cam nang on vao 10 - 3

Bước 1:Viết lại điều kiện của bài toán rút gọn và tìm điều kiện bổ sung nếu có biểu thức mới.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x... Bước 4: Kết luận lưu ý ở

Bài toán 6: Tìm giá trị Min, Max của biểu thức

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng: A= a x +b

m x+n hoặc biểu thức cho

trước biến đổi được về dạng A= a x +b

m x +n. Bước 1:Viết lại điều kiện của bài toán rút gọn và tìm điều kiện bổ sung nếu có biểu thức mới

Bước 2: Làm như bước 2 của bài toán tìm giá trị nguyên

Bước 3: * Lập luận để tìm GTNN, GTLN bằng cách:

Vận dụng các tính chất của bất đẳng thức

+) a ≥ b => a + c ≥ b + c

+) a ≥ b => a.c ≥ b.c nếu c > 0

+) a ≥ b => a.c ≤ b.c nếu c < 0

+) a ≥ b > 0 => 1 1

a b ≤

Chú ý điều kiện xảy ra dấu “=”

⇒ Min; Max

* Tìm điều kiện của biến để xảy ra dấu “=”

Bước 4: Kết luận: Trả lời GTNN (GTLN) và giá trị tương ứng của biến

x 4

−

= + với x ≥ 0 và x ≠ 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P và giá trị tương ứng của x

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 1

Bước 2: Biến đổi P từ dạng một phân thức về dạng tổng của một số với một phân

thức có tử là một số (chia tử cho mẫu hoặc tách tử theo mẫu và áp dụng công thức:

+

M =M M) Tử: 7 3 x− =−3 x 7+ =−3( x 4 19+ +)

+) Ta có: 7 3 x 3( x 4 19) 19

−

(Ta thấy: P 7 3 x

x 4

−

=

+ ở dạng một phân thức

A

B được biến đổi thành tổng của số – 3

và phân thức 19

x 4+ có tử là số 19).

Bước 3: Lập luận và tìm điều kiện xảy ra dấu “=”

Lập luận bắt đầu từ biểu thức không âm: x

+) Ta có: x ≥ 0 với x ≥ 0 và x ≠ 1 (1)

⇒ x + 4 ≥ 4 với x ≥ 0 và x ≠ 1 (2)

Cộng cả hai vế của bất phương trình với hạng tử số 4

x 4≤

+ với x ≥ 0 và x ≠ 1(3)

Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số cùng tử là 19: Phân số nào có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn

4 4

x 4

+ với x ≥ 0 và x ≠ 1 (4)

Cộng cả hai vế của bất phương trình với hạng tử số – 3 để VT trở về biểu thức P ban đầu

+) Dấu “=” xảy ra ⇔ x 0= ⇔ =x 0 (thỏa mãn x ≥ 0 và x ≠ 1)

Ta cần nắm được suy luận sau: Dấu “=” ở bước cuối cùng (4) xảy ra khi và chỉ dấu

“=” ở bước đầu tiên (1) xảy ra

4

= ⇔ =

Bước 4: Kết luận (lưu ý ở bước kết luận chú ý câu hỏi bài toán đặt ra thường có 3 cách hỏi: Cách hỏi 1: Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt GTNN, GTLN (chỉ yêu

cầu tìm giá trị của biến)

Cách hỏi 2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức (chỉ yêu cầu tìm Min, Max)

Cách hỏi 3: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức và giá trị tương ứng của biến (yêu cầu

tìm GTNN, GTLN của biểu thức và giá trị của biến số)

Cả ba cách hỏi này ta đều có chung một kết luận là ở kết luận ta trả lời cả GTNN, GTLN và giá trị của biến đều được

Vậy MinP 7 x 0

4

= ⇔ =

3 x 4

=

+ với x ≥ 0 và x ≠ 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P và giá trị tương ứng của x

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 1

Bước 2: Trong trường hợp này ta không cần biến đổi P vì biểu thức P có dạng là

phân thức tử là một số: 7 còn mẫu là biểu thức của x (bậc nhất đối với x )

Bước 3: Lập luận và tìm điều kiện xảy ra dấu “=”

Lập luận bắt đầu từ biểu thức không âm: x

+) Ta có: x ≥ 0 với x ≥ 0 và x ≠ 1 (1)

⇒3 x ≥ 0 với x ≥ 0 và x ≠ 1 (2)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số: 3 (giữ nguyên chiều bất đẳng thức)

⇒3 x + 4 ≥ 4 với x ≥ 0 và x ≠ 1 (3)

Cộng cả hai vế của bất phương trình với hạng tử số 4

3 x 4≤

+ với x ≥ 0 và x ≠ 1 (4)

Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số cùng tử là 7: Phân số nào có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn

⇒P 7

4

≤ với x ≥ 0 và x ≠ 1 (5)

+) Dấu “=” xảy ra ⇔ x 0= ⇔ =x 0 (thỏa mãn x ≥ 0 và x ≠ 1)

Ta cần nắm được suy luận sau: Dấu “=” ở bước cuối cùng (5) xảy ra khi và chỉ dấu

“=” ở bước đầu tiên (1) xảy ra

4

= ⇔ =

Bước 4: Kết luận: Trả lời bài toán

Vậy MinP 7 x 0

4

= ⇔ =

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng A= m x +n

ax+b x +c ( a ≠ 0)hoặc có

dạng tổng quát kx +m x +n

A=

ax+b x +c hoặc biểu thức cho trước có thể biến đổi được về

các dạng này

Bước 1:Viết lại điều kiện của bài toán rút gọn và tìm điều kiện bổ sung nếu có biểu thức mới

Bước 2: Biến đổi A

m x+n

A=

ax+b x +c ⇒ Aax + (Ab – m) x + Ac – n = 0

Bước 2: Đặt x = t ( ĐK: t ≥ 0 …)

Ta có phương trình: Aat 2 + (Ab – m)t + Ac – n = 0 (1)

+) Xét A = 0 ⇒ x ?

+) Xét A ≠ 0 ⇒ Phương trình (1) là phương trình bậc 2

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: ∆ ≥ 0 ⇒ k ≤ A ≤ K

Từ đó suy ra: Min; Max

Bước 3: Kết luận

Cách khác biến đổi A = K – ( )2

k m' x +n' ax+b x +c

K m' x +n'

ax+b x +c + k

Từ đó suy ra Min; Max

Dạng tổng quát kx +m x +n

A=

ax+b x +c cách làm như trên, ôn tập dạng bài ở lớp 8

2

ax +bx+c

A=

a'x +b'x+c' cách làm tương tự như trên

−

=

− + với x ≥ 0 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

và giá trị tương ứng của x

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0

Bước 2: Biến đổi biểu thức M như sau:

+) Ta có:

15 x 24

1 1 3

2 4 4

−

( )2

2

5 x 1

x

−

với x ≥ 0 ⇒M 25

3

−

≥ với x ≥ 0

2

5 x 8

x

−

với x ≥ 0

Ở đây để biến đổi được biểu thức M như trên ta phải tiến hành các bước nháp như sau:

- Ta nháp biến đổi như sau: Coi M là tham số x là ẩn

5 x 8

M

−

=

− + ⇒Mx M x M 5 x 8− + = − ⇒Mx−(M 5+ ) x M 8 0+ + =

⇒−3M2−22M 25 0+ =

⇒ M1 = 1; M2 25

3

−

3

−

= là GTNN, M1 = 1 là GTLN

- Lấy giá trị lớn nhất trừ đi biểu thức M:

( )2

x 3

1 M 1

−

5 x 8

−

=

- Sau đó ta biến đổi ngược lại từ dưới lên ta sẽ biến đổi được M về dạng: ( )2

x 3

M 1

−

= −

− + từ đó ta có thể tìm được GTLN của biểu thức M

- Lấy biểu thức M trừ đi GTNN:

2

3 5 x 8 25 x x 1

M

5 x 1

15 x 24 25x 25 x 25 25x 10 x 1

−

−

⇒

2

M

3

3 5 x 8

−

- Sau đó ta biến đổi ngược lại từ dưới lên ta sẽ biến đổi được M về dạng:

2

M

3

−

− + từ đó ta có thể tìm được GTNN của biểu thức M

Bước 3: Lập luận để tìm GTNN, GTLN của biểu thức M

2

M

Ta có:

( )2

2





với x ≥ 0

2

5 x 1

0

−

≥

với x ≥ 0

2

M

−

với x ≥ 0

⇒ MinM = 25

3

25

=

Ở đây ta đã áp dụng các tính chất của bất đẳng thức bình phương của một biểu thức bất kì bao giờ cũng nhận giá trị không âm: ( )2

5 x 1− ≥0 với x ≥ 0 và tổng của bình phương của một biểu thức:

2

1 x 2

 − 

  với một số dương:

3

4 thì nhận giá trị dương; tích của một số dương: 3 và một biểu thức nhận giá trị dương:

2

1 3 x

2 4

 −  +

  > 0 với

x ≥ 0 thì được biểu thức nhận giá trị dương:

2

Áp dụng thương của một biểu thức nhận giá trị không âm: ( )2

5 x 1− ≥0 với x ≥ 0

và một biểu thức nhận giá trị dương:

2

  với x ≥ 0 là một biểu thức

nhận giá trị không âm: ( )2

2

5 x 1

0

−

≥

với x ≥ 0

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức ( )2

2

5 x 1

0

−

≥

với x ≥ 0 với 25

3

− ta được:

( )2

2

M

−

với x ≥ 0

2

x

Ta có: ( )2

2





với x ≥ 0

2

x 3

0

x

−

≥

với x ≥ 0

⇒ ( )2

2

x 3

0

x

−

với x ≥ 0

2

x 3

x

−

với x ≥ 0

Dấu “=” xảy ra ⇔( )2

x 3− = ⇔0 x 3 0− = ⇔ x 3= ⇔ =x 9(thỏa mãn x ≥ 0)

⇒ MaxM = 1 ⇔ x 9=

Ở đây ta đã áp dụng các tính chất của bất đẳng thức bình phương của một biểu thức bất kì bao giờ cũng nhận giá trị không âm: ( )2

x 3− ≥0 với x ≥ 0 và tổng của bình phương của một biểu thức:

2

1 x 2

 − 

  với một số dương:

3

4 thì nhận giá trị dương: 2

1 3

x

2 4

 −  +

  > 0 với x ≥ 0 Áp dụng thương của một biểu thức nhận giá trị không âm: ( )2

x 3− ≥0 với x ≥ 0 và một biểu thức nhận giá trị dương:

2

1 3 x

2 4

 −  +

với x ≥ 0 là một biểu thức nhận giá trị không âm: ( )2

2

x 3

0

x

−

≥

với x ≥ 0

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức: ( )2

2

x 3

0

x

−

≥

với x ≥ 0 với – 1 ta được:

( )2

2

x 3

0

x

−

với x ≥ 0 (đổi chiều bất đẳng thức vì nhân cả hai vế của bất đẳng

thức với số âm đây là điều ta cần ghi nhớ và lưu ý khi giải bài toán về dạng bài tập này)

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức ( )2

2

x 3

0

x

−

với x ≥ 0 với 1 ta được:

( )2

2

x 3

x

−

với x ≥ 0

Bước 4: Kết luận: Trả lời bài toán

Vậy: MinM = 25

3

25

=

MaxM = 1 ⇔ x 9=

−

=

− + với x ≥ 0 Tìm GTNN của biểu thức và giá trị

tương ứng của x

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0

Bước 2: Biến đổi biểu thức M như sau:

+) Ta có:

2

M

1 1 3

Trong trường hợp này P có dạng phân thức: Tử là một số: – 8, còn mẫu là một biểu thức có dạng: ax b x c+ + (mẫu: x− x 1+ ) bậc hai đối với x nên ta chỉ biến đổi mẫu về dạng tổng của một biểu thức dạng ( )2

k m x n+ +k (cụ thể: 2

  rồi lập luận.

Bước 3: Lập luận và tìm điều kiện của dấu “=” xảy ra

+) Ta có:

2 1

2

⇒

2

x

≤ =

với x ≥ 0

P

3

x

với x ≥ 0

Dấu “=” xảy ra ⇔

2

Bước 4: Kết luận trả lời bài toán:

Vậy MinP = 32

3

x 4

=

Dạng 3: Dạng đặc biệt của dạng trên ( kx +m x +n

A=

ax+b x +c ): ( )2

ax+b x+c A=

m x+n mẫu là

bình phương của một biểu thức hoặc có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức

Bước 1: Viết lại đkxđ

Bước 2: Biến đổi đồng nhất biểu thức A đa cho như sau: (biến mới là biểu thức có

dạng: m x +n; biến đổi đồng nhất tử thức:

ax+b x +c=k m x +n k m x +n k

Sau đó áp dụng công thức biển đổi: A +B C A + B C

M+ =M M M+ từ một phân thức ban đầu tách thành tổng của nhiều phân thức có chung một mẫu và rút gọn, biến đổi từng phân thức

Biến đổi

2

2 =k m x +n2 +k m x +n2 + 2

A=

2 1

m x +n m x +n

Bước 3: Đặt 1 =t

m x +n , ta có: A = k 1 + k 2 t + k 3 t

2 để đưa bài toán về dạng tìm

GTLN, GTNN của một tam giác thức bậc hai: f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) 2

Bước 4: Áp dụng cách tìm GTLN, GTNN của một tam giác thức bậc hai để giải tìm

ra GTLN, GTNN của biểu thức đã cho

Để Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0), ta biến đổi như sau: ( ) ax= 2+ + =  2+ + 

2

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu a < 0 hoặc a > 0)

Chú ý tìm điều kiện xảy ra dấu bằng của biến phụ và suy ra giá trị của biến đề bài cho.

Bước 5: Kết luận: Trả lời bài toán: GTNN, GTLN và giá trị tương ứng của biến số

Ví dụ 1: Cho biểu thức:

( )2

3 2 1

−

=

−

x A

x với x ≥ 0 và x ≠ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức A và giá trị tương ứng của x

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 1

Bước 2: Biến đổi biểu thức A về dạng thích hợp:

Tử: 3 2− x=−2 x+ =−3 2( x− +1 1)

+) Ta có:

( )2 ( ( ) )2 ( ( ) (2) )2 ( )2

1

−

x A

x

2

Ở đây ta cần nhận biết được biểu thức: ( )2

1

1 −

−

bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (

2

c = 0, ta cần áp dụng cần biến đổi tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai để tìm GTLN, GTNN

Ở bài toán này ta không cần đặt biến phụ mà nhận biết và biến đổi ngay để tìm GTLN, GTNN

Bước 3: Lập luận: *) Xuất phát từ biểu thức ở dạng bình phương:

2 1

1 1

−

dụng tính chất bình phương của một biểu thức luôn nhận giá trị không âm: A2 ≥ 0 với mọi A, rồi áp dụng tính chất của bất đẳng thức nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số và cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số

+) Ta có:

2 1

1

 x  với x ≥ 0 và x ≠ 1

⇒

2 1

1

 x  với x ≥ 0 và x ≠ 1

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức:

2 1

1

 x  với x ≥ 0 và x ≠ 1 với số: – 1

*) Tìm điều kiện xảy ra dấu “=”

+) Dấu “=” xảy ra ⇔

2

⇔ x− = ⇔1 1 x= ⇔ =2 x 4 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1) (Lưu ý: Đối với bài toán tìm GTLN, GTNN bước tìm điều kiện dấu “=” xảy ra luôn

có suy luận dấu “=” ở bước cuối cùng phần lập luận xảy ra thì dấu “=” ở bước đầu tiên phần lập luận phải xảy ra)

Bước 4: Kết luận trả lời bài toán:

Vậy MinA = – 1 ⇔ x = 4

Dạng 4: Tìm Min, Max bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng:A= ax b x+c+

m x+n ( m x > 0; m x +n>0 với mọi x thoả mãn ĐKXĐ) phân thức dạng: tử là bậc hai đối với x còn mẫu là bậc nhất đối với x

Bước 1: Tìm ĐKXĐ (viết lại đkxđ của bài toán hoặc tìm điều kiện nếu bài toán cho thêm biểu thức mới)

Bước 2: TH1: biểu thức ở dưới mẫu ở dạng đặc biệt m x (n = 0)

c

Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện 2 nhóm

- Nhóm 1: Tổng của hai biểu thức chứa x : Một biểu thức chứa x trên tử, một biểu thức chứa x ở dưới mẫu để áp dụng bất đẳng thức Côsi triệt tiêu được hết

biến số x

- Nhóm 2: Gồm các hạng tử là số không còn chứa biến x

Bước 3: Áp dụng bất đẳng Côsi cho hai số dương: a x

c m

x và áp dụng các

tính chất của bất đẳng thức cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số hoặc biểu thức, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số khác 0

Từ đó suy ra Min (Max)

Bước 4: Kết luận: Trả lời bài toán

TH2: biểu thức ở dưới mẫu ở dạng m x n (m, n ≠ 0) + A= ax b x +c+

m x+n làm tương

tự như trên.

( ) ( )

2

3

+

k m x +n k m x +n

A=

k

m x +n Bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ 2 ab Xảy ra dấu “=” khi a = b

≥

+

a b a+b với a, b dương Xảy ra dấu “=” khi a = b

Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

(ax + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Xảy ra dấu “=” khi x y

=

a b

Bất đẳng thức x + y ≥ x+ y Xảy ra dấu “=” khi xy ≥ 0

≥

A A Xảy ra dấu “=” khi A ≥ 0

Chú ý: Khi A > 0 để tìm GTLN, GTNN của A ta xét biểu thức 1

A hoặc A

2 và tìm GTLN, GTNN của những biểu thức này trước rồi suy ra GTLN, GTNN của biểu thức A

Trong nhiều trường hợp ta đổi biến đặt ẩn phụ để tìm Min; Max

1

+

= +

x A

x với x ≥ 0 và x ≠ 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức A

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 9

Bước 2: Biến đổi biểu thức A

1

1

+

x

x

Ở đây biến đổi A để xuất hiện nhóm 1: là tổng của x+1 và 9

1

+

x mỗi hạng tử của

nhóm đều chứa x+1 nhưng một hạng tử chứa x+1 ở trên tử và một hạng tử 9

1

+

x chứa x+1 ở dưới mẫu Nhóm 2: hạng tử số: – 2

Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai biểu thức nhận giá trị dương x+1

và 9

1

+

x .

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

1

+

x với x ≥ 0 và x ≠ 9

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức: 1 9 6

1

+

x

x với x ≥ 0 và x ≠ 9; với

hạng tử: – 2

Tìm điều kiện xảy ra dấu “=”

1

+

và x ≠ 9)

Bước 4: Kết luận trả lời bài toán

+) Vậy MinA = 4 ⇔ x = 4

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng: A=ax+b x c (a ≠ 0) hoặc biểu+

thức cho trước biến đổi được về dạng A=ax+b x c +

Bước 1: Tìm ĐKXĐ (viết lại đkxđ của bài toán hoặc tìm điều kiện nếu bài toán cho

thêm biểu thức mới)

Bước 2: TH1: (a.b < 0, tức là hệ số a, b trái dấu) Biến đổi biểu thức A=ax+b x c+

một cách thích hợp thường biến đổi như sau:

2 2

4

−

Ở đây b1: đặt hệ số a ra ngoài dấu ngoặc: b2: tách và thêm bớt để biểu thức trong ngoặc xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc hiệu: biểu thức trong dấu ngoặc: x+b x+c

a a được biến đổi như sau: hạng tử đầu tiên x giữ nguyên

hạng tử thứ hai: b x

a được biến đổi, nhân thêm hệ số 2 vào hệ số của hạng tử đó để

xuất hiện 2 lần tích của hai biểu thức và đồng thời nhân 2 ở mẫu của phân thức b

a (

2

b

a) ta được: b x=2. x.2b

a a và b3: thêm hạng tử

2

2

b

a và bớt đi đúng hạng tử

này để biểu thức không thay đổi giá trị Như vậy ta được biểu thức mới ở trong ngoặc:

x 2

x

b4: Biến đổi tiếp, rút gọn

2

4

−

a a a rồi nhân a vào trong dấu ngoặc bỏ

dấu ngoặc ta được:

2 2

4

−

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu a < 0 hoặc a > 0)

Chú ý tìm điều kiện xảy ra dấu bằng của biến phụ và suy ra giá trị của biến đề bài cho.

Bước 3: Lập luận để tìm được GTLN, GTNN của A và giá trị tương ứng của x

+) Áp dụng tính chất:

a 2 ≥ 0 với mọi a

Tính chất bất đẳng thức

Cộng hai vế với cùng một số

Nhân hai vế với cùng một số âm, số dương

+) Tìm điều kiện của biến để xảy ra dấu “=”

TH2: (a.b > 0, tức là hệ số a, b cùng dấu) ta không đi biến đổi biểu thức

ax+ +

A= b x c như trên mà lập luận ngay xuất phát từ x với điều kiện của biến

số:

Bước 4: Kết luận: Trả lời bài toán

biểu thức P

Bước 1: Viết lại đkxđ

ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 1

Bước 2: Biến đổi biểu thức P=x− x+1

2

Ở đây ta nhận thấy ngay là bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng

ax+ +

A= b x c với a = 1 và b = – 1, trái dấu nên ta biến đổi biểu thức P như trên.

Bước 3: Lập luận và tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”

+) Ta có:

2 1

2

  với x ≥ 0, x ≠ 1 (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị không

âm: Bình phương A2, căn thức bậc hai A , giá trị tuyết đối A , … nhưng có thể

nhận giá trị bằng 0), vì biểu thức

2 1 x 2

  có thể nhận giá trị bằng 0.

⇒

2

x

  với x ≥ 0, x ≠ 1

+) Dấu “=” xảy ra ⇔

2

≠ 1)

Bước 4: Kết luận trả lời bài toán:

Vậy MinP = 3

4 ⇔ x 1

4

=