Bat dang thuc co si Nang cao

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tiết 3... KiÓm tra bµi cò Chứng minh các bất đẳng thức sauab b... Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = bNghĩa là: trung bình cộng của hai số khôn

BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

(Tiết 3)

KiÓm tra bµi cò Chứng minh các bất đẳng thức sau

ab b

với với mọi a, b không âm

b c b

a c

a − ≤ − + −

) (

) )(

(

2. ax + by bx + ay ≥ a + b 2 xy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Nghĩa là: trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng

Ta thường gọi là bất đẳng thức Côsi

Chứng minh định lí chính là bài 1 bài tập về nhà, ta chỉ cần chia tiếp hai vế cho 2

Ngoài dạng đã nêu ta còn có thể sử dụng BĐT Côsi ở một

số dạng khác như:

ab b

(

3 a + b 2 ≥ ab

2 2

Hoàn thành hoạt động 2 (SGK)

22

2

b a

HB AH

AB

OD = = + = +

ab HC

b a HB

Hãy chứng minh hệ quả 1?

Hoàn thành ví dụ 4 (SGK)

.6

≥

++

++

+

b

a

c a

c

b c

b a

b

a b

c a

c a

b c

b c

a b

a

c a

c

b c

b

a + + + + + = + + + + +

:cã

c b

c c

b a

b b

a

Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thì

Chứng minh:

62

c b

c c

b a

b b a

Hoàn thành ví dụ 5 (SGK)

x

x x

f ( ) = + 3

3 2

3 2

3

: cã

ta n nª 0

x x

x x

f(x) x

3

3 3

2 )

( = ⇔ = ⇔ x =

x

x x

f

Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải:

3 2 ) 3 (

lµ 0 víi

3 sè

cña hµm nhÊt

nhá trÞ

gi¸

x x f(x)

Ví dụ: Chứng minh sau đúng hay sai?

0 ,

2

1 2

1 2

1

≠

∀

≥ +

a a

a

Sai, vì chưa có điều kiện a > 0

Bµi tËp

4

1

1)(

r»ngminh

Chøng0

Cho

>

b a

b a

a, b

b

a a

b b

a

a, b > 0.Chøng minh r»ng 2 + 2 ≥ +

Cho

2

)6

)(

3(

)(

sècña hµm nhÊt

líntrÞ

gi¸

mT ]

6

;3[Cho

3

x x

x f

x

−+

=

−

Hãy sử dụng BĐT Côsi cho hai số để giải các bài toán sau

(Nhóm 1,4 làm bài 1 Nhóm 2, 5 làm bài 2 Nhóm 3, 6 làm bài 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nghĩa là: trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng

Hoàn thành ví dụ 6 (SGK)

9 1

1 1 )

+

c b a

c b a

Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thì

Chứng minh:

; abc c

b

a 33

cã

9

3 3

1 1 1 )

⇒

abc

abc c

b a

c b a

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

3

3 1 1 1 3 3

1 1

1

abc c

b a c

b

a + + ≥ ⋅ ⋅ =

Tìm hiểu thêm về bất đẳng thức Côsi

Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân có tên quốc tế là AM – GM (Arithmetic Means and Geometric Means)

AM-GM có thể coi là một viên kim cương trong bất đẳng thức cổ điển Thậm chí có rất nhiều bài toán

mà đôi khi phương pháp hiện đại phải dừng chân thì như một phép màu, AM-GM lại thể hiện sự kì diệu của mình

AM – GM có rất nhiều cách chứng minh, trong

đó cách chứng minh bằng quy nạp của nhà toán học lỗi lạc người Pháp Côsi (Augustin Louis Cauchy) đựoc coi là hay nhất Vì thế nhiều người đã lầm tưởng là do Côsi sáng tạo ra Trong các sách của Việt Nam thường hay gọi AM – GM là BĐT Côsi, vì thế cái tên gọi này đã trở nên quen thuộc với đa số giáo viên và học sinh Việt Nam.

Tìm hiểu thêm về bất đẳng thức Côsi

Bài tập về nhà

1 Bài tập số 12, 13 trang 110 SGK.

2 Bài tập phần luyện tập trang 112 SGK

3 Phát biểu các hệ quả và ý nghĩa hình học của BĐT Côsi cho ba số tương tự như của BĐT Côsi cho hai số.

4 Sử dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh BĐT Côsi cho ba số.

Giải bài 1

Ta có a + b − 2 ab = ( a − b)2 ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab

Giải bài 2

)1()

())(

(ax + by bx + ay ≥ a + b 2 xy

abxy xy

b a

aby xy

b a

abx2 +( 2 + 2) + 2 ≥ ( 2 + 2) + 2

⇔

0)

2( 2 + 2 − ≥

⇔ ab x y xy

)2(0)

Giải bài 3

cac

bb

ac

bb

ab

cb

Suy ra điều phải chứng minh

Ta có

; ab b

a 2

cã

4

2 2

1 1 )

⇒

ab

ab b

a

b a

Đẳng thức xảy ra khi a = b

ab b

a b

a

21

12

11

=

⋅

≥+

Giải bài 1

;22

a b

b

a a

b b

a

+

≥+

⇒ 2 2

b

a a

b a

a

b

22

b a

a a

b b

b

a

22

2 2

+

≥+

++

⇒

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Giải bài 2

06

03

n nª]6

;3[

) 6

)(

3 (

2 ) 6

( ) 3 (

9 cã

4

81 )

6 )(

3

( 2

9 ) 6

3

ra khi y

3

lµ sècña hµm nhÊt

líntrÞ