Các kiến thức cơ bản được sử dụng-Bất đẳng thức Cô si pdf

Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4 22 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Cách 3: Theo bât đẳng thức Bunhia-Copxki ta có... Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9 bc ca ab

Trang 1

Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1

b  b   b

c Bất đẳng thức Trê bư sep

Cho hai bộ số sắp thứ tự giống nhau a1a2  a n và b1b2 b n ta có

Trang 2

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc như sau

Bài toán 1 ( Bất đẳng thức Nestbit):

Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có

32

Trang 3

bcca abCách 3

Không mất tổng quát ta cho a b c 0 1 1 1 0

Trang 4

22

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cách 3: Theo bât đẳng thức Bunhia-Copxki ta có

Trang 5

a  b c abc  dấu bằng khi a=b=c=1

Từ đó ta suy ra bài toán sau

Trang 6

( Đây là đề thi vào ĐH Ngoại ngữ -1998)

Bài toán 6 ( Để ra kì này tháng 5-2010 Toán học tuổi trẻ)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1

bc ca ab 

Ta có bài toán

Bài toán 7( Đề thi học kì 2 toán 10 THPT Đô lương 2 -2010)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1

ta luôn có

32

Trang 7

32

Trang 8

Cho a,b,c là các số dương

Chẳng hạn ta thêm điều kiện ta có bài toán

Bài toán 9 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a2 b2 c2 1

ta luôn có

12

3 như vậy một điều có thể nghĩ đến là phải sử dụng bình phương của vế trái như thế nào đó

Lời giải

Trang 9

bc ca ab dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=

13

Ở bài toán này nếu đặt nó độc lập không theo hệ thống trên thì đây là một bài toán thật sự không đơn giản

Các thầy cô và các em còn có thể phát triển thêm các bài toán riêng và tổng quát như sau

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a.b.c=1 ta có

32

Trang 10

Cho n (n  3) số dương a a1; ; 2 an thỏa mãn 2 2 2

a a  a  với S=a a1  2 an ta có

1

n n

2cos cos cos

B C  C  A A B 

Trang 11

Các bài toán trên ta đã đặc biệt hóa cho trường hợp là a.b.c=1

bây giờ ta xét trường hợp khi a+b+c=1 ta có các bất đẳng thức

Bài toán 13 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

ta luôn có

12

16

Tuy vậy trong các kì thi người ta có thể ẩn bài toán đó dưới giả thiết là tam giác có chu vi bằng 1

Ví dụ 1.Cho ABC có các cạnh BC=a; CA=b; AB=c với chu vi bằng 1 hãy chứng

minh rằng

12

Tiếp tục vận dụng định lí sin

a= 2R sinA; b= 2R sinB ; c=2R.sin C ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)

thay vào bài toán này ta có các bất đẳng thức tương đối lạ

B C  C A A C  R

2

Trang 12

Cách chứng minh sử dụng bđt Trê bư sep là được

Một số bài toán tương tự

ta đưa về các bất đẳng thức vừa chứng minh

Tổng quát hóa bài toán 1

Đến đây ta lại chuyển suy nghĩ sang hướng khác

Trang 13

b cc a a b thì giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?

Trang 14

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Lưu ý với học sinh rằng bất đẳng thức kiểu như trên khi vận dụng cô si phải lưu ý dấu bằng xảy ra để chọn hệ số cho đúng chẳng hạn trong bài toán này ta muốn có dấu bằng xảy ra a=b=c thì

mbnc mcna manb có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Dự đoán khi a=b=c thì biểu thức nhận giá trị 3

mn nên phải chăng ta có

m n



Thay vào vế trái ta có

Trang 15

mbnc mcna manb mn dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức

Trang 16

bc cd d a ab sẽ đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Ta đặc biệt hóa khi a=b=c=d là dự đoán được kết quả như sau

và dấu = xảy ra khi a=b=c=d (điều phải chứng minh.)

Tiếp tục thay các biểu thức với hệ số khác ta xuất hiện bất đẳng thức theo dự đoán

là

Bài toán 20 :

Cho a,b,c,d >0 , chứng minh ta luôn có

Trang 17

Lời giải bài toán này ta có thể áp dụng cách phân tích theo bất đẳng thức

Bunhia-Copski như trên việc trình bày tương đối dài xin được dành cho bạn đọc tiếp tục

chứng minh và phát triển thêm

Trang 18

Phần 3 KẾT LUẬN

Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thông qua bài toán bât đẳng thức đẹp và quen thuộc tôi đã phát triển thành hệ thống suy luận tương đối logic Điều này tạo nên tính mới mẻ trong cái nhìn về những ý tiềm tàng trong các bài toán đó Bài toán 1 ứng dụng khá rộng rãi vơi việc nhìn bài toán dưới góc độ khác bằng cách biến đổi các điều kiện của các biến số mở ra một lớp các bài toán về bất đẳng thức khá hay và đẹp cũng được ứng dụng trong rất nhiều kì thi chọn học sinh giỏi và các

Trang 19

kì bồi dưỡng học sinh khá giỏi , mỗi bài toán liên quan ngay cả những bài toán mở rộng trong tam giác và có thể cho đa giác, cũng có thể tổng quát hóa để có thêm nhiều bất đẳng thức đẹp tôi nghĩ sẽ còn khai thác rộng hơn ứng dụng cho các bài toán khác.Trong quá trình dạy học thói quen tổng quát hóa , đặc biệt hóa để đào sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điều rât cần thiết cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em học

sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài tập liên quan một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơn chắc chắn ta sẽ tìm được nhiều vấn đề thú vị mà bản thân tôi chưa làm được trong phạm vi đề tài này

Với hi vọng viết ra cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đánh giá và nội dung nào

đó có thể ứng dụng giới thiệu thêm cho học sinh trong quá trình bồi dưỡng Vì thời gian ngắn cũng như bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết ,kính mong được quí thầy cô nghiên cứu , đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

Trang 20

Trang 21

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	362,35 KB