CẨM NANG ôn THI vào 10

Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Nhận xét: Với bài toán giải bất phương trình này chúng ta lưu ý những điều sau: 1.. Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Nhận xét:

Trang 1

CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện

“CẨM NANG ÔN THI VÀO 10”

CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT

A – PHẦN ĐẠI SỐ

CHƯƠNG 1: CĂN THỨC DẠNG 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN 1 Cho A x 9 , x 0

Nhận xét: Với bài toán giải bất phương trình này chúng ta lưu ý những điều sau:

1 Khi quy đồng không được khử mẫu

2 Cần đánh giá mẫu dương trước khi khử mẫu

3 Sau khi tìm được x, cần kiểm tra lại điều kiện xác định trước khi kết luận

BÀI TOÁN 2 Cho A x 3 , x 0, x 25

Trang 2

2 Cần đánh giá mẫu dương trước khi khử mẫu

Trang 3

2 Khi tử và mẫu chưa xác định dấu thì cần chia hai trường hợp

- Nếu phân thức ≥ 0 thì tử và mẫu cùng dấu, mẫu khác 0

- Nếu phân thức ≤ 0 thì tử và mẫu trái dấu, mẫu khác 0

Kết hợp với điều kiện xác định, vậy x{1; 4;16; 25} thì A

Nhận xét: Với bài toán tìm số tự nhiên x (hoặc số nguyên dương) để biểu thức nguyên ta làm tương tự

nhưng chỉ nhận x là số tự nhiên (hoặc số nguyên dương)

BÀI TOÁN 6 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên dương: A 2 x 5

Trang 4

Lập bảng:

Vậy x{0;16} thì A là số nguyên dương

Nhận xét:

1 Với bài toán tìm x nguyên để biểu thức nguyên dương, ta cần chú ý bước thử lại trước khi kết luận

2 Với bài toán tìm số tự nhiên x (hoặc số nguyên dương) để biểu thức nguyên dương ta làm tương tự bài toán trên, tuy nhiên chú ý chỉ nhận x là số tự nhiên (hoặc số nguyên dương)

BÀI TOÁN 7 Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên: A 4 x 5 , x 0

Trang 5

BÀI TOÁN 8 Tìm các số hữu tỉ x để biểu thức nhận giá trị nguyên: A x 6 , x 0

Nhận xét: Với bài toán tìm x (hoặc tìm x hữu tỉ) để biểu thức nhận giá trị nguyên ta cần chú ý:

Bước 1: “Chặn hai đầu” biểu thức

Bước 2: Tìm giá trị của biểu thức

Trang 6

Trang 7

Vậy minR = 2 khi x = 1

Nhận xét: Sau khi thực hiện phân tích (tách phần nguyên):

- Nếu phần nguyên là một hằng số (không chứa x) thì đánh giá trực tiếp “từ dưới lên”

Trang 8

DẠNG 5: BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN 15 Cho biểu thức A x 2

B

 Tìm các giá trị của m để có x thỏa mãn P m

Giải

Trang 9

x 2

B

x 3

x 3P

x

m 1x

Nhận xét: Với dạng toán này, chúng ta cần lưu ý đến điều kiện ban đầu của x

BÀI TOÁN 16 Cho biểu thức P x 1, x 0, x 9

Trang 10

Trang 11

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

BÀI TOÁN 17 (Bài toán về khoảng cách)

Câu 1: (Trường hợp tổng quát)

Cho đường thẳng (d):  2 

y m 1 x2 a) Khi m = 1, tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) bằng 2

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất

Câu 2: (Trường hợp đặc biệt)

Cho đường thẳng (d): ymx5 Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn nhất

Giải Câu 1:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với trục Oy và Ox

Hạ OH vuông góc với AB tại H OH là khoảng cách từ O đến (d)

Xét tam giác OAB vuông tại O, đường cao OH, ta có:

Trang 12

Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

(Hoặc: Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m)

Vậy (d) luôn đi qua A( 2; 1)  cố định với mọi m

Nhận xét: Với bài toán tìm điểm cố định, chúng ta đưa phương trình về ẩn m, và phải đặc biệt chú ý là điều kiệnmphải được viết sau mỗi bước, vì cách làm này chỉ đúng khi m

BÀI TOÁN 19 Bài toán về ba đường thẳng đồng quy

Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy (d ) : y1 3x 8; (d ) : y 2  2x 3; (d ) : y 3 mx m 1

Giải

Trang 13

Gọi A là giao điểm của (d )1 và (d )2 Khi đó toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 14

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

4) Chứng minh điểm A(x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định

m 11y

) m 1 1 m 2 x 3 m 2 (TM)

        

           

Vậy m{0; 2} thì x, y nguyên

Trang 15

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.

Vậy hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc m là x y 2

4) Chứng minh điểm A(x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Vì x, y thoả mãn x y 2 với mọi m nên điểm A(x;y) luôn thuộc đường thẳng x y 2 cố định với mọi

Trang 16

Trang 17

CHƯƠNG 4: HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0) (1) có biệt thức b24ac :

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x b x b

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

II Dấu nghiệm của phương trình bậc hai:

4 Phương trình (1 ) có đúng một nghiệm

0000

5 Phương trình (1) có nghiệm

0000

III Hệ thức Vi-ét

 Định lí Vi-ét: Nếu x x1 2, là các nghiệm của phương trình ax2bx c 0 (a0) thì:

Trang 18

x x

a

 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

X2SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S24P0)

IV Ứng dụng Vi-ét để xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai: ax2bx c 0 (a0) (1)

(1) có hai nghiệm trái dấu  a c0

(1) có hai nghiệm cùng dấu    P 00

(1) có hai nghiệm dương phân biệt  P

S

000

2 Tính chất biến thiên của hàm số

 Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

0

yx

Trang 19

3 Đồ thị của hàm số

Bước 1: Lập bảng giá trị (Thường chọn 5 giá trị đối nhau)

Bước 2: Đồ thị của hàm số y ax a 2 ( 0)là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó đgl một parabol với đỉnh O

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Bước 3: Vẽ đồ thị

4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y ax a 2 ( 0)

 Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại x = 0

 Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại x = 0

0 0

y x

2 1 -1

-2

0

0 y

x

Trang 20

VI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Cho đường thẳng (d): y bx c  và parabol (P): y ax 2 (a0).

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax2 bx c (1)

Bước 2: Số giao điểm của (P) và (d) bằng số nghiệm của phương trình (1).

1 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt  

3 (d) cắt (P) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung (1) có hai nghiệm trái dấu a c 0

4.(d) cắt (P) tại hai điểm nằm bên phải trục tung (1) có hai nghiệm dương phân biệt

0000

5.(d) cắt (P) tại hai điểm nằm bên trái trục tung (1) có hai nghiệm âm phân biệt

0000

Trang 21

6 (d) cắt (P) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung mà có hoành độ đối nhau (1) có hai nghiệm trái dấu

  a c S. 00

7 (d) cắt (P) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung mà hoành độ điểm bên trái trục tung có giá trị tuyệt đối

lớn hơn hoành độ điểm bên phải trục tung (1) có hai nghiệm trái dấu x1x2mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương x1 x2   a c S. 00

8 (d) cắt (P) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung mà hoành độ điểm bên trái trục tung có giá trị tuyệt đối

nhỏ hơn hoành độ điểm bên phải trục tung (1) có hai nghiệm trái dấu x1x2 mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nghiệm dương  x1 x2   a c S. 00

BÀI TOÁN VỀ CHU VI, DIỆN TÍCH

Phương pháp:

1 Tính chu vi của tam giác OAB: POABOA OB AB 

Ghi nhớ: Nếu A x ;y ,B x ;y A A  B B thì AB xAxB 2 yAyB2

2 Tính diện tích của tam giác OAB

Cho đường thẳng (d): y bx c  và parabol

(P): y ax a 2 ( 0) Tìm tọa độ giao điểm A, B

của (P) và (d) Tính diện tích của tam giác

Bước 2: Hạ đường cao AK và BH xuống OC

Ví dụ: Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d):

  

y x 6 a) Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d)

b) Tính chu vi và diện tích tam giác OAB

Giải

Trang 22

Trang 23

BÀI TOÁN 21

Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y mx 3  Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d)

1) Khi m = 2

a) Tình chu vi và diện tích của tam giác OAB

b) Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên Ox Tính diện tích của tứ giác ABCD 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:

a) Diện tích tam giác OAB bằng 9 (đvdt)

b) Tam giác OAB cân tại O

c) Gọi E là giao của (d) với trục tung Tìm m để SAOE 2SBOE

b) Vì D, và C lần lượt là hình chiếu của A và B lên Ox nên AD = 1; BC = 9; CD = 4

Ta có ABCD là hình thang vuông, do đó:

S (AD BC).CD (1 9).4 20

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2mx 3 0 (1) 

Trang 24

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có:   

Trang 25

2

1 2

2mx

32m

BÀI TOÁN 22 Lập phương trình bậc hai

Bài toán: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1 2,

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1 2,

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

Trang 26

Vì phương trình cần lập có hai nghiệm là

BÀI TOÁN 23 Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1 2, không phụ thuộc vào m

Bài toán: Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1 2, không phụ thuộc vào m

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 2,

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1 2, không phụ thuộc m

c) Tìm m để cả hai nghiệmx x1 2, là số nguyên

Giải a) Ta có:  m24m 8 m22  4 0, m, do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có:   

Trang 27

BÀI TOÁN 24 Cho phương trình x22m1x m  4 0 (1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả mãn: x1 0 x2.

Theo đề bài: x1 0 x2, do đó ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: x1 0 x2 Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu a c      0 m 4 0 m 4

Trường hợp 2: x1 0 x2 Khi đó phương trình (1) có một nghiệm x = 0

Thay x = 0 vào (1), ta được: m   4 0 m 4

Thay m = 4 vào (1), ta được:  

BÀI TOÁN 25 Cho phương trình x22m1x m  4 0 (1) Tìm m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt x x1 2, thoả mãn:

Trang 28

Vậy m 11  5

2

Nhận xét: Trong bài toán trên, chúng ta cần đặc biệt lưu ý đến điều kiện xác định của phương trình chứa

ẩn ở mẫu hoặc phương trình chứa căn thức

BÀI TOÁN 26 Cho phương trình x22x m  4 0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả mãn: x122x2x x1 2 10 (*)

Giải

Ta có   4m20

Trang 29

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi   4m20 0  m 5

Trang 30

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

BÀI TOÁN 28 Cho phương trình:   



2 2

0

x 3 x 3

x 9 (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 là giá trị cần tìm

BÀI TOÁN 29 Cho phương trình: x3m(x 1) 1 0   (1)

a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x ,x ,x 1 2 3

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có hai nghiệm phân biệt x ,x1 21

Trang 31

Vì phương trình (1) có ba nghiệm là x ,x ,x1 2 3 1 nên:

a) 4 nghiệm phân biệt b) 3 nghiệm phân biệt

c) 2 nghiệm phân biệt d) 1 nghiệm

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, khi đó có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu a.c 0 

Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép dương

d) Phương trình (1) có 1 nghiệm, có các trường hợp sau:

Trang 32

Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0

Trường hợp 2: Phương trình (2) có một nghiệm bằng 0, một nghiệm âm

e) Phương trình (1) vô nghiệm:

Trường hợp 1: Phương trình (2) vô nghiệm  0

Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép âm

Trường hợp 3: Phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt

f) Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm không âm

Trang 33

R nS

Trang 34

V r h3

l

R

h

r

Trang 35

BÀI TOÁN 32 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC tại H Gọi

M là một điểm trên cung nhỏ AC Hạ BK AM tại K Đường thẳng BK cắt CM tại E.

a) Tính độ dài cung nhỏ BD theo R.

b) Tính diện tích phần giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD (hình viên phân) theo R.

c) Tính theo R thể tích của hình được tạo thành khi quay tam giác ABH quanh AH.

Giải

a) Tính độ dài cung nhỏ BD theo R.

Có BAC60oBAD30oBOD60o

Do đó độ dài cung BD là: R.60 R



b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD:

vien phan quat OBD OBD

M

Trang 36

Có tam giác ABH vuông tại H, do đó khi quay tam giác ABH quanh AH ta được hình nón có đường cao AH

BÀI TOÁN 33 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn

M là một điểm trên nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D Nối MA cắt OC tại E Nối MB cắt OD tại F

D

C

B O

A

M

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	1,89 MB