cam nang on vao 10 - 8

Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát hoặc công thức nghiệm thu gọn xét các trường hợp của tham số Xét  ’ > 0 suy ra giá trị của tham số tương ứng và tính nghiệm theo công thứcXét

CHỦ ĐỂ IV: HÀM SỐ Y = AX 2 (A ≠ 0) VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 (a ≠ 0)

Bước 1: Nêu đkxđ của hàm số

Dạng 2: Giải phương phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

TH1: Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) khuyết hệ số b ( b = 0)

+) Nếu c = 0 thì phương trình có nghiệm kép là: x1 = x2 = 0

+) Nếu a.c > 0 thì c

0a

  thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu a.c < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: c

chung đưa về phương trình tích)

TH3: Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) đầy đủ

a) Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là:

d) Nếu phương trình không xảy ra một trong ba trường hợp ở trên thì ta áp dụng công thức nghiệm tổng quát để giải phương trình.

- Với  < 0 thì phương trình thì phương trình vô nghiệm

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Bước 1: Tính biệt thức  (’) theo tham số

Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn xét

các trường hợp của tham số)

Xét  (’) > 0 suy ra giá trị của tham số tương ứng và tính nghiệm theo công thứcXét  (’) = 0 suy ra giá trị của tham số tương ứng và tính nghiệm theo công thứcXét  (’) < 0 suy ra giá trị của tham số tương ứng và suy ra phương trình vônghiệm

Bước 3: Kết luận

Nêu các trường hợp của tham số và các nghiệm của phương trình tương ứng

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép và tìm nghiệm kép; vô nghiệm.

Bước 1: Tính biệt thức  (’) theo tham số

Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn xét

các trường hợp của tham số)

TH1: Phương trình có nghiệm   (’) ≥ 0

+) Cho  (’) ≥ 0

+) Giải bất phương trình:  (’) ≥ 0

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt   (’) > 0

+) Trả lời giá trị tham số cần tìm

+) Trong trường hợp tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép và tìmnghiệm kép thì kết luận ta phải trả lời giá trị của tham số cần tìm và nghiệm kép củaphương trình tương ứng

Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) luôn có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số hoặc với mọi giá trị của tham cho trước.

Bước 1: Tính biệt thức  (’) theo tham số

Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn xét

các trường hợp của tham số)

+) Lập luận chứng minh được  (’) > 0 với mọi giá trị của tham số (m) hoặc vớimọi giá trị của tham số cho trước

Bước 3: Kết luận

+) Trả lời phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số hoặc với mọi giátrị của tham số cho trước

Lưu ý: Ở dạng bài toán này ta còn có thể xét tích a.c và chứng minh được tích:

ac < 0 thì kết luận được ngay là phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có hai nghiệm x1; x2; hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước (trong đó biểu thức của x1; x2 là biểu thức đối xứng).

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm hay hai nghiệm

Bước 3: Biến đổi điều kiện cho trước để trong điều kiện xuất hiện thành hai nhóm:

Một nhóm chứa tổng: x1 + x2, một nhóm chứa tích: x1.x2 và thay tổng và tích tínhđược tham số vào điều kiện và giải điều kiện suy ra trị của tham số

+) Dạng biểu thức của x 1, x2 thứ nhất: (thêm bớt để xuất hiện các nhóm

+) Dạng biểu thức của x 1, x2 thứ ba: (nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu

ngoặc nhóm và thêm bớt để xuất hiện các nhóm chứa: x1 + x2 và x1.x2)

+) Dạng biểu thức của x 1, x2 thứ tư: (đặt nhân tử chung nhóm và thêm bớt

để xuất hiện các nhóm chứa: x1 + x2 và x1.x2)

+) Dạng biểu thức của x 1, x2 thứ năm: (bình phương thêm bớt để xuất hiện

(Ở đây ta phải tìm điều kiện của tham số cho căn thức có nghĩa)

+) Dạng biểu thức của x 1, x2 thứ sáu: (biểu thức tổng hợp)

+) Trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có hai nghiệm x1; x2; hai nghiệm phân biệt thoả mãn: x1x2 (hoặc

nghiệm này gấp đôi, gấp ba … nghiệm kia; hai nghiệm đối nhau …) (biểu thức của x1; x2 không đối xứng).

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm hay hai nghiệm

và giải hệ phương trình này tính

x1, x2 theo tham số và thay vào tích (3) rồi giải phương trình nhận được

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)

có 1 nghiệm x1 = x0 Tìm nghiệm còn lại.

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

+) Tính biệt thức  (’) theo tham số

+) Đối chiếu với điều kiện của tham số ở bước 1, chọn những giá trị của tham sốthỏa mãn điều kiện và loại các giá trị của tham số không thỏa mãn điều kiện

Bước 3: Tìm nghiệm còn lại bằng cách áp dụng hệ thức Vi – ét.

+) Giải phương trình tìm ra nghiệm còn lại

Bước 4: Kết luận trả lời giá trị của tham số cần tìm và nghiệm còn lại cần tìm

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có 2 nghiệm cùng dấu và khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?; 2 nghiệm cùng dương; 2 nghiệm cùng âm; 2 nghiệm trái dấu.(hoặc 2 nghiệm phân biệt cùng dấu; 2 nghiệm phân biệt cùng dương; 2 nghiệm phân biệt cùng âm)

TH1: Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có hai nghiệm phân biệt cùng

+) Cho hệ điều kiện sau xảy ra:

Bước 2: Giải hệ điều kiện trên và kết hợp lại tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn

đồng thời các điều kiện

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Trường hợp tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm (tức làkhông có từ “phân biệt” sau từ hai nghiệm ) cùng dương ta thêm điều kiện dấu bằng

Bước 2: Giải hệ điều kiện trên và kết hợp lại tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn

đồng thời các điều kiện

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Trường hợp tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm (tức làkhông có từ “phân biệt” sau từ hai nghiệm ) cùng âm ta thêm điều kiện dấu bằng ởbiệt thức (’) ≥ 0

TH3: Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có hai nghiệm trái dấu

 ac 0

Bước 1: Cho điều kiện sau xảy ra: ac 0

Bước 2: Giải bất phương trình ac 0 để tìm ra được các giá trị của tham số

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

TH4: Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) có hai nghiệm phân biệt cùng

Bước 2: Giải hệ điều kiện trên và kết hợp lại tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn

đồng thời các điều kiện

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Trường hợp tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm (tức làkhông có từ “phân biệt” sau từ hai nghiệm ) cùng dấu ta thêm điều kiện dấu bằng ởbiệt thức (’) ≥ 0

Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) không phụ thuộc vào giá trị của tham số.

Bước 1: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm (2 nghiệm phân biệt) với

mọi giá trị của tham số

Bước 2: Tính tổng và tích hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi – ét:

C2: Áp dụng phương pháp cộng đại số: Từ phương trình (1) và (2) ta nhân cả hai vếcủa hai phương trình này với các số thích hợp sao cho hệ số của tham số ở haiphương trình bằng nhau hoặc đối nhau rồi trừ vế cho vế hoặc cộng vế với vế của haiphương trình, khi đó ta được hệ thức của x1, x2 cần tìm.

Bước 4: Kết luận trả lời hệ thức cần tìm

Dạng 11: Tính giá trị của biểu thức của x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) (biểu thức đối xứng).

Bước 1: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm (2 nghiệm phân biệt) Bước 2: Tính tổng và tích hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi – ét:

x  và tích của hai nghiệm x x x 1 2

+) Thay (2) vào biểu thức đã biến đổi và thực hiện các phép tính

Bước 4: Kết luận trả lời giá trị của biểu thức cần tính

Dạng 12: Tìm hai số u và v biết u + v = S và uv = P (tìm hai số biết tổng và tích)

Áp dụng tính chất: Hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình: x2 – Sx + P = 0

Bước 1: Lập phương trình bậc hai theo tính chất trên

Hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0

Bước 2: Giải phương trình bậc hai: x2 – Sx + P = 0

Suy ra hai số u và v (Lưu ý: Ta phải hoán đổi hai số u và v cho nhau nếu phương

trình có hai nghiệm phân biệt)

Chẳng hạn: Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Bước 3: Kết luận trả lời các số u và v cần tìm

Dạng 13: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình là hai số x1 và x2 hoặc hai nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước.

Bước 1: Tính tổng và tích của hai số x1 và x2

Bước 2: Lập phương trình bậc hai

Áp dụng tính chất: Hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình: x2 – Sx + P = 0

+) Ta có: Hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phươngtrình:

x2 – Sx + P = 0

Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần lập

Dạng 14: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai đã cho

có nghiệm với bất kì giá trị nào của tham số.

Bước 1: +) Tính biệt thức (’) của các phương trình theo tham số

Bước 3: Kết luận trả lời ít nhất một trong hai phương trình bậc hai đã cho có nghiệm

(có hai nghiệm phân biệt)

Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau.

TH1: Phương trình (1) và phương trình (2) cùng vô nghiệm

Bước 1: Tính biệt thức (’) của các phương trình theo tham số(1; 2( ' '

+) Giải hệ điều kiện trên rồi kết hợp lại tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn đồng

thời các điều kiện

TH2: Phương trình (1) và phương trình (2) cùng có nghiệm

Bước 1: Tính biệt thức (’) của các phương trình theo tham số(1; 2( ' '

+) Giải hệ điều kiện trên rồi kết hợp lại tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn đồng

thời các điều kiện

Bước 3: Kết luận trả lời các giá trị của tham số cần tìm

Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung và tìm nghiệm chung đó Để nghiệm của một phương trình gấp đôi, gấp ba … một nghiệm của phương trình kia.

Bước 1: +) Giả sử x = x0 là nghiệm chung của hai phương trình

+) Thay x = x0 vào hai phương trình (1) và (2) ta có:

Lưu ý: Xét các trường hợp a b1 2a b 02 1 và a b1 2a b 02 1� theo tham số

Bước 2: Thay x0 tìm được ở trên vào một trong hai phương trình bậc hai đã cho rồigiải phương trình nhận được tìm ra giá trị của tham số

Bước 3: Thử lại: lần lượt thay các giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình

(1) và (2) giải các phương trình kiểm tra xem ứng với các giá trị của tham số tìmđược thì phương trình có nghiệm chung hay không

Bước 4: Kết luận trả lời giá trị của tham số cần tìm

Ví dụ 1: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 (1) và x2 + ax + 1 = 0 (2) với a là tham sốTìm a để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Bước 1: +) Giả sử x = x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho

+) Thay x = x0 vào phương trình (1) và (2) ta có:

Phương trình có:  = 12 – 4.1.1 = – 3 < 0

 Phương trình vô nghiệm

 Với a = 1 thì hai phương trình đã cho không có nghiệm chung

a 1 x  0  nếu a = 1 thì a – 1 = 0 ta không thể lấy (a – 1) chia cho (a – 1) được) a 1

Bước 2: Thay x0 = 1 vào phương trình (1) ta có:

 Với a = – 2 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung là: x = 1

Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm

Vậy a = – 2 là giá trị cần tìm

Cách 2:

Bước 1: +) Giả sử x = x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho

+) Thay x = x0 vào phương trình (1) và (2) ta có:

 Với a = – 2 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung là: x = 1

Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm

Vậy a = – 2 là giá trị cần tìm

Dạng 17: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)

có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước( trường hợp đặc biệt tính các nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm và thay vào điều kiện).

Ví dụ 1: Cho phương trình trình: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 (1) (với m là tham số) Tìm

m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

 Phương trình có hai nghiệm x 1; x 2m 11 2  hoặc x 2m 1; x 11  2

Bước 2: Xét các trường hợp và thay x1, x2 tìm được vào điều kiện và giải điều kiệntìm giá trị của tham số

Nhận xét: Ở ví dụ trên ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng cách nhẩm

nghiệm theo trường hợp: a + b + c = 0

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 2m = 0 (1) với m là tham số

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để: x13 x32 10

Bước 1: Tìm hai nghiệm x1, x2 theo tham số m bằng cách giải phương trình đã cho

m m 6m 12m 8 10  

cả các số hạng trong dấu ngoặc)

biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối nhận giá trị dương:

Nhận xét: Ở ví dụ trên ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng tính các

nghiệm theo công thức nghiệm vì ta tính được biệt thức ’ = 1

Dạng 18: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) một

số 

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 (1) với m là tham số

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6

Bước 1: Tìm hai nghiệm x1, x2 theo tham số m bằng cách giải phương trình đã choPhương trình (1) có:

Nhận xét: Ở ví dụ trên ta tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng tính các

nghiệm theo công thức nghiệm vì ta tính được biệt thức  = 9

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + 3(m – 4) = 0 (1) với m là tham số

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 2

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

+) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 đều lớn hơn 2

Vậy m 6 là các giá trị cần tìm