC AD  13

Bài số 4 Chứng minh rằng với mọi vectơ a, b

 

ta có: a b  a b

Khi nào ta có a b  a b

? Khi nào a b  a b

và khi nào thì a b  b  a

?

H1: Xác định vectơ tổng a b?

H2: So sánh a b 

và a b

khi O, A, B không thẳng hàng

H3: a b 

= a b

khi nào?

H4: Khi nào ta có: a b  a b

H5: Khi nào thì a b  b a

Vẽ OAa, AB b

   

thì ta có: OB a b

  

Khi O, A, B không thẳng hàng ta có:

a b  OB OA AB  a b

a b  a b

 OB = OA+AB

 a



và b

 cùng hớng

a b  a b

 OB =OA–AB  a



và b

 ngợc hớng và a

>b

a b b  a

OB=AB– OA

A

D

I

3cm

a b   

B

A

Trang 6

 a



và b

 ngợc hớng và a

<b

Dạng 3 Chứng minh các đẳng thức vectơ.

Phơng pháp:

– Biến đổi một vế thành vế kia

– Biến đổi cả 2 vế của đẳng thức bằng cùng một biểu thức trung gian

– Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một đẳng thức đúng

– Từ một đẳng thức đúng suy ra đẳng thức cần chứng minh

Bài số 5 Cho 5 điểm A, B, C, D, E Chứng minh rằng:

AC DE DC CE CB AB    

     

H1: Sử dụng phơng pháp nào?

H2: Hãy thực hiện phép biến đổi đó.

H3: Có cách khác không?

Biến đổi một vế thành vế kia

Có DE DC CE

  

nên:

AC DE DC CE CB AC CE CE CB

AC CB AB

        

  

Có thể biến đổi đẳng thức cần chứng minh tơng

đơng với một đẳng thức đúng

Bài số 6 Cho ABC Các điểm M, N, P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Chứng minh

rằng với điểm O bất kì ta có: OAOB OC OM ON OP   

     

H1: Sử dụng phơng pháp nào?

H2: Hãy thực hiện phép biến đổi đó.

H3: Có cách khác không?

H4: Hãy thực hiện phép biến đổi đó

Biến đổi một vế thành vế kia

OA OB OC OM MA OP PB ON NC

OM ON OP MA PB NC

OM ON OP MA NM AN

OM ON OP

        

     

  

Có thể biến đổi đẳng thức cần chứng minh tơng

đ-ơng với một đẳng thức đúng

• Gợi ý trả lời H4: Ta có

OA OB OC OM ON OP    

     

OA OM OB OP OC ON 0

MA PB NC 0

MA NM AN 0

      

   

Đây là đẳng thức đúng (theo quy tắc 3 điểm)

 đpcm

Bài số 7 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

AD+BE+CF=AE+BF+CD=AF+BD+CE Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: Hãy chứng minh • Gợi ý trả lời H1:

A

Trang 7

AD BE CF AE BF CD    

     

?

H2: Chứng minh

AE BF CD AF BD CE    

AE BF CD ED DF FE

AE BF CD

     

  

AF BD CE FD DE EF

AF BD CE

     

  

Bài tập ra thêm về nhà:

1) Cho 4 điểm A, B, C, D CMR AB+CD=AD+CB

2) Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0

3) Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G Gọi G1, G2, và G3 là trọng tâm các tam giác BCA1, ABC1, ACB1

CMR GG1+GG2+GG3=0

Rút kinh nghiệm và bổ sung

Ngày 29/10/2006 – Tiết PPCT: 10,11

Hoạt động 3

C Tích của một vectơ với một số.

1) Kiến thức cơ bản.

• Tích của vectơ a

 với số k là một vectơ, kí hiệu là ka

 , cùng hớng với a

 nếu k>0 và ngợc hớng

với a



nếu a<0 và có độ dài bằng k a

Quy ớc: 0.a0;k0 0

• Tính chất:

h, k a, b

  , ta có:

1) k a b   ka kb  2) (hk)a ha ka   3) h ka  (hk)a 4) 1.aa;( 1)a  a

• áp dụng:

– Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  tồn tại số k: AB kAC

– I là trung điểm của AB  Với mọi điểm M bất kì ta có MA  MB 2MI 

– G là trọng tâm ABC  Với mọi điểm Obất kì ta có: MAMB MC 3MG 

• Cho a



và b



không cùng phơng Khi đó với x

 bất kì luôn tìm đợc cặp số thực p, q duy nhất sao cho:

Trang 8

x pa qb  

Dạng 1 Chứng minh đẳng thức vectơ trong đó có chứa tích của một vectơ với một số

Phơng pháp: Sử dụng các tính chất của phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số, sử dụng

khái niệm hai vectơ bằng nhau, đối nhau, cùng phơng, cùng hớng…

Bài số 1 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng AB   AC AD 2AC   

H1: áp dụng qui tắc hình bình hành, tính

tổng AB AD

 

?

H2: Vậy AB AC AD ? 

  

Theo qui tắc hình bình hành ta có: AB AD AC

  

AC AD AC AC 2AC

Bài số 2 Cho tứ giác ABCD, I và K lần lợt là trung điểm của hai đờng chéo AC và BD O là

trung điểm IK Chứng minh rằng: OA OB OC OD   0

    

Từ đó chứng tỏ rằng với điểm M bất kì ta có: MAMB MC MD 4MO  

H1: OA OC ?

 

H2: Tơng tự, OB OD ?

 

H3: OA OB OC OD   ?

   

H4: Chứng minh

MA MB MC MD 4MO   

?

• Gợi ý trả lời H1: OA OC   2OI

• Gợi ý trả lời H2: OB OD 2OK

OA OB OC OD 2OI 2OK 2 OI OK       0

Vì O là trung điểm IK

MA MB MC MD

MO OA MO OB MO OC MO OD

   

       

Bài số 3 Cho tam giác ABC, gọi O, H theo thứ tự

lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm của

tam giác và D là điểm đối xứng của A qua O

a) Chứng minh HCDB là hình bình hành

b) Chứng minh:

A

B

D

C

A

B

C D

A •

O I K

Trang 9

HA HD 2HO

HA HB HC 2HO

OA OB OC OH

   

H1: Chứng minh HCBD là hình bình

hành?

H2: Chứng minh HAHD 2HO

?

H3: Chứng minh HA HB HC    2HO

H4: Chứng minh OA OB OC  OH

   

?

• Gợi ý trả lời H1: Có BHAC, DCAC  BH//DC CHAB, DBAB  BH//BD

Vậy CHDB là hình bình hành

• Gợi ý trả lời H2: Vì O là trung điểm của AD nên ta

có HAHD 2HO

Do HCDB là hình bình hành nên HB HC HD

  

Do

đó HAHB HC HA HD 2HO   

• Gợi ý trả lời H4: Ta có:

HA HB HC 2HO  

3HO OA OB OC 2HO

OA OB OC OH

   

Dạng 2 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phơng.

Phơng pháp: Để phân tích vectơ x

 theo 2 vectơ không cùng phơng ta sử dụng quy tắc 3 điểm hoặc quy tắc hình bình hành biểu diễn vectơ x

 thành tổng 2 vectơ tơng ứng cùng phơng với a

 và

b rồi tìm p, q để x = p a+q b.

Bài số 4 Cho ABC có trọng tâm G Cho các điểm

D, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh BC, AC,

AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt

u AE, v AF 

  

Hãy phân tích các vectơ AI, AG, DE, DC

   

theo các vectơ u, v

 

H1: Biểu diễn AI

 theo AEvàAF

 

?

H2: Phân tích AG

 theo các vectơ u, v

 

?

H3: Phân tích DE, DC

 

?

• Gợi ý trả lời H1: Do AEDF là hình bình hành nên

AD AE AF u v   

và

1

2



Vậy AI 1u v

2

• Gợi ý trả lời H2: Ta có AG 2AD 2u v

DEFA1.v 0.u

DC FE AE AF u v    

Bài số 5 Cho ABC có trọng tâm G Đặt uGA, v GB

  

Hãy phân tích các vectơ AB, GC, BC, CA

   

theo u, v

 

Trang 10

H1: Biểu diễn AB

 theo GAvàGB

 

?

H2: Phân tích GC

 

?

H3: Tơng tự, phân tích BC, CA

 

?

• Gợi ý trả lời H1: ABGB GA 1.u v

• Gợi ý trả lời H2: Ta có

GA GB GC 0    GC GA GB u v

BC GC GB v     u v  2v u

 

CA GA GC u     u v  2u v

 

Dạng 3 Sử dụng vectơ chứng minh các quan hệ hình học.

Phơng pháp: Sử dụng tính chất cùng phơng của các vectơ, định nghĩa hai vectơ bằng nhau tính

chất của vectơ không

Các bài toán thờng gặp:

• Chứng minh hai điểm A, B trùng nhau: AB0

 

• Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng: ABkAC

• Chứng minh 2 đờng thẳng song song: u, v

  cùng phơng

Bài số 6 Chứng minh rằng ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

AA ' BB' CC ' 0  

   

H1: Cho ABC và A’B’C’ có cùng

trọng tâm Chứng minh:

AA ' BB' CC ' 0  

   

?

H2: Phân tích GC

 

?

H3: Tơng tự, phân tích BC, CA

 

?

Bài ra thêm Cho tam giác ABC, gọi O, G, H theo thứ tự lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đờng tròn đi qua trung điểm của ba cạnh Chứng minh: a) GA+GB+GC=0;

b) MA+MB+MC=3MG c) OA+OB+OC=OH=3 OG d) HA +HB+HC=2HO=3HG

e) OH=2OI g) Suy ra I, H, G, O thẳng hàng

Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà: Nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ Xem lại lời giải các bài toán đã trình bày, từ đó rút ra cách giải các bài tơng tự Rút kinh nghiệm và bổ sung:

A

D

H

O

G

E

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,52 MB