cam nang on vao 10 - 9

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của P và d biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai.. Bước 3: Kết luận giá trị tham số cần tìm; trong trường hợp yêu cầu tìm tọa độ tiếp điểm

Trang 1

Dạng 19: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y = – bx – c cắt nhau; tiếp xúc với nhau và tìm toạ độ tiếp điểm; không giao nhau.

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) biến đổi đưa về dạng

phương trình bậc hai

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

( )

ax =−bx c ax− ⇔ +bx c 0 1+ =

Phương trình (1) có: ∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac)

Bước 2: Lập luận tìm giá trị của tham số để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt; (d)

tiếp xúc với (P); (d) và (P) không cắt nhau

TH1: Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆(∆’) > 0

+) Giải bất phương trình ∆(∆’) > 0 suy ra được giá trị của tham số

TH2: Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔∆(∆’) = 0

+) Giải phương trình ∆(∆’) = 0 suy ra được giá trị của tham số

+) Khi đó tính nghiệm kép theo công thức: 1 2 b b'

x x

2a a

− −

 tìm được hoành độ giao điểm x0

⇒ Tung độ giao điểm bằng cách thay hoành độ tìm được vào phương trình của (P) hoặc (d): y0 = a 2

0

x (y = – bx0 – c)

⇒ Tọa độ tiếp điểm là: (x0; y0)

TH3: Để (d) không cắt (P) ⇔ Phương trình (1) có vô nghiệm ⇔∆(∆’) < 0

+) Giải bất phương trình ∆(∆’) < 0 suy ra được giá trị của tham số

Bước 3: Kết luận giá trị tham số cần tìm; trong trường hợp yêu cầu tìm tọa độ tiếp

điểm thì trả lời tọa độ tiếp điểm

Trang 2

Dạng 20: Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y = – bx – c

( )

ax =−bx c ax− ⇔ +bx c 0 1+ =

Bước 2: Tìm hoành độ giao điểm và tung độ giao điểm tương ứng

+) Giải phương trình (1) tìm các nghiệm của phương trình x1; x2 đó chính là các hoành độ giao điểm x1; x2 của (d) và (P)

+) Tìm tung độ giao điểm của (d) và (P):

Với x = x1⇒ y1 = a 2

1

x (y = – bx1 – c) ta được điểm (x1; y1) Với x = x2⇒ y2 = a 2

2

x (y = – bx2 – c) ta được điểm (x2; y2)

Bước 3: Kết luận trả lời tọa độ các giao điểm cần tìm

Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là: (x1; y1); (x2; y2)

Dạng 21: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax 2 (a≠0) đồng biến, nghịch biến khi x > 0; x <0.

TH1: Hàm số y = ax 2 (a≠0) đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x <0 ⇔ a > 0 Bước 1: Cho điều kiện hệ số a > 0 xảy ra:

+) Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x <0 ⇔ a > 0

Bước 2: Giải bất phương trình a > 0 suy ra các giá trị của tham số.

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

TH2: Hàm số y = ax 2 (a≠0) đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 ⇔ a < 0 Bước 1: Cho điều kiện hệ số a < 0 xảy ra:

+) Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 ⇔ a < 0

Bước 2: Giải bất phương trình a < 0 suy ra các giá trị của tham số.

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Trang 3

Dạng 22: Chứng minh (d): y=−bx c− và (P): y = ax 2 (a≠0) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của tham số.

( )

ax =−bx c ax− ⇔ +bx c 0 1+ =

Bước 2: Lập luận chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị

của tham số

+) Lập luận chứng minh được ∆(∆’) > 0 với mọi giá trị của tham số

+) ⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số

+) ⇒ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số

Bước 3: Kết luận

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số

Dạng 23: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(xo; yo) và tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2 Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với (P) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d):

y = kx + n và tiếp xúc với (P) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d): y = kx + c và tiếp xúc với (P).

TH1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(xo; yo) và tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2

Bước 1: Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = mx + n

Bước 2: Lần lượt sử dụng các điều kiện đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) và tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 để suy ra các hệ số m, n

Sử dụng điều kiện đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) và biểu diễn tham số n theo m,

x0; y0 rồi thay vào phương trình để phương trình chỉ còn có một tham số m

+) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0; y0) ⇔ y0 = mx0 + n

⇔ n = y0 – mx0

⇒ (d): y = mx + y0 – mx0

Sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc với (P) tìm ra tham số a rồi suy ra phương trình cần tìm

( )

ax mx y mx= + − ⇔ax mx y mx 0 1− − + = Phương trình (1) có: ∆ = m2 – 4a(− +y mx0 0) (hoặc tính ∆’)

+) Lập luận:

Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔∆(∆’) = 0

+) Giải phương trình ∆(∆’) = 0 suy ra giá trị của tham số m

⇒ Phương trình cần tìm

Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần tìm

Trang 4

TH2:Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với (P):

2

y ax= a 0≠

Bước 2: Lần lượt sử dụng các điều kiện đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc

với parabol (P): y = ax2 để suy ra các hệ số m, n

Sử dụng điều kiện đường thẳng có hệ số góc là k

+) Đường thẳng (d) có hệ số góc là k ⇒ m = k Ta có phương trình: y = kx + n (thay

m = k tìm được vào phương trình để phương trình chỉ còn một tham số)

( )

ax kx n ax= + ⇔ −kx n 0 1− = Phương trình (1) có: ∆ = k2 – 4a( )−n (hoặc tính ∆’)

+) Lập luận:

+) Giải phương trình ∆(∆’) = 0 suy ra giá trị của tham số n

TH3:Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’):

y kx c= + và tiếp xúc với (P): y ax= 2 (a 0≠ )

Bước 2: Lần lượt sử dụng các điều kiện đường thẳng (d) song song với đường thẳng

(d’): y kx c= + và tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2 để suy ra các hệ số m, n

Sử dụng điều kiện đường thẳng song song với đường thẳng (d’): y kx c= +

+) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y kx c= + ⇔ m k

n c

 =

 ≠

phương trình: y = kx + n (thay m = k tìm được vào phương trình để phương trình chỉ còn một tham số)

( )

ax kx n ax= + ⇔ −kx n 0 1− = Phương trình (1) có: ∆ = k2 – 4a( )−n (hoặc tính ∆’)

+) Lập luận:

Trang 5

TH4:Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng (d’):

y kx c= + và tiếp xúc với (P): y ax= 2 (a 0≠ )

Bước 2: Lần lượt sử dụng các điều kiện đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng

(d’): y kx c= + và tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2 để suy ra các hệ số m, n

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d’): y kx c= +

+) Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng (d’): y kx c= + ⇔

1

k

−

=− ⇔ = Ta có phương trình: y = 1

k

− x + n (thay m = 1

k

− tìm được vào phương trình để phương trình chỉ còn một tham số)

( )

−

Phương trình (1) có: ∆ =

2 1 k

 

 ÷

  – 4a( )−n (hoặc tính ∆’) +) Lập luận:

Dạng 24: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) đi qua điểm A(xo; yo)

và xác định tính đồng biến, nghịch biến Tìm hoành độ (hoặc tung độ) của điểm

A thuộc (P) khi biết tung độ yA = yo hoặc hoành độ xA = xo.

TH1: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) đi qua điểm A(xo; yo) và xác định tính đồng biến, nghịch biến

Bước 1: Lập luận: Thay x = x0 và y = y0 vào phương trình y = ax 2

+) Để parabol (P): y = ax2 (a≠0) đi qua điểm A(xo; yo)

2

0 0

y ax

⇔ =

Bước 2: Giải phương trình 2

0 0

y ax= suy ra giá trị của tham số a

+) Đối chiếu điều kiện a ≠ 0 chọn các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện và loiaj giá trị của tham số không thỏa mãn

+) Trả lời giá trị của tham số cần tìm

* Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

+) Sau khi tìm được giá trị của tham số a ta thay và a tìm được vào công thức: 2

y ax= để tìm ra hàm số

+) Áp dụng tính chất: Hàm số y = ax 2 (a≠0) đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x <0 ⇔ a > 0

Hàm số y = ax 2 (a≠0) đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 ⇔ a < 0

Xét dấu hệ số a để suy ra tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số

+) Kết luận về tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trang 6

Dạng 25: Cho (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y = mx + n cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Tính SOAB; SMAB biết M thuộc (P) Tìm giá trị của tham số để SMAB =

k hoặc SMAB lớn nhất; nhỏ nhất Độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất, dài nhất hoặc

AB = ; tính AB hoặc SMAB ≤ .

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol

(P): y = x2 cắt nhau tại hai điểm A và B Cho điểm M thuộc (P) parabol có hoành độ

là m (– 1 ≤ m ≤ 2) Chứng minh rằng:

SMAB ≤

8

27 ( SMAB là diện tích của tam giác MAB)

Bước 1: Xác định tọa độ hai giao điểm A và B; tọa độ điểm M

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có:

x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0

Phương trình có: a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = – 1; x2 = 2

+) Với x1 = – 1 ⇒ y1 = (–1)2 = 1 ⇒ A(–1; 1)

Với x2 = 2 ⇒ y2 = 22 = 4 ⇒ B(2; 4)

Ta có: Điểm M có hoành độ m thuộc parabol (P): y = x2

⇒ y = m2

⇒ M(m; m2)

Bước 2: Vẽ hình minh họa và vẽ thêm hình, tính độ dài các đoạn thẳng là các cạnh

đáy và chiều cao của các hình thang vuông trên hình vẽ theo công thức về khoảng cách

+) Ta có hình vẽ sau:

+) Kẻ AH, MI, BK lần lượt vuông góc với Ox tại H, I, K ta có các hình thang vuông: AHKB, AHIM, IMBK

Trang 7

+) Ta có: AH 1 1 = = ; MI m = 2 = m2 (vì m2 ≥ 0 ∀m); BK 4 4 = =

( )

HK 2 = − − = 1 3; HI m 1 m 1 = + = + ; IK 2 m 2 m = − = − (vì – 1 ≤ m ≤ 2)

Bước 3: Tính diện tích tam giác MAB theo tham số m và lập luận chứng minh biểu

thức của SMAB có giá trị ≤

8

27

2

15 1

m m 1 m 2m 8 m 4m

2 2

15 1

3m 3m 9

2 2

2

15 3

m m 3

= −  − + 

= −  − ÷ + = −  − ÷ − = −  − ÷ ≤ ∀ ∈

Bước 4: Kết luận trả lời bài toán

Vậy SMAB ≤

8

27 với mọi – 1 ≤ m ≤ 2

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số) a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m;

b) Tìm m để SOAB=2 (với O là gốc toạ độ)

a)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d):

y m 1= x+ , ta có:

x 2 = mx + 1

⇔ x 2 – mx – 1 = 0 (*)

Bước 2: Lập luận chứng minh (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2)

Phương trình (*) có: ac= − =− < ∀ ∈1 1( ) 1 0, m R

Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 trái dấu với mọi giá trị của m.

⇒ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ A(x1; y1); B(x2; y2) nằm về hai phía của trục tung Oy với mọi giá trị của m.

Bước 3: Kết luận trả lời bài toán

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ A(x1; y1); B(x2; y2) nằm về hai phía của trục tung Oy với mọi giá trị của m.

Trang 8

b)

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và tính tổng,

tích hai nghiệm x 1 , x 2

+) Theo câu a ta có: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 trái dấu với mọi giá trị của m.

⇒ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1); B(x2; y2) nằm về hai phía của trục tung Oy với mọi giá trị của m.

1 2

1

+ =





x x m

x x

Bước 2: Vẽ hình minh họa và kẻ thêm hình tính độ dài các đoạn thẳng để tính diện tích của

các tam giác, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung Oy.

+) Ta có hình vẽ sau:

+) Kẻ AH, BK vuông góc với Oy tại H, K

Ta có: Đường thẳng (d): y m 1= x+ cắt trục tung Oy tại điểm C(0; 1)

+) Ta có: AH x = 1 ; BK x = 2 ; OC 1 1 = =

Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB theo x1, x2 và thay vào điều kiện: SOAB=2, biến đổi điều kiện thích hợp, tiếp tục thay tổng và tích của x1, x2 tính được ở trên vào điều kiện rồi giải điều kiện suy ra được giá trị của tham số m

+) Ta có: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1); B(x2; y2) nằm về hai phía của trục tung Oy với mọi giá trị của m.

⇒ Trục tung Oy chia tam giác OAB thành hai hai tam giác OAC và OBC.

⇒SOAB SOAC SOBC 1 .AH.OC 1 .BK.OC 1 x 11 1 x 12

( 1 2)

1

2

Trang 9

Mà SOAB=2 (theo bài ra)

1

x +2 x x + x = ⇔ +16 x 2 x x + =x 16

Nhận xét: Ở đây ta áp dụng các tính chất: ( )2 2

A =A và A B A.B=

1 2 1 2 1 2

x x+ −2x x 2 x x+ =16 2

+) Thay (1) vào (2) ta có: m 2 1 2 1 16 m 12 m2− − + − = ⇔( ) 2= ⇔ =±2 3

Bước 4: Kết luận trả lời giá trị của tham số cần tìm

Vậy m=±2 3 là các giá trị cần tìm

Dạng 26: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y=−bx c− cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x 1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước.

( )

ax =−bx c ax− ⇔ +bx c 0 1+ =

Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

x1; x2

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2⇔∆(∆’) > 0

Bước 3: Tính tổng và tích hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) theo hệ thức Vi–ét

+) Áp dụng hệ thức Vi–ét ta có:

1 2

b

x x

a c

x x

a

 + =−







Bước 4: * Nếu trong điều kiện cho trước biểu thức của x1; x2 là biểu thức đối xứng

Biến đổi điều kiện cho trước để trong điều kiện xuất hiện thành hai nhóm: Một nhóm chứa tổng: x1 + x2, một nhóm chứa tích: x1.x2 và thay tổng và tích tính được tham số vào điều kiện và giải điều kiện suy ra trị của tham số

* Nếu trong điều kiện cho trước biểu thức của x1; x2 là không là biểu thức đối xứng

1 2

α +β =γ

Kết hợp điều kiện cho trước αx1+βx2=γ với tổng hai nghiệm giải hệ phương trình và thay vào tích hai nghiệm x x1 2 c

a

= suy ra giá trị của tham số (tìm x1,

x2 theo tham số và thay vào tích x x1 2 c

a

= rồi giải phương trình nhận được).

Trang 10

Nhận xét: Ở đây đến bước 4 ta giải tương tự theo các bước của các trường hợp ở

dạng bài về phương trình bậc hai (dạng 6 và dạng 7)

+) Đối chiếu với điều kiện của tham số chọn các giá trị thỏa mãn và loại các giá trị không thỏa mãn

+) Trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Lưu ý: Trong điều kiện có y 1 , y 2 ta phải biểu diễn y 1 , y 2 theo x 1 ; x 2 và đồng thời thay vào

y ax c;y ax= − = )

Dạng 27: Tìm điều kiện của tham số để (P): y = ax 2 (a≠0) và (d): y = mx + n cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía (hoặc hai phía hoặc nằm trên cùng một nửa mặt phẳng ) của đường thẳng x = m hoặc y = k.

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = – x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 2(k –1)x – (k+ 1)

Tìm k để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm cùng nằm bên trái đường thẳng x = 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P): y = – x2 và đường thẳng (d):

y 2 k–1 x– k 1= + , ta có:

– x2 = 2(k – 1)x – (k+ 1)

⇔ x 2 + 2(k – 1)x – (k+ 1) = 0 (*)

Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

x1; x2

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2⇔∆(∆’) > 0

Phương trình (*) có: ∆ = −' (k 1)2 + + =(k 1) k2 − +k 2

2

0,

= − ÷ + > ∀ ∈

Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi giá trị của k.

Khi đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 với mọi giá trị của k.

Nhận xét: Ở bài toán này bước 2 ta luận lập chứng minh được (d) luôn cắt (P) tại hai điểm

phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 với mọi giá trị của k mà không phải giải bất phương trình tìm

ra giá trị của tham số k.

Bước 3: Tính tổng và tích hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) theo hệ thức Vi–ét

+) Theo hệ thức vi ét ta có 1 2

1 2

+ = − −





x x k

x x k (1)

Bước 4: Lập luận từ điều kiện bài toán cho dưới dạng lời văn “(d) và (P) cắt nhau tại hai

điểm cùng nằm bên trái đường thẳng x = 1” biểu diễn điều kiện này dưới dạng hệ thức (ngôn ngữ đại số) rồi thay tổng và tích tính được tham số vào điều kiện và giải điều kiện suy

ra trị của tham số (lưu ý kết hợp các hệ điều kiện tìm ra được các giá trị của tham số thỏa mãn đồng thời các điều kiện

+) Hai giao điểm của (d) và (P) cùng nằm bên trái đường thẳng x = 1, nên ta có

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	336 KB