Cho hình thang ABCD AB//CD, 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.. a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BO
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn toán : Thời gian 150phút ( Không kể thời gian giao đề bài )
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố
b, B =
2
2 6 2 3 2
2 3 4
n
n n n n
Có giá trị là một số nguyên
c, D= n5-n+2 là số chính phơng (n2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :
1 1
1
c b
bc
b a
ab
a
biết abc=1
b, Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c,
c
a a
b b
c a
c c
b b
a
2 2
2 2 2
Câu 3: (5điểm) Giải các phơng trình sau:
82
54 84
132 86
214
x
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng
Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt
BCtại F
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC
b Chứng minh:
EF CD AB
2 1 1
c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF
Câu 1
(5điểm)
a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A là số nguyên tố thì n-1=1 n=2 khi đó A=5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
b, (2điểm) B=n2
+3n-2 n
2
2
B có giá trị nguyên 2 n2+2
n2+2 là ớc tự nhiên của 2
n2+2=1 không có giá trị thoả mãn
Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên
c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) 2 4 5
n +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)
Và 5 n(n-1)(n+1 5 Vậy D chia 5 d 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng
1 1 ac c 1
c b
bc
b a
ab a
1 2
c ac
abc abc
abc c
ac abc ac
1
1 1
1
ac abc c
ac
c ac
c
abc c
ac ac
0,5 0,5 0.5
Trang 2Câu 2
(5điểm)
0.5 0.5 0.5
0,5 0,5 0,5 0,5
b, (2điểm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0
2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Từ (1)và(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2
2xy Dấu bằng khi x=y
c
a c
b b
a c
b b
a
2 2 2
2 2
2
b
c a
c b
a a
c b
a
2 2 2
2 2
2
a
b c
b a
c c
b a
c
2 2 2
2 2
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a ( 2 ) a
c c
b b
a (
2 2 2 2
2
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
2 2 2 2 2
2
Câu 3
(5điểm)
82
54 84
132 86
214
x
82
54 ( ) 2 84
132 (
) 1 86
214 (x x x
82
300 84
300 86
300
x
82
1 84
1 86
1
1,0 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k= 8,5± 8,5
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x=
4
1
; 2
x
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô nghiệm
Vậy S =
4
1 , 2 1
c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
(x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 và x-y-1=1 x=3 ; y=1
Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1)
Trang 3Câu 4
(5điểm)
a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBA
(cùng đáy và cùng đờng cao)
S DAB –SAOB = S CBA- SAOB
Hay SAOD = SBOC
b, (2điểm) Vì EO//DC
AC
AO DC
EO
Mặt khác AB//DC
DC AB
AB DC
EO AC
AO BC AB
AB OC
AO
AO BC
AB
AB OC
AO DC
AB
EF AB DC EF
DC AB
DC AB DC AB
AB DC
c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (NDF) +Kẻ đờng thẳng KN là đờng thẳng
phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5 1,0 1,0
C D
O
I M N
